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空间曲面与空间曲线

一般地说，在直角坐标系下，表示空间曲面。例如表示球面的方程；表示平面的方程等等。而空间曲线则可以看成两个曲面的交线。例如空间直线的方程可以写成。以下学习较典型的空间曲面和空间曲线。1.柱面：若空间曲面可以由一条直线L（母线）沿某条曲线C（准线）移动，在移动过程中，直线L方向保持不变，则称此曲面为柱面。【例1】求母线平行于z轴而准线是的柱面方程（圆柱面）。证明：母线L方程可以写成，其中，若M(x,y,z)为曲面上任一点，则有。

一般地，在空间直角坐标系下，三元方程中缺少哪个字母，就表示母线平行于该字母所表示坐标轴柱面方程。【例2】求准线为而母线平行于z轴的柱面，并求准线在oxy面上的投影。解：从方程组中消去z

，即得到所求柱面方程：（椭圆柱面）而准线在oxy面上的投影为。【例3】求准线为oxy面上曲线，母线方向为的柱面方程。解：过准线(x,y,0)的母线方程可以写成，因为(x,y,0)在准线上，故满足f(x,y)=0，由此可得柱面方程

2.锥面：若曲面由直线（母线）沿准线移动而成，在移动过程中，直线始终过一固定点（顶点），称此曲面为锥面【例4】求顶点在原点，准线为的锥面方程（圆锥面方程）。解：曲面上的母线的方程可以写成，其中

为准线上的点，即有，由此可得锥面方程为。3.椭球面（1）有界性（2）对称性（3）截口曲线【例5】证明所围体积。证明：按照平行于oxy面截口曲线为故所求体积。4.单叶双曲面（1）无界性（2）对称性（3）截口曲线

5.双叶双曲面（1）无界性（2）对称性（3）截口曲线6.椭圆抛物面（1）无界性（2）对称性

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