第7章 IIR数字滤波器的设计

第6章IIR数字滤波器的设计1内容6.1引言6.2将DF的技术指标转换为ALF的技术指标6.3模拟滤波器（ALF）的设计6.4脉冲响应不变法6.5双线性变换法6.6设计IIR数字滤波器的频率变换法总结

重点：脉冲响应不变法、双线性变换法、频率变换法

2滤波的目的:为了压制输入信号的某些频率成分，从而改变信号频谱中各频率分量的相对比例广义滤波包括对信号的检测与参量的估计信号的检测:

确定在干扰背景中信号是否存在信号参量的估计:

为识别信号而确定信号的某一个或某几个参量的估值§6-1引言一、数字滤波器的频率特性3滤波技术包括:滤波器设计:

根据给定滤波器的频率特性，求得满足该特性的传输函数滤波过程的实现：获得传输函数后，以何种方式达到对输入信号的进行滤波的目的4数字滤波器寻求一个因果稳定的线性时不变系统，使其系统函数H(z)具有指定的频率特性具有某种特定频率特性的线性时不变系统广义上，任何线性时不变离散系统都是一个数字滤波器设计数字滤波器的任务56数字滤波器（DF）按频率特性分类可分为低通、高通、带通、带阻和全通，其特点为：（1）频率变量以数字频率表示，，为模拟角频率，T为抽样时间间隔；（2）以数字抽样频率为周期；（3）频率特性只限于范围，这是因为依取样定理，实际频率特性只能为抽样频率的一半。700低通0高通带通800带阻全通9二、DF的性能要求（低通为例）0通带截止频率阻带截止频率1通带容限阻带容限过渡带通带阻带过渡带10通带纹波（通带允许最大衰减）阻带纹波（阻带允许最小衰减）01通带阻带过渡带01通带阻带过渡带11通带阻带过渡带平滑过渡三、DF频响的三个参量

1、幅度平方响应

2、相位响应123、群延迟它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时，就是表示每个频率分量的延迟相同。四、DF设计内容

1、按任务要求确定Filter的性能指标；

2、用IIR或FIR系统函数去逼近这一性能要求；

3、选择适当的运算结构实现这个系统函数；

4、用软件还是用硬件实现。IIR滤波器的系统函数通常可表示成的有理分式FIR滤波器的系统函数则可表示为的多项式13五、IIR数字filter的设计方法

1、借助模拟滤波器的设计方法（1）将DF的技术指标转换成AF的技术指标；（2）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的；（3）将（4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通

AF的技术指标。

2、计算机辅助设计法（最优化设计法）先确定一个最佳准则，如均方差最小准则，最大误差最小准则等，然后在此准则下，确定系统函数的系数。3.直接在数字域设计IIR4、根据传输函数的几何特性，

采用零极点累试的方法进行设计14§6-2将DF的技术指标转换为ALF的技术指标一、意义

AF的设计有一套相当成熟的方法：设计公式；设计图表；有典型的滤波器，如巴特沃斯，切比雪夫等。二、一般转换方法

1、数字低通->模拟低通

2、数字高通->模拟高通->模拟低通

3、数字带通->模拟带通->模拟低通

4、数字带阻->模拟带阻->模拟低通15模拟滤波器的逼近0通带截止频率阻带截止频率1与通带衰减Ap(或通带纹波)有关与阻带衰减As(或阻带纹波)有关16三、转换举例例如，一低通DF的指标：在的通带范围，幅度特性下降小于1dB；在的阻带范围，衰减大于15dB；抽样频率；试将这一指标转换成ALF的技术指标。解：按照衰减的定义和给定指标，则有

假定处幅度频响的归一化值为1，即17这样，上面两式变为由于，所以当没有混叠时，根据关系式模拟filter的指标为186-3模拟低通滤波器（ALF）的设计

ALF的设计就是求出filter的系统函数H

(s)

，使其逼近理想低通滤波器(LF)的特性，逼近的形式（滤波器的类型）有巴特沃斯型，切比雪夫型和考尔型等。而且逼近依据是幅度平方函数，即由幅度平方函数确定系统函数。一、由幅度平方函数确定系统函数

1、幅度平方函数由于所以

其中，是AF的系统函数，是AF的频响，是AF的幅频特性。192、H(s)H(-s)的零极点分布特点（1）如果S1是H（s）的极点，那么-S1就是H(-s)的极点；同样，如果S0是H（s）的零点，那麽-S0就是H（-s）的零点。所以H（s）H(-s)的零极点是呈象限对称的,例如：（2）虚轴上的零点一定是二阶的，这是因为ha（t）是实数时的H（s）的零极点以共轭对存在；（3）虚轴上没有极点(稳定系统在单位圆上无极点)；（4）由于filter是稳定的，所以H（s）的极点一定在左半平面；最小相位延时，应取左半平面的零点，如无此要求，可取任一半对称零点为H（s）的零点。

20213、由确定H(s)的方法（1）第一步（2）分解H（s）H(-s)得到各零极点，将左半面的极点归于H(s)，对称的零点任一半归H(s)。若要求最小相位延时，左半面的零点归H(s)（全部零极点位于单位圆内）。（3）按频率特性确定增益常数。22例6-1由确定系统函数H(s)。解：所以，极点为零点为均为二阶的。我们选极点-6，-7，一对虚轴零点为的零极点，这样由，可确定出，所以。因此23二、巴特沃斯低通滤波器

1、幅度平方函数其中，N为整数，是滤波器的阶数；为截止频率。当时，则即24（1）通带内有最大平坦的幅度特性；（2）不管N为多少，都通过点。2、幅频特性1.00N=2N=4N=82526273、巴特沃斯filter的系统函数由于所以其零点全部在处；即所谓全极点型，它的极点为也就是说，这些极点也是呈象限对称的。而且分布在巴特沃斯圆上（半径为），共有2N点。28例如，N=2时，N=3时，29取左半平面的极点为的极点，这样极点仅有N个，即其中，常数由的低频特性决定。则30[例6-2]导出三阶巴特沃斯LF的系统函数，设解：所以其极点为因此有取前三个极点，则有314、归一化的系统函数如果将系统函数的S,用滤波器的截止频率去除，这样对应的截止频率变为1，即所谓归一化，相应的系统函数称作归一化的系统函数记作例如，对于巴特沃斯filter32

如果将低通filter归一化，就称作归一化原型滤波器。三、归一化原型filter的设计不论哪种形式（巴特沃斯，切比雪夫）的滤波器，都有自己的归一化原型滤波器，而且它们都有现成的数据表可查和设计公式例如，归一化巴特沃斯原型滤波器的系统函数（这里的S即）为当,增益为1，则有，N=1~10阶的各个系数，如表6-4（P261）所示。如果，则E（s）多项式如表如表6-4。*由归一化系统函数得，只需将S代入即可。336-43435归一化巴特沃思低通滤波器的幅度特性3637383940例：4142四、设计举例（巴特沃思滤波器）

1、技术指标

2、计算所需的阶数及3dB截止频率将技术指标，代入上式，可得43解上述两式得：因此，取N=6，则3、的求得查表，可得N=6时的归一化原型模拟巴特沃斯LF的系统函数为44将S用代入，可得45

切比雪夫滤波器是在通带或阻带上频率响应幅度等波纹波动的滤波器。在通带波动的为I型切比雪夫滤波器，在阻带波动的为II型切比雪夫滤波器。切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快，但频率响应的幅频特性不如后者平坦。切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差最小，但是在通频带内存在幅度波动。

五、切比雪夫滤波器461.切比雪夫I型滤波器幅度平方函数472.切比雪夫II型滤波器其中是阻带的下边频幅度平方函数48$6-4冲激响应不变法模拟滤波器设计完毕以后，再将H（s）变换成H（z），也就是将s平面映射到z平面。通常有三种方法：（1）冲激响应不变法；（2）阶跃响应不变法；（3）双线性变换法。49一、冲击响应不变法原理

h（n）为DF的单位冲激响应序列，为AF的冲激响应，冲激响应不变法就是使h（n）正好等于的抽样值，即如果则有上式表明，先对沿虚轴作周期延拓，再经过的映射关系映射到Z平面。二、混迭失真

DF的频响并不是简单的重复AF的频响，而是AF的频响的周期延拓，即

50根据取样定理，只有当AF的频响带限于折叠频率以内时，即才能使DF在折叠频率内重现AF的频响，而不产生混叠失真。但是，任何一个实际AF的频响却不是严格带限的，就会产生混迭失真，如下图051三、AF的数字化方法

1、一般方法。先，再对抽样，使，最后H（Z）=Z[h（n）]，一般说来过程复杂。

2、方法的简化设只有单阶极点，而且分母的阶次大于分子的阶次，可展成如下的部分公式52因此，533、几点结论（1）S平面的单极点变为Z平面单极点就可求得H（Z）。（2）Ha(s)与H（Z）的系数相同，均为（3）AF是稳定的，DF也是稳定的。（4）S平面的极点与Z平面的极点一一对应，但两平面并不一一对应。例如，零点就没有这种对应关系。4、修正的H（Z）由于DF的频响与T成反比，当T很小时，DF的增益过高，这样很不好，为此做如下修正：54[例6-3]AF的系统函数为，试用冲激响应不变法，设计IIRDF，T=1解：

设T=1，55通常，信号大都为时限的，据信号理论可知，时限信号变换到频域，将变成非带限信号，系统也遵循这一原则。这样当用冲激响应不变法设计DF时，不可避免的产生混叠失真。为了克服混叠失真，可采用双线性变换法。这种方法的基本思想是，先将S平面中非带限的所设计的系统函数变换到S1平面，并使其为带限的，然后再转换到Z平面。一、变换原理

在S平面与Z平面的映射关系中,我们知道，S平面中一条宽为（如到）的横带就可以变换到整个Z平面.因此，可先将整个S平面压缩到一个中介的平面的一条横带里，再通过将此横带变换到整个Z平面上。这样就使S平面和Z平面是一一映射关系。如下图所示：$6.5双线性变换法56S平面S1平面Z平面57

时，将由经过0变到

由上图可知，将S平面进行压缩，实际上，就是将其轴压缩到平面的轴上的到的范围内。这可通过正切变换实现：

其中C为任意常数。由上式可知，当由经过0变到通过欧拉公式，可得：58

上式表示两个线性函数之比，称双线性变换将上式关系延拓到整个S和平面，则有：借助于平面和Z平面的映射关系：，可以得到：59二、S平面与Z平面的映射关系由于可得：60（1）当时，；这就是说，S平面的轴映射Z平面的单位圆上。（2）当时，上式的分母大于分子，则有；这表明S左半平面映射到Z平面的单位圆内。两者均是稳定的。三、变换常数C的选择

由于，所以只有当很小（一般），和之间才存在线性关系，即：611.如果使AF和DF在低频处有较确切的对应关系，则选择这时有，即:2.如果使DF的某一稳定频率（如）与AF的一特定频严格相对应，则有率即62四、双线性变换的特点1、S平面的虚轴（）映射到Z平面的单位圆上。这是因为时，不管常数C为何值，均为12、稳定的AF，经双线性变换后所得DF也一定是稳定的，这是因为稳定的AF，其极点必全部位于S的左半平面上，经双线性变换后，这些极点全部落在单位圆内。3、其突出的优点是避免了频响的混叠失真。说明如下：将代入双线性变换公式，且则63即亦即

从时，则从；这就是说，S平面的正虚轴被映射到Z平面的单位圆的上半部

从时，则从；这就是说，S平面的负虚轴被映射到Z平面的单位圆的下半部也就是说，从S平面到Z平面，频率轴是单位变换关系，而且当时，为折叠频率，所以不会有高于折叠频率的分量，因此不会产生混叠失真。64变换关系近似于线性，随着的增加，表现出严重非线性。因此，DF的幅频响应相对于AF的幅频响应会产生畸变。只有能容忍或补偿这种失真时，双线性变换法才是实用的。4.频率的非线性失真从的关系曲线可以看出，在零频附近，与之间的65五、基于双线性变换法的IIR设计方法1、直接代入法

只需将代入AF系统函数就可得到DF的系统函数，即2.间接代入法先将AF的系统函数分解成级联或并联形式，然后在对每一个子系统函数进行双线性变换。66例如并联形式与上述类似67例：利用双线性变换法设计巴特沃斯型数字低通滤波器686970设计滤波器的幅度响应与相位响应71$6.6设计IIR数字滤波器的频率变换法进行频率变换的两种方法：72这种简化方法与直接第一种相比，省去了中间环节，设计过程简单。第一种方法的简化形式：

73一、从S域到Z域的频率变换法1、从归一化模拟低通滤波器原型到数字高通滤波器的频率变换法7475变换关系：76777879802、从归一化模拟低通滤波器原型到数字带通滤波器的频率变换法81数字带通到模拟低通的映射关系828384模拟低通与数字带通的频率变换曲线85模拟低通滤波器与数字带通滤波器的频率变换关系86直接由归一化模拟低通原型求数字滤波器的频率变换公式表见表6-887二、数字域频率变换法

在已知数字低通滤波器时，通过在Z域内的数字频域变换得到所需类型的数字滤波器

则：88（1）为满足一定的频率响应要求，z域的频率必须变换成Z域的频率，也就是说平面的单位圆必须映射到Z平面的单位圆上；（2）为保证因果稳定的系统变换到因果稳定的系统，要求单位圆内部映射到Z的单位圆内部。（3）由于是的有理函数，要求变换函数必须是的有理函数。89909192939495969798由低通数字滤波器变换成各种类型数字滤波器的公式和参数见：

表6-999$6.7数字陷波器设计

也被称为点阻滤波器一种特殊的带阻滤波器，其阻带在理想情况下只有一个频率点主要用于消除某个特殊的频率干扰在各种测量仪器和数据采集系统中用于消除电源干扰的工频陷波器一般为IIR滤波器设计方法双线性变换进行设计零极点累试的方法1001．陷波器的频率特性1012.利用双线性变换设计数字陷波器

已知二阶模拟陷波器的传输函数为：则二阶数字陷波器的传输函数为：102可改写成：

其中：

1033．零极点累试的设计方法（1）基本方法IIR系统函数：由于零极点的共轭成对，考虑二阶：104105二阶系统的零极点分布：106107108结束109IIR数字滤波器设计总结一、IIR数字滤波器设计方法利用模拟滤波器理论直接在数字域设计IIR最优化技术CAD零极点累试方法二、基于模拟滤波器设计方法1.设计模拟滤波器低通滤波器2.变换为数字滤波器脉冲响应不变法双线性变换法3.频率变换法直接S域到Z域的变换方法数字域变换法110三、模拟滤波器1.Butterworth低通滤波器幅度平方函数幅频特性1.00N=2N=4N=8111%butt_test1holdon;forn=2:2:10[z,p,k]=buttap(n);[b,a]=