理论力学-第七章点合成运动

速度复合定理§7–2

点的速度复合定理牵连点运动轨迹zxyOz'x'y'M(m)M'(m')绝对运动轨迹相对运动轨迹

M1(m1)

三种运动轨迹M2(m2)§7–2

点的速度复合定理§7–2

点的速度复合定理

速度复合定理动点M在时间△t内的绝对位移则有分析其中各项代入（1）式可得z'x'y'rr1r'

M(m)M

'(m')

M1(m1)

M2(m2)vevavr绝对速度牵连速度相对速度动点的绝对速度等于其相对速度与牵连速度的矢量和。§7–2

点的速度复合定理z'x'y'rr1r'

M(m)M

'(m')

M1(m1)

M2(m2)vevavr

速度复合定理

几点说明§7–2

点的速度复合定理绝对运动、相对运动是指动点的运动；牵连运动是指刚体(动系)的运动；而牵连速度是指刚体上一点(与动点相重合的点)的速度。

速度复合定理为平面矢量方程，由此可以写出两个投影式，所以可以求解两个未知量。速度复合定理对任意形式的牵连运动都适用。解题步骤(1)选定动点、动参考系和定参考系。(2)分析三种运动和三种速度。(3)作出速度平行四边形。(4)利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。例7-1军舰以20节（knot，1=1.852km/h）的速度前进，直升飞机一每小时18km的速度垂直降落。求直升飞机相对于军舰的速度。§7–2

点的速度合成定理

例题7-1例题7-1解：O1x´y´M§7–2

点的速度合成定理

例题7-11、选择动点与动系2、运动分析绝对运动－垂直向下直线运动。

相对运动－直线运动。牵连运动－水平方向平动。动系－固连于军舰。动点－直升飞机。定系－固连于海岸。O1x´y´Mvevavrα§7–2

点的速度合成定理

例题7-13、分析三种速度，画出速度矢量图

绝对速度va：va大小已知，方向铅垂向下。

牵连速度ve：ve大小即为舰艇的前进速度，方向水平向右。应用速度合成定理

相对速度vr：大小方向均未知，为所要求的量。可得飞机的相对速度大小方向可用vr与水平线夹角表示为例7-2已知正弦机构中，曲柄OA＝l，角速度ω

,θ＝30o。求T型杆BCD的速度。ωOADCBθ

例题7-2§7–2

点的速度合成定理例题7-2ωOADCBθ解：1.选择动点与动系。动点－曲柄上的A点；动系－固连于杆BC上。2.运动分析。

绝对运动－以O为圆心、l为半径的等速圆周运动。

相对运动－沿BC方向的直线运动。牵连运动－铅垂方向的平移。§7–2

点的速度合成定理

例题7-2定系－固连于机座。ωOADCBθ3.速度分析。vrveva

牵连速度ve：

ve＝？,方向沿铅垂方向向上。绝对速度

va：

va＝

ωl，方向垂直于OC。相对速度vr：

vr＝？，方向沿BC。§7–2

点的速度合成定理

例题7-2应用速度合成定理可得T型杆BCD的速度方向铅垂向上。例7-3仿形机床中半径为R的半圆形靠模凸轮以等速度v0沿水平轨道向右运动，带动顶杆AB沿铅垂方向运动，如图所示。试求φ=60º时，顶杆AB的速度。

ABv0nφR

例题7-3§7–2

点的速度合成定理例题7-3ABv0nφR

解：1.选择动点，动系与定系。动系－固连于凸轮。2.运动分析。

绝对运动－直线运动。牵连运动－水平平移。动点－AB杆的端点A。

相对运动－沿凸轮轮廓曲线运动。定系－固连于水平轨道。§7–2

点的速度合成定理

例题7-3ABv0nφR3.速度分析。绝对速度va：大小未知，方向沿杆AB向上。

相对速度vr：大小未知，方向沿凸轮圆周的切线

。

牵连速度ve：ve=

v0，方向水平向右。vaveφvr§7–2

点的速度合成定理

例题7-3应用速度合成定理ABv0nφRvaveφvr§7–2

点的速度合成定理

例题7-3方向向上。

可得因为杆AB作平动，所以此瞬时它的速度大小：

若取凸轮上与顶杆相重合的点A1为动点，动系固连于顶杆AB，则相对运动轨迹是什么曲线？§7–2

点的速度合成定理

例题7-3

讨论§7–2

点的速度合成定理

例题7-3

讨论若取凸轮上与顶杆相重合的点A1为动点，动系固连于顶杆AB，则相对运动轨迹是什么曲线？例7-5如图所示，半径为R，偏心距为e的凸轮，以匀角速度ω绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。求在图示位置时，杆AB的速度。

例题7-5§7–2

点的速度合成定理例题7-5eOCθωB解：1.选择动点，动系与定系。动系－Ox´y´，固连于凸轮。2.运动分析。

绝对运动－直线运动。

相对运动－以C为圆心的圆周运动。牵连运动－绕O轴的定轴转动。动点－AB的端点A。y'x'定系－固连于机座。A§7–2

点的速度合成定理

例题7-5eOCAθωBvevaθvr应用速度合成定理3.速度分析。

绝对速度va：

va为所要求的未知量，方向沿杆AB。

相对速度vr：大小未知，方向沿凸轮圆周的切线

。

牵连速度ve：

ve＝OA

·

ω

，方向垂直于OA

。§7–2

点的速度合成定理

例题7-5可得杆AB的速度方向向上。

例7-6如图所示为裁纸板的简图。纸板ABCD放在传送带上，并以匀速度v1=0.05m·s-1与传送带一起运动。裁纸刀固定在刀架K上，刀架K以匀速度v2=0.13m·s-1沿固定导杆EF运动。试问导杆EF的安装角θ应取何值才能使切割下的纸板成矩形。ABCDEFKθv1v2

例题7-6§7–2

点的速度合成定理例题7-6ABCDEFKθv1v2

1.选择动点，动系与定系。相对运动－垂直于纸板的运动方向的直线运动。牵连运动－

随纸板一起作水平向左的平动。绝对运动－

沿导杆的直线运动。动系－固连于纸板ABCD上。动点－取刀架K为动点。

2.运动分析。解：定系－固连于机座。§7–2

点的速度合成定理

例题7-6EABCDFKθv1ve=v1va=v2故导杆的安装角3.速度分析。

绝对速度va：

va=v2，

方向沿杆EF向左上。

牵连速度ve：

ve=v1

，方向水平向左。

相对速度vr：

大小未知，方向垂直于纸板的运动方向。由几何关系可得θvr应用速度合成定理§7–2

点的速度合成定理

例题7-6例7-7船A和船B分别沿夹角是φ的两条直线行驶。已知船A的速度是v1，船B始终在船A的左舷正对方向。试求船B的速度v2和它对船A的相对速度。φOyy'xx'ABv2v1

例题7-7§7–2

点的速度合成定理例题7-71.选择动点，动系与定系。相对运动－沿AB的直线运动。牵连运动－

随动系Ax'y'的直线平动。绝对运动－

沿OB的直线运动。动系－Ax'y'固连于船A上。动点－取船B上任一点为动点。

2.运动分析。φOyxABy'x'解：v2v1定系－固连于海岸。§7–2

点的速度合成定理

例题7-73.速度分析。4.求速度。vrve=v1va=v2φ应用速度合成定理

绝对速度va：

va=v2，大小待求，方向沿OB。

相对速度vr：大小未知，方向沿AB。

牵连速度ve：

ve=v1

，方向沿轴Ox正向。得船B的绝对速度和对于船A的相对速度的大小φOyxABy'x'v2v1§7–2

点的速度合成定理

例题7-7

加速度合成定理

三种加速度§7–3

牵连运动是平移时点的加速度合成定理绝对加速度－动点相对于定系的加速度称为绝对加速度，用aa表示。相对加速度－动点相对于动系的加速度称为相对加速度，用ar表示。牵连加速度－动系上与动点相重合的那一点（牵连点）对于定系的加速度称为牵连加速度，用ae表示。§7–3牵连运动是平移时点的加速度合成定理1.

三种加速度动点M在定系和动系中的矢径分别用r和r′表示。上式在定系中对时间t求二阶导数，有Oi'O'k'j'x'ryrO’y'z'xzM(m)r'有关系式§7–3牵连运动是平移时点的加速度合成定理2.牵连运动是平移时点的加速度合成定理Oi'O'k'j'x'ryr'Oy'z'xzM(m)r'aO'aear

加速度合成定理——牵连运动为平移时，点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度的矢量和。§7–3

牵连运动是平移时点的加速度合成定理加速度合成定理

例7-10

具有曲面AB的靠模沿水平方向运动时，推动顶杆MN沿铅直固定导槽运动。已知在图中瞬时靠模具有水平向右的速度v1，水平向右的加速度a1，曲线AB在杆端M接触点的切线与水平线的夹角为θ；曲线AB在杆端接触点M的曲率半径是ρ；试求顶杆MN在这瞬时的速度及加速度。ABMx'y'yxO'ONθv1a1

例题7-10§7–3

牵连运动是平移时点的加速度合成定理例题7-10ABMx'y'yxO'ONθv1a11.选择动点，动系与定系。动点－顶杆端点M。动系－固连于靠模上。2.运动分析。绝对运动－M点沿铅直方向的直线运动。牵连运动－

靠模水平向右的平动。相对运动－相对于靠模沿其表面AB的曲线运动。解：定系－固连于机座。

例题7-10§7–3

牵连运动是平移时点的加速度合成定理ABMx'y'yxO'ONθv1a1vevavr3.速度分析。

绝对速度va：

大小未知，方向沿杆MN

向上。

牵连速度ve：

ve=v1，方向水平向右。

相对速度vr：大小未知，方向沿AB的切线方向方向。

例题7-10§7–3

牵连运动是平移时点的加速度合成定理根据点的速度合成定理，有可求得动点M的绝对速度即顶杆MN速度的大小也可求得相对速度的大小方向是铅直向上。ABMx'y'yxO'ONθv1a1vevavr

例题7-10§7–3

牵连运动是平移时点的加速度合成定理ABMx'y'yxO'ONθv1a1θvraaae4.加速度分析。由点的加速度合成定理绝对加速度aa：大小待求，方向铅直。牵连加速度ae：

ae=a1

，方向水平向右。相对加速度切向分量art：大小未知，沿相对轨迹的切线。相对加速度法向分量arn：

arn

=vr

2/

沿相对轨迹的法线。

例题7-10§7–3

牵连运动是平移时点的加速度合成定理将上式投影到与atr相垂直的轴x1上，得可求得顶杆在该瞬时的加速度若上式求得aa是负值，说明aa的实际指向与图示假定指向相反。θx1ABMx'y'yxO'ONθv1a1θvraaae

例题7-10§7–3

牵连运动是平移时点的加速度合成定理由点的加速度合成定理例7-11曲柄OA绕固定轴O转动，丁字形杆BC沿水平方向往复平动，如图所示。铰链在曲柄端A的滑块，可在丁字形杆的铅直槽DE内滑动。设曲柄以角速度ω作匀角速转动，OA=r，试求杆BC的加速度。OABDEφω

例题7-11§7–3

牵连运动是平移时点的加速度合成定理例题7-11COABDEφω解：1.选择动点，动系与定系。动系－固连于丁字形杆。2.运动分析。

绝对运动－以O为圆心的圆周运动。

相对运动－沿槽CD的直线运动。

牵连运动－丁字形杆BC沿水平方向的平动。动点－滑块A。定系－固连于机座。

例题7-11§7–3

牵连运动是平移时点的加速度合成定理COABDEφω应用加速度合成定理3.加速度分析。

绝对加速度aa：

aa=OAω

2

，沿着

OA，指向O。

相对加速度ar：大小未知，方向沿铅直槽DE。

牵连加速度ae：大小未知，为所要求的量，沿水平方向。aeaaar得杆BC的加速度

例题7-11§7–3

牵连运动是平移时点的加速度合成定理C水平向左。例7-12凸轮在水平面上向右作减速运动，如图所示。设凸轮半径为R，图示瞬时的速度和加速度分别为v和a。求杆AB在图示位置时的加速度。ABvnφRa

例题7-12§7–3

牵连运动是平移时点的加速度合成定理例题8-12ABvnφRa

解：1.选择动点，动系与定系。动系－Ox´y´，固连于凸轮。2.运动分析。

绝对运动－直线运动。牵连运动－水平平动。动点－AB的端点A。

相对运动－沿凸轮轮廓曲线运动。Ox'y'定系－固连于机座。

例题7-12§7–3

牵连运动是平移时点的加速度合成定理ABvnφRaOx'y'3.速度分析。

绝对速度va：大小未知，方向沿杆AB

向上。

相对速度vr：大小未知，方向沿凸轮圆周的切线

。

牵连速度ve：

ve=

v，方向水平向右。vavevrφ根据速度合成定理可求得：

例题7-12§7–3

牵连运动是平移时点的加速度合成定理ABvnφRaOx'y'

4.加速度分析。绝对加速度aa：大小未知，为所要求的量，方向沿直线AB。相对加速度切向分量art：大小未知，垂直于

OA，假设指向右下。牵连加速度ae：

ae=

a

，沿水平方向。相对加速度法向分量arn：

aen

=vr

2/R，沿着OA，指向O。aeaa

例题7-12§7–3

牵连运动是平移时点的加速度合成定理根据加速度合成定理上式投影到法线n上，得解得杆AB在图示位置时的加速度ABv0nφRaOx'y'aeaa

例题7-12§7–3

牵连运动是平移时点的加速度合成定理铅直向下。牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理

科氏加速度§7–4

牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理设动点M在园盘上半径是r的圆槽内相对于圆盘以大小不变的速度vr作圆周运动，同时，圆盘以匀角速度ω绕定轴O转动，求M点牵连、相对、绝对加速度。引例ωrvr动系－固连于圆盘。动点－

M点。解：ve相对速度vr=const牵连速度

ve＝rω§7–4

牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理OMωrvrveva动系－固连于圆盘。动点－

M点。Mve＝rω应用速度合成定理va＝rω+vr=常量ae=aen，ar=arn，aa=aan，ae=aen=ve2/r=rω2ar=arn=vr2/raa=aan=va2/r=(rω+vr)2/raa=vr2/r+rω2+2ωvr所以M点的绝对运动为沿槽匀速圆周运动.加速度分析

引例§7–4

牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理Ovr=const可得所以aa=vr2/r+rω2+2ωvr由此可见，在此实例中，点M的绝对加速度aa并不等于其牵连加速度（大小rω2）与相对加速度（大小）的矢量和。这里增加了一项2ωvr称为科氏加速度，用aC表示。即：当牵连运动是定轴转动时，动点的绝对加速度并不等于牵连加速度与相对加速之矢量和。

引例§7–4

牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理ωrvrvevaMO设载体以角速度ω和角加速度α绕定系Oxyz的轴z转动；动系O′x′y′z′固连于载体，动点M沿相对轨迹AB运动。zxyωαOO′z′y′x′r′ri′k′j′vevrABM(m)(1)vr与ar相对矢径相对速度相对加速度§7–4

牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理1.牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理(2)ve与ae牵连速度牵连加速度zxyωαOO′z′y′x′r′ri′k′j′vevrABM(m)§7–4

牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理(3)va与aa由点的速度合成定理在定系中求上式对时间t的导数

§7–4

牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理得●●§7–4

牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理泊松公式ar●§7–4

牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理它表示了牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理（科里奥利定理），即当牵连运动是定轴转动时，动点在每一瞬时的绝对加速度，等于它的牵连加速度、相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。上式右端的最后一项称为科氏加速度，并用aC表示，即最后得到动点绝对加速度的表达式代入§7–4

牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理(3)在一些特殊情况下科氏加速度aC等于零：ω=0的瞬时；

vr=0的瞬时；

ω∥vr

的瞬时。(1)科氏加速度是牵连转动（ω）和相对运动（vr）相互影响的结果。(2)

aC的大小：aC的方向：垂直于ω与vr所确定的平面，由右手规则确定。§7–4

牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理2.科氏加速度例7-13已知曲柄OA＝r

，以角速度ω0匀速转动。求曲柄OA水平，摇杆AB与铅垂线夹角为30o时，摇杆AB的角加速度。§7–4

牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理例题13例题7-13§7–4

牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理例题131.选择动点，动系与定系。动系－O1x'y'，固连于摇杆O1B。2.运动分析。

绝对运动－以O为圆心的圆周运动。

相对运动－沿O1B的直线运动。牵连运动－摇杆绕O1轴的摆动。动点－滑块A。定系－固连于机座。x1y1解：§8–4

牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理例题132.速度分析vavrve由前面例子，根据速度合成定理

已经求得牵连速度相对速度ω1摇杆的角速度3.加速度分析

aa:

aa=rω

02，沿着OA，指向O；

ar:

大小未知，沿着O1B，指向B；

aen

:

aen

=rω

0

2/8，沿着O1A，指向O1；

aet

:

aet

=(O1A)，

为未知，垂直于O1A，指向未知，假设指向左上；

aC:

垂直于O1B，指向左上。§7–4

牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理

例题13araaaCaetaen加速度分析ω1加速度分析

araaaCaetaen将上式沿aet

方向投影，得由加速度合成定理§7–4

牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理

例题13即求得摇杆AB的角加速度（逆时针）。例7-14已知凸轮的偏心距OC＝e，凸轮半径，并且以等加速度ω绕O轴转动，图示瞬时，AC垂直于OC，φ＝30o。求顶杆的速度与加速度。φω§7–4

牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理

例题14例题7-14ω§7–4

牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理

例题14解：1.选择动点，动系与定系。动系－固连于凸轮。2.运动分析。

绝对运动－直线运动。

相对运动－以C为圆心的圆周运动。牵连运动－绕O轴的定轴转动。动点－AB的端点A。定系－固连于机座。3.速度分析。ω§7–4

牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理

例题14应用速度合成定理

绝对速度：

va为所要求的未知量，方向沿杆AB。

相对速度：大小未知，方向沿凸轮圆周的切线

。

牵连速度：

ve＝OA

·

ω＝2eω