山东省青岛市即墨第四中学2022年高三数学理期末试卷含解析

山东省青岛市即墨第四中学2022年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是A．

B．

C．

D．参考答案：C直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得，内切圆的面积为，豆子落在其内切圆外部的概率是，故选C.

2.已知表示数列的前项的和，若对任意满足且则=（

）A．B．C．D．参考答案：C在中，令则，令，则，于是，故数列是首项为0，公差为1的等差数列，.选C.3.设函数f（x）=，若对任意给定的t∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2a2t2+at，则正实数a的最小值是(

)A．2B．C．D．参考答案：B考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：此题的突破口在于如何才会存在唯一的x满足条件，结合f（x）的值域范围或者图象，易知只有在f（x）的自变量与因变量存在一一对应的关系时，即只有当f（x）＞2时，才会存在一一对应．解答： 解：根据f（x）的函数，我们易得出其值域为：R，又∵f（x）=2x，（x≤0）时，值域为（0，1]；f（x）=log2x，（x＞0）时，其值域为R，∴可以看出f（x）的值域为（0，1]上有两个解，要想f（f（x））=2a2t2+at，在t∈（1，+∞）上只有唯一的x∈R满足，必有f（f（x））＞1（因为2a2t2+at＞0），所以：f（x）＞2，解得：x＞4，当x＞4时，x与f（f（x））存在一一对应的关系，∴2a2t2+at＞1，t∈（1，+∞），且a＞0，所以有：（2at﹣1）（at+1）＞0，解得：t＞或者t＜﹣（舍去），∴≤1，∴a≥，故选：B点评：本题主要考查了分段函数的应用，本题关键是可以把2a2t2+at当作是一个数，然后在确定数的大小后再把它作为一个关于t的函数．4.下列结论中正确的个数是（

）．①在△ABC中，若，则△ABC是等腰三角形；②在△ABC中，若，则③两个向量，共线的充要条件是存在实数，使④等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：B【分析】对每个命题逐一检验其正确性:①：若，则或；②:转化为证明其逆否命题：在△ABC中，若，则，结合正弦函数单调性可证；③：若，不合命题的充要性，命题为假；④：常数列不合题意.【详解】对于①：若，则或，即或即△ABC是等腰三角形或直角三角形，所以该命题不正确；对于②：证明其等价命题即其逆否命题：在△ABC中，若，则当时，由正弦函数单调递增可得；当时，，所以原命题成立，所以该命题正确；对于③：若，满足向量，共线，但不存在实数，使，所以该命题不正确；对于④：常数列，通项公式，其前项和公式不是二次函数，所以该选项不正确，综上：只有一个正确.故选：B【点睛】此题考查对命题真假性的判断，涉及解三角形，向量，数列相关知识，此类问题涉及面广，考查全面，对综合能力要求较高.5.

设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（

）参考答案：A解：设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2，且离心率分别是和的圆锥曲线（当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。当r1=r2且r1+r2<2c时，圆P的圆心轨迹如选项B；当0<2c<|r1?r2|时，圆P的圆心轨迹如选项C；当r1≠r2且r1+r2<2c时，圆P的圆心轨迹如选项D。由于选项A中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因此圆P的圆心轨迹不可能是选项A。6.已知，，则A∩B=（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】分别根据分式不等式求解以及余弦的值域求解计算集合,再求交集即可.【详解】,.故.故选：A【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解以及根据定义域求余弦函数的值域方法,同时也考查了交集的运算,属于基础题.7.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1绕其体对角线BD1旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】棱柱的结构特征．【分析】由正方体的特点，对角线BD1垂直于平面AB1C，且三角形AB1C为等边三角形得答案．【解答】解：如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线BD1垂直于平面AB1C，且三角形AB1C为等边三角形，正方体绕对角线旋转120°能与原正方体重合．故选：C．8.等比数列的前项和为,,则（）A．54 B．48 C．32 D．16参考答案：D9.过的重心任作一直线分别交、于点、，若则的值为

A.4

B.1

C.2

D.3参考答案：D10.若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为（

）A．

B． C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不同的实数根，则实数的取值范围是

．参考答案：12.设满足约束条件，则的最大值为

.参考答案：313.已知椭圆的上下两个焦点分别为，点为该椭圆上一点，若，为方程的两根，则=____________.

．参考答案：-3，14.复数(1+i)(1-i)=_________参考答案：2略15.已知集合A={4}，B={1，2}，C={1，3，5}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标，则确定的不同点的个数为

▲

.参考答案：3316.已知R,，，则M的最大值是

．参考答案：．试题分析：由柯西不等式式易知，所以即是，故应填入．考点：1．复数的概念；2．虚数的定义；3．纯虚数的定义．17.已知等差数列{an}满足：a1+a5=4，则数列{}的前5项之积为

（用数字作答）参考答案：1024【考点】数列的求和．【分析】根据等差数列的性质可得a1+a5=a2+a4=2a3=4，即可求出前5项和，再根据指数幂的运算性质即可求出答案．【解答】解：∵等差数列{an}满足：a1+a5=4，∴a1+a5=a2+a4=2a3=4，∴a1+a5+a2+a4+a3=4+4+2=10，∴数列{2}的前5项之积为2=210=1024，故答案为：1024【点评】本题考查了等差数列的性质和指数幂的运算性质，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数，.（1）若曲线与在它们的交点处有相同的切线，求实数，的值；（2）当时，若函数在区间内恰有两个零点，求实数的取值范围；（3）当，时，求函数在区间上的最小值．参考答案：解：（1）因为，，所以，.…………………1分因为曲线与在它们的交点处有相同切线,所以,且。即,且,………………2分解得.……………ks5u……………3分（2）当时，，所以．…………………4分令，解得．当变化时，的变化情况如下表：00↗极大值↘极小值↗所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．………………5分故在区间内单调递增，在区间内单调递减．………………6分从而函数在区间内恰有两个零点，当且仅当………7分即解得．所以实数的取值范围是．……………………8分（3）当，时，．所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．由于，，所以．……………9分①当，即时，………………………10分．………ks5u…11分②当时，．……………12分③当时，在区间上单调递增，．……………………13分综上可知，函数在区间上的最小值为……………14分

略19.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图像如图所示。(1)求f(x)的解析式及其单调递增区间；(2)若f(x)在[－2，a]有5个零点，求a的取值范围。参考答案：20.（本题满分14分）某单位的联欢活动中有一种摸球游戏，已知甲口袋中大小相同的3个球，其中2个红球，1个黑球；乙口袋中有大小相同的2个球，其中1个红球，1个白球．每次从一只口袋中摸一个球，确定颜色后再放回．摸球的规则是：先从甲口袋中摸一个球，如果摸到的不是红球，继续从甲口袋中摸一个球，只有当从甲口袋中摸到红球时，才可继续从乙口袋里摸球．从每个口袋里摸球时，如果连续两次从同一口袋中摸到的都不是红球，则该游戏者的游戏停止．游戏规定，如果游戏者摸到2个红球，那么游戏者就中奖．现假设各次摸球均互不影响．（I）一个游戏者只摸2次就中奖的概率；（II）在游戏中，如果某一个游戏者不放弃所有的摸球机会，记他摸球的次数为，求的数学期望．参考答案：从甲口袋中摸一个球，摸到的球是红色球的概率为；从乙口袋中摸一个球，摸到的球是红色球的概率为．（1）一个游戏者只摸2次就中奖，说明他第一次从甲口袋摸到的是红球，第二次从乙口袋中摸到的也是红球，所以其概率为；（2）可取．用表示“从甲口袋中摸1个球，摸到的是红球”，用表示“从甲口袋中摸1个球，摸到的不是红球”，则；用表示“从乙口袋中摸1个球，摸到的是红球”，用表示“从乙口袋中摸1个球，摸到的不是红球”，则．；；．所以的分布列为：234

．21.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数