山东省烟台市青华学校2023年高三数学理上学期期末试题含解析

山东省烟台市青华学校2023年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在，的（

）A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C2.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值(

)

A.2

B.3

C.

D.

参考答案：A3.有一段演绎推理是这样的：“指数函数都是增函数；已知是指数函数；则是增函数”的结论显然是错误的，这是因为

（

）A．大前提错误

B．小前提错误

C．推理形式错误

D．非以上错误参考答案：A4.设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为(

).

A.

B.

C.

D.参考答案：B5.若，，则A. B. C. D.参考答案：D两个选择支极易被排除，对于，若，则，满足.【考点定位】本题从常规角度看考查了三角函数的求值，其中重点对倍角公式、平方关系等重点考查.而从答题技巧角度看，只是简单的代入检验，由于给定了，使问题更趋于简单化6.设等差数列的前项之和为，已知等于

A．15

B．20

C．25

D．30参考答案：C7.已知函数，则该函数零点个数为A.4B.3

C.2

D.1参考答案：B8.设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则A． B． C． D．参考答案：D略9.若直线上存在点满足约束条件则实数的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：A10.已知函数f（x）=，若对任意的x∈[1，2]，f′（x）?x+f（x）＞0恒成立，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，） C．（﹣∞，] D．[，+∞）参考答案：B【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】对任意的x∈[1，2]，f′（x）?x+f（x）＞0恒成立?对任意的x∈[1，2]，恒成立，?对任意的x∈[1，2]，2x2﹣2tx+1＞0恒成立，?t＜恒成立，求出x+在[1，2]上的最小值即可．【解答】解：∵∴对任意的x∈[1，2]，f′（x）?x+f（x）＞0恒成立?对任意的x∈[1，2]，恒成立，?对任意的x∈[1，2]，2x2﹣2tx+1＞0恒成立，?t＜恒成立，又g（x）=x+在[1，2]上单调递增，∴，∴t＜．故选：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若数列{an}是各项均为正数的等比数列，则当时，数列{bn}也是等比数列；类比上述性质，若数列{cn}是等差数列，则当dn=时，数列{dn}也是等差数列．参考答案：略12.下列四个命题：

①；

②；

③；④．

其中正确命题的序号是

．参考答案：①②④13.的展开式中的系数是_______参考答案：56略14.理：直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是

.参考答案：或；15.已知向量与的夹角为，且若且,则实数的值为参考答案：向量与的夹角为，且所以。由得，，即，所以，即，解得。16.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若，，则的值为_____．参考答案：【分析】先由可求出，再由因式分解可求出d，然后求出，套公式即可求出【详解】解：因所以又因为所以所以，所以故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的性质，等差数列前n项和，属于基础题.17.在中，若，，，则三角形的面积

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

已知是三个连续的自然数，且成等差数列，成等比数列，求的值．参考答案：解：因为是三个连续的自然数，且成等差数列，故设，--3分则，由成等比数列，可得，解得，-----9分所以------12分

19.(本小题满分12分)已知函数,().(1)求函数的单调区间;(2)求证:当时,对于任意,总有成立参考答案：(Ⅰ)函数的定义域为,.

当时,

当变化时,,的变化情况如下表:00↘

↗

↘当时,

当变化时,,的变化情况如下表:00↗

↘

↗

综上所述,

当时,的单调递增区间为,单调递减区间为,;

当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当时,

在上单调递增,;在上单调递减,且.

所以时,.

因为,所以,令,得.

①当时,由,得;由,得,

所以函数在上单调递增,在上单调递减.

所以.

因为,

所以对于任意,总有.

②当时,在上恒成立,

所以函数在上单调递增,.

所以对于任意,仍有.

综上所述,对于任意,总有20.（本小题满分12分）如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）中，是的中点，

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：∥平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积.参考答案：（Ⅰ）证明：∵ABC—A1B1C1是正三棱柱，

∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AD

在正△ABC中，∵D是BC的中点，∴AD⊥BD，∴AD⊥平面BB1CC1,∵B1D平面BB1CC1,∴AD⊥B1D

…4分

（Ⅱ）解：连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE.

∵AA1=AB

∴四边形A1ABB1是正方形，

∴E是A1B的中点，

又D是BC的中点，

∴DE∥A1C.…………7分

∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D，

∴A1C∥平面AB1D.……9分

……12分21.（12分）某家电专卖店在国庆期间设计一项有奖促销活动，每购买一台电视，即可通过电脑产生一组3个数的随机数组，根据下表兑奖：奖次一等奖二等奖三等奖随机数组的特征3个1或3个0只有2个1或2个0只有1个1或1个0奖金（单位：元）5m

2m

m商家为了了解计划的可行性，估计奖金数，进行了随机模拟试验，并产生了20个随机数组，试验结果如下：247，235，145，324，754，500，296，065，379，118，520，161，218，953，254，406，227，111，358，791．（1）在以上模拟的20组数中，随机抽取3组数，求至少有1组获奖的概率；（2）根据以上模拟试验的结果，将频率视为概率：（i）若活动期间某单位购买四台电视，求恰好有两台获奖的概率；（ii）若本次活动平均每台电视的奖金不超过85元，求m的最大值．参考答案：22.如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=DC=4，AD=2，E为PC的中点.(I）求证：AD⊥PC；(II）求三棱锥P-ADE的体积；(III）在线段AC上是否存在一点M，使得PA//平面EDM，若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.参考答案：（I）因为PD⊥平面ABCD.

所以PD⊥AD.

又因为ABCD是矩形，

所以AD⊥CD.

因为

所以AD⊥平面PCD.

又因为平面PCD，

所以AD⊥PC.(II）因为AD⊥平面PCD，VP-ADE=V