第4章 频域分析

第4章频域分析

4.1频域分析法及其特点

4.2连续信号与系统控制的频域分析

4.3MATLAB在频域分析法中的应用4.1频域分析法及其特点4.1.1什么是频域分析法4.1.2频域分析法的特点

4.1.1什么是频域分析法

频域分析法（

傅里叶——J.Fourier,

1768-1830

）是一种变换域分析方法，是三大工程分析方法中最重要、最常用的方法。所谓频域分析，即在频率域（简称频域）内分析、研究信号与系统控制的问题。“信号的频域（频谱）分析”利用信号的频率特性，将周期信号分解为一系列不同频率的正弦信号（序列）或虚指数信号（序列）的叠加，将非周期信号分解为相应信号（序列）的频谱函数的积分。这种分解具有明显的物理意义，在工程实际中得到了广泛应用。

限于篇幅，本章只研究“连续”信号与系统控制的频域分析，而对于“离散”信号与系统控制的问题，将在第5章“复频域分析”中详细讨论。

4.1.2频域分析法的特点1.明确的物理意义——信号的频谱分析，揭示了信号的基本组成和能量的主要分布；系统控制的频域分析，则明确了系统的基本滤波性能。2.图解与渐近逼近——信号的“离散”或“连续”频谱，非常直观、明析；系统控制的Bode图则可以快速、渐近画出，且容易修正、逼近，因而具有简单、形象、基本准确的特点。3.近似与间接研究——根据信号频谱的主要能量分布，可以实现信号的离散取样与复现；根据系统控制的开环Bode图，可研究系统的闭环性能并绘制

Nichols图、得到系统的闭环特性曲线。4.可通过实验观测——信号的频谱可以通过频谱分析仪观察、测试；系统或环节的频率特性则可以通过扫频仪进行观察和测试。5.局限于LTI系统——频域分析法仅限于LTI系统的分析与研究；对于满足LTI条件的许多系统，都可以应用频域分析法进行限于零状态响应的研究，但不宜进行零输入响应与完全响应的研究。4.2连续信号与系统控制的频域分析4.2.1信号的频谱4.2.2信号的傅立叶变换4.2.3采样定理4.2.4连续系统的频域分析

4.2.5连续系统的频率特性

4.2.6Nyquist稳定判据与对数频率稳定判据4.2.7系统Bode图的三频段分析与闭环特性

4.2.8系统频域指标与时域指标的关系

4.2.1信号的频谱

1.

傅里叶级数

三角函数的正交性使得任意两个不同的三角函数的乘积在一个周期内的积分为0，即有

（4.2-1）

（4.2-2）

（4.2-3）

任一周期信号

都可由完备的正交三角函数集

中各正交函数的线性组合来表示。在此正交三角函数集中，由于

时，有

，因此上述正交三角函数集可以具体写为

（4.2-4）

需要指出，此周期信号

须满足狄里赫利（Dirichlet）条件：

⑴函数在任意有限区间连续，或只有有限个第一类间断点；

⑵在一个周期内，函数只有有限个极大值或极小值；

⑶在一个周期内，函数

绝对可积。

通常我们遇到的周期信号，都能满足狄里赫利条件。对于任何一个周期为的周期信号，都可用下面的线性组合来表示：

（4.2-5）

称为基波角频率；

和

为加权系数，且

（4.2-6）（4.2-7）

的直流分量为

（4.2-9）式中，式（4.2-5）可写为（4.2-10）列谐波分量之和来表示。其中，为直流分量，为

量的振幅，为

次谐波分量的相位。振幅

、相位

与系数

和

的三角关系如图4.2-1所示，分别为式（4.2-10）表明，任一周期信号可用一直流分量和一系次谐波分

（4.2-11）（4.2-12）２.

函数的对称性与傅立叶系数的关系1)偶对称2)奇对称3)奇谐对称4)偶谐对称—信号波形关于纵轴对称，有—信号波形关于原点对称，有

—信号沿t轴平移半个周期后与原波形

镜像，即—信号沿t

轴平移半个周期后与原波形满足，在偶函数

的傅立叶级数展开式中，没有正弦项，只需求a

0与an即可。

级数展开式只有正弦项，没有直流与余弦项，只需求bn即可。

，其傅立叶关于时间轴，其傅立叶级数展开式中，只有奇次项，而没有直流与偶次谐波项。完全重叠，，其傅立叶级数展开式中，没有奇次谐波，只有直流及偶次正弦项与偶次余弦项。例4.2-1

求图4.2-5所示周期矩形脉冲信号的傅里叶级数展开式。

解：分解图4.2-5所示信号为

与

，如图4.2-6所示。其中，为原信号的直流分量；

则同时具有奇对称与奇谐对称特性。即在

信号的傅里叶级数展开式中，只有奇次正弦项，没有直流、偶次谐波与奇次余弦项。因此，对叶系数，只需求取bn|n=1,3,5,…

即可。的傅里

由

可得到图4.2-5所示

信号的傅里叶级数展开式为

由此展开式可知，图4.2-5所示的周期矩形脉冲信号分量E

/

2及奇次正弦分量，而没有偶次谐波分量与余弦分量。

当方波宽度不是T/2时，要按照式（4.2-8）具体计算；则只具有奇对称而没有奇谐余弦项，需要按照式（4.2-7）具体计算

。只含有直流的直流分量将大于或小于E/2，需对称，即的傅里叶级数展开式中，只有正弦项，而没有直流与3.

指数形式的傅立叶级数1）指数形式的傅立叶级数（4.2-14）2）指数形式与三角形式傅立叶级数的关系任意函数可在区间内，用指数函数集

表示为：（4.2-15）其中，加权系数式（4.2-15）中，由式（4.2-15）可知，。设

，由式（4.2-14）则有

即

对式（4.2-16）与式（4.2-10）进行比较，可得到周期函数

级数与三角形式傅里叶级数之间的关系，即，，，有

（4.2-16）的指数形式傅立叶3)几点说明（4.2-14）（4.2-14）4.周期信号的频谱周期信号

可以表示为三角级数或虚指数级数的形式，即或1）周期信号的频谱

由于周期信号

的复振幅

是

的复函数，所以周期信号

的频谱图一般包括振幅频谱（振幅谱）与相位频谱（相位谱）两方面，即周期信号

周期信号的频谱具有离散的特点。的幅频特性图和相频特性图。显然，

的振幅谱和相位谱。解：由题

为周期信号，可认为题中

的表达式就是

傅里叶级数展开式。的由

可知，例4.2-2

若

，试画出

其基波频率

(

rad

/

s

)，基本周期

T=2s

，则分别为

而且，，；，；，；，；，

按以上数据即可画出振幅谱和相位谱，分别如图4.2-7

a、b所示。从频谱图中，可以看出信号

个正弦分量所占的比重。的二次，三次和六次谐波频率。。包含有哪些正弦分量以及每2）周期信号频谱的特点

由图4.2-11可以看出，周期矩形脉冲信号的频谱具有以下三个特点：⑴离散性：此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，称为离散谱。⑵谐波性：此频谱的每一条谱线只出现在基波频率

频率上，即只有

的各整数次谐波分量，而没有

波分量。⑶收敛性：此频谱各次谐波分量的振幅随

的总趋势，是随

的增大而逐渐减小的，当

时，有

以上关于周期矩形脉冲信号频谱的三个特性，即离散性、谐波性和收敛性，是具有普遍意义的，同样适用于其他周期信号。的整数倍的非整数次谐而起伏变化图4.2－11周期矩形脉冲信号的频谱（4.2-19）

4）关于吉布斯现象

虽然周期信号的傅里叶级数是无穷项级数，但在实际应用中，常采用有限项级数去近似的方法复现原信号，而由近似产生的误差则与所选项数的多少有关，存在吉布斯现象。

图4.2-12表现了用有限项级数近似复现周期矩形脉冲信号与锯齿波信号时所呈现的吉布斯现象。

所谓吉布斯（Gibbs）现象是这样的：当周期信号傅里叶级数的选取项数很多时，总合成信号的峰值将靠近原周期信号的不连续点，且趋于一个常数，这个常数大约为原信号不连续点总跳变值的9

%

。

5）周期信号的功率与有效值

周期信号是一种功率信号，周期信号的平均功率是有限的，而其能量则是无限的。有帕塞瓦尔等式

帕塞瓦尔等式（4.2－22）表明，周期信号的功率等于直流和各次谐波分量功率之和。

考虑1Ω电阻上的功率P与电压或电流有效值U、I的关系为

容易得到：与

。

即周期信号的有效值为各谐波分量有效值的平方和的平方根。

4.2.2信号的傅里叶变换当周期矩形脉冲信号的周期

因此可把非周期信号看成是周期变成连续频谱，不能再用原来傅里叶级数的复振幅来表示其频谱，而必须引入频

谱密度函数的新概念。时，周期信号就变成非周期的单脉冲信号，的周期信号，此时，原来的离散频谱将1.非周期信号的傅里叶变换（4.2-27）（4.2-28）（4.2-29）2.傅立叶变换的性质傅里叶变换建立了非周期信号与频域函数之间的对应关系

，当其中一个函数确定后，另一个函数就被唯一地确定。在信号分析的理论研究和实际设计的过程中，经常要研究时域变化对频域变化的影响，或者由频域研究去分析时域的效果。利用傅里叶变换的性质，不仅可以简化这种研究、分析的过程，而且物理概念十分清楚。

表4.2-1给出了傅里叶变换的主要性质以便查阅，其中。

。4.2

-

13.周期信号的傅里叶变换1）周期信号与非周期信号频域分析的统一

由周期信号的傅里叶级数和非周期信号的傅里叶变换的讨论，得出了周期信号的频谱为离散的振幅谱，而非周期信号的频谱是连续的密度谱的结论。2）

周期信号的傅里叶变换（4.2-36）（4.2-36）例4.2－3

求图4.2-18

a

所示周期矩形脉冲

解：由题，图4.2-18

a

所示周期矩形脉冲

的频谱函数的复振幅为由式(4.2－36)得周期矩形脉冲

的频谱函数为

的傅里叶级数频谱和傅里叶变换频谱分别如图4.2-18

b、c

所示。的频谱函数。图4.2-18

周期矩形脉冲信号及其频谱

由图4.2-18b、c可知：周期信号傅里叶级数的离散幅度谱用点表示，而其傅里叶变换的离散密度谱则用箭头表示。4.2.3

采样定理人们最关心的问题是，从模拟信号中经过采样得到的离散信号是否包含了的全部信息？能否由离散信号恢复得到无失真的原模拟信号？采样定理正是关于这一重要问题的定理，在通信理论中占有很重要的地位。

图4.2-19中，采样器相当于一个定时开关，每隔

秒开通一次，每次开通的时间为

这样得到的样值信号

是一个离散脉冲序列，其脉冲幅度与相应时刻

的采样值对应。其中，

为采样周期，

为采样频率，

则为采样角频率。实际上，只要由一个周期为

，宽度为

的矩形脉冲序列

控制电子采样器的开关，即可实现上述的采样过程。这种每隔

秒实现一次完整采样的方式称为“均匀采样”或“等间隔采样”。

1.信号的时域采样定理

1）实际采样过程

实际采样过程如图4.2-19所示。图4.2-19信号的实际采样过程秒，图4.2-19所示的采样过程，从理论上可表述为与采样脉冲序列的乘积，即（4.2－37）式（4.2－37）中的采样脉冲序列如图4.2-20所示，可表述为：（4.2－38）图4.2-20抽样脉冲序列当

时，不同时移的抽样脉冲即门函数

将趋近于不同时移的冲激函数，使实际采样脉冲序列

及其相关波形如图4.2-21所示。τ，实际采样将成为理想抽样；理想采样过程图4.2-21理想采样过程及其相关波形2）采样定理连续时间信号

的时域采样定理可以表述为：对于一个频带有限的信号，

若其频谱分量的最高频率为

，则只要采样频率

，即可由样值信号恢复得到无失真的原信号。或者说，可以由各离散时刻的样值信号

地确定原信号。因此，只要满足

的条件，样值信号

就包含了原信号

需要指出，对于频带无限的信号

内，而其频谱分量的高频部分所占的比重很小，就可以通过一个截止频率合适的低通滤波器滤掉其高频分量后，再用两倍或两倍以上低通滤波器截止频率的采样频率对滤波后的信号进行采样，也同样可由采样信号恢复出原来的信号。

设信号

为频带有限信号，其最高频率为

，最高角频率为

，即当

时，有

。

的波形及其频谱如图4.2-22

a

所示。唯一的全部信息。，只要其主要的频谱分量分布在有限的频带可导出

由此式可知，样值函数

的频谱

是原信号

频谱的周期函数，其重复周期为

，其幅度则为

显然，只要满足

，样值函数

的频谱

就不会发生混叠现象。（4.2－41）的

1/

Ts

倍，如图4.2-22c

所示。图4.2-22带限信号的理想采样过程及相应频谱的波形3）信号的恢复（信号重构）只要满足条件

，样值信号中就包含了

值信号恢复原信号。

⑴频域恢复：将满足采样定理得到的样值信号的频谱止频率为的低通滤波器，即可从中不失真地取出原信号主要）频谱，相当于在时域角度恢复了原信号。上述频域恢复过程即此式中，为理想低通滤波器（LPF）的频率特性，可表示为的全部信息，就可以由样经过一个截的全部（或（4.2－43）（4.2－44）上述恢复过程如图4.2-23所示。图4.2-23原信号的恢复原理2.信号的实际抽样(周期脉冲抽样)在实际工作中，采样序列只能采用周期性的矩形脉冲串来近似。可导出（4.2－52）G(jω)G(jω)由式（4.2－52）可知，样值信号的频谱函数是信号

频谱

的周期性重复，且重复周期为，幅度为

的

倍；①（4.2-53）（4.2-54）4.2.4连续系统的频域分析1)频域分析法系统的频域分析法如图4.2-24所示。利用时域分析中，LTI系统的零状态响应可通过外作用f

(t)与系统单位冲激响应g(t)的卷积来求取

（4.2－55）Gg根据傅里叶变换的时域卷积性质，求此式的傅里叶变换，有（4.2－56）

式(4.2－56)中，G(jω)为该系统单位冲激响应g(t)的傅里叶变换，通常称G(jω)为系统传输函数，而且

。

对式(4.2－56)求傅里叶反变换，容易得到系统的零状态响应-1-1例4.2－4若，试用频域法求图4.2-25电路中电容电压的零状态响应

和单位冲激响应。

解：由图4.2-25有图4.2-25例4.2－4电路使，故有

-1

由利用及，有，将

代入

表达式，得对上式求傅里叶变换，易得

2.系统的无失真传输及其条件

1）失真的概念

如果信号通过系统传输后，输出波形发生了畸变，失去了系统传输的原信号波形的形状，就称之为失真；如果信号通过系统传输后，原信号波形的形状保持不变，只产生时间的延迟或幅度的增减，则称为不失真，如图4.2-26所示。

可以把系统的传输失真分为线性失真与非线性失真两大类。

①线性失真：信号通过线性系统所产生的失真称为线性失真。

②非线性失真：信号通过非线性系统所产生的失真称为非线性失真。

③失真的作用：在实际应用中，有时人们需要有意识地利用

系统的这种非线性失真实现波形的变换、混频、检波等。图4.2-26系统的无失真传输

2）无失真传输的条件

系统不失真传输的频域条件为（4.2-59）系统不失真传输的幅频与相频条件为（4.2-60）图4.2-29

系统不失真传输的幅频与相频特性

3.理想低通滤波器及其特性

在系统不失真传输信号的情况下，有时只让所需要的频率成分通过，而对不需要的频率成分予以抑制。具有这种频率选择功能的系统称为滤波器。滤波器有低通、高通、带通以及低阻、高阻、带阻之分。所谓理想滤波器，是指不允许通过的频率成分将的被抑制掉，一点也不能通过；而允许通过的频率成分，则让其

的通过。

1）理想低通滤波器

具有图4.2-30所示幅频特性和相频特性的滤波器被称为理想低通滤波器。

（2）理想低通滤波器的特性

①理想低通滤波器非全通滤波器；

②理想低通滤波器无法实现(

)；

③理想低通滤波器的近似实现，

理想低通的通带为，或称该滤波器的带宽为。

竟在之前就有了

是完全可能的。理想低通滤波器的系统函数为

（4.2-61）

单位冲激与理想低通的单位冲激响应曲线如图4.2-31所示。理想低通的单位冲激响应为：

简单低通滤波器的幅频与相频特性曲线与理想低通滤波器比较相似，即理想低通滤波器的近似实现是完全可能的。6.2.9连续系统的频率特性与实验测定

1.连续系统的频率特性

1）频率特性的概念

可以定义：线性系统在正弦输入作用下稳态响应的特性即系统的频率特性，包括幅频和相频特性两方面。

系统的频率特性表征了系统（或环节）在正弦输入作用下的稳态响应与输入信号角频率的关系，可记为

（4.2-64）

式（4.2-64）既包含了系统输出、输入的幅值比，又包含了系统输出、输入的相位差，称为系统的幅相频率特性表达式，简称幅相特性表达式。

例4.2-5

求图4.2-37所示RC电路的频率特性。

解：由题，有

及消去中间变量i、令T

=

R

C

，并求拉氏变换，可得该电路的传递函数

设输入为正弦电压，其拉氏变换为，可求得

由拉氏反变换，可得该电路

的稳态响应当t

→∞时有

用幅相特性表达式表示，则有(4.2-65)

一般，还可以用其实部与虚部之和来表示,即：

（4.2-66）

式中，X

(ω)称为系统的实频特性,Y

(ω)则称为系统的虚频特性。

2）系统频率特性与传递函数的关系

只要令G

(s)

中的复变量s为纯虚变量jω,即可得到系统的频率特性：当输入时，有，则相应输出为：

（4.2-68）可得系统输出：系统稳态响应为

（4.2-71）

对于系统的频率特性，有以下3点需要说明：

①以上结论是在线性系统（环节）稳定的条件下得出的，但从理论上讲，动态过程中的稳态分量总是可以分离出来的，而且其规律性并不依赖于系统的稳定性，因此可以将频率特性的概念推广到不稳定系统（环节）。

②由于频率特性的表达式包含了系统或元部件的全部动态结构和参数，因此，尽管频率特性是一种稳态响应特性，但动态过程的规律性仍将寓于其中；同微分方程及传递函数一样，频率特性也是系统的一种动态数学模型，能够反映系统（环节）的动态及静态特性。

③上述传递函数的求取，是在已知系统或元部件的微分方程或传递函数的基础上进行的。反之对于难以用解析方法建立微分方程的系统或元部件，则可按频率特性的物理意义通过实验测取，从而确定其对应的传递函数与微分方程。幅频特性

（4.2-72）相频特性

（4.2-73）有

（4.2-74）

3）频率特性的求法及图示方法

①频率特性的求取方法

根据系统的频率响应求取；

根据系统的传递函数，直接s

=

jω

求取；

通过实验方法测得。

②频率特性的图示方法

幅相频率特性曲线——也称为极坐标图或Nyquist图,

对数频率特性曲线——又称为伯德图，

对数幅相频率特性曲线——又称为尼柯尔斯图,在极坐标上表示的G

(jω)

的幅值与幅角即当ω：0

→∞变化时，向量G(jω)的矢端轨迹；特性曲线两幅图，两幅图的横坐标均以ω

的包括对数幅频特性对数(lgω)刻度，当ω：0

→∞变化时，随ω

变化的曲线，曲线与对数相频分别表示幅值与相角；幅频特性曲线以[dB]为单位，按照20

lg

|G

(jω)|

绘制，相频特性曲线则以度或弧度为单位，按照(ω)绘制。

纵坐标均匀刻度，幅图合成为一幅图，是在以为纵轴的对数幅相[G

(jω)]平面中，以ω为参变量绘制的G(jω)曲线。

实际上是将Bode图的两(ω)为线性刻度的横轴、以20

lg

|G

(jω)|线性刻度

2.典型环节的频率特性及其极坐标图（Nyquis

t曲线）

1)

比例环节

比例环节的传递函数为G

(s

)

=

K

其频率特性为

幅频特性为|

G

(

jω)

|

=K

相频特性为

由此可见：比例环节的幅频特性和相频特性，都是与角频率ω无关的常量。

2）惯性环节

传递函数为

幅频特性为

（4.2-77）

相频特性为

（4.2-78）

3）积分环节

传递函数

频率特性幅频特性

（4.2-79）

相频特性

（4.2-80）

4）二阶振荡环节

传递函数

幅相频率特性

幅频特性

（4.2-81）

相频特性

（4.2-82）

5）微分环节

传递函数:纯微分

G

(s)

=

s

一阶微分G

(s)

=

1+τs

二阶微分G

(s)

=τ2s2

+2τs

+1

6)延滞环节

传递函数

频率特性

（4.2-85）

∣G(jω)∣=1(常数)，而。

7)

一阶不稳定环节

传递函数

频率特性

（4.2-86）

幅频特性

相频特性

3.高阶系统极坐标图的一般规律

高阶系统通常由若干典型环节串联组成，其开环传递函数为

其中

（4.2-87）

（4.2-88） 绘制准确的极坐标图比较麻烦，在实际应用中往往只需概略绘制极坐标图即可。

若开环传递函数

概略绘制极坐标图的一般规律可以归纳为以下三点：

1）确定极坐标图的起点(ω=0)与终点(ω=∞)：（1）起点由与

确定

；（2）终点(一般为原点)，由

与

共同确定曲线趋近于原点的区域。

其中

v

为积分环节的个数，

p

为开环右极点的个数；

时，应从补充半径大的虚线圆弧到起始点。

2）利用时间常数大的典型环节在ω

比较小的时候，其先产生影响的变化趋势（零点对应逆时针的变化趋势，极点对应顺时针的变化趋势），同时利用nm时整体幅度随ω增大而减小的特点，可绘出Nyquist曲线的大致形状，使起点与终点平滑连接。

3）若能根据G(jω)表达式，求出Nyquist曲线与实轴和虚轴的交点(具有Im[G(jω)]=0与Re[G(jω)]=0的特点)，则概略Nyquis

t曲线会更准确。

例4.2-6概略绘制

的Nyquist曲线。

解:由题，v=1、p=0且有，起点应从正实轴（0o）补充半径无穷大的虚线圆弧到

，又n

=

2,m

=

0，所以

终点趋于原点的区域为第三象限、且靠近负实轴。

考虑除放大与积分环节外，还有个惯性环节，使得从

趋近于

，如图4.2-50所示。

4.典型环节的对数坐标(Bode)图

1）Bode图及其特点

①对数幅频特性可以较快地用渐近线近似表示：渐近线交接处的角频率称为转折角频率，此处的渐近误差最大，只要对转折角频率处的渐近误差进行修正，就可使渐近曲线比较精确。

②对数相频特性具有奇对称特点：只要确定了

在起点(ω

=

0)、折频点(ω

=ω1)和终点(ω→∞)的大致位置，就可以利用对数相频特性的奇对称特点，用平滑曲线连接，或用曲线模板绘制，较快地完成对数相频特性曲线。逐点求出值后用平滑曲线连接的方法虽然比较准确，但是计算量太大，很不方便，而且容易产生计算错误；实际上，利用

曲线分析稳定性时，需要考虑稳定裕度，这使得

的准确计算没有太多的实际意义。

Bode图使对数幅频特性曲线与相频特性曲线的绘制过程大大简化，在工程实际中得到了广泛的应用。

2）典型环节的Bode图

①比例环节

频率特性G(

jω)=K

幅频特性L(ω)=20

lgK

相频特性

即：对数幅频特性与对数相频特性均与角频率无关。

②积分与微分环节

频率特性

幅频特性L(ω)=

20

lgω

相频特性

不难看出，积分与微分环节二者互为倒数，曲线互为镜像；两条对数幅频特性曲线均在ω=1处通过0

dB线，斜率分别为-20dB/dec和20dB/dec；两条对数相频特性曲线分别为–90o和+90o直线。称点对应）

③惯性环节与一阶微分环节

频率特性

对数幅频特性

为转折角频率）

对数相频特性（

与

的奇对图4.2-55惯性与一阶微分的Bode图

④振荡与二阶微分环节

频率特性

其中

为振荡环节与二阶微分环节的转折角频率。

对数幅频特性

对数相频特性⑤延滞环节频率特性其中幅频特性相频特性

⑥一阶不稳定环节

频率特性

对数幅频特性

(为转折角频率)

对数相频特性

5.开环系统的Bode图

若系统的开环由n个环节串联组成，则系统的开环频率特性为：

式中，取对数后有

(4.2-105)

而且

(4.2-106)

表示各典型环节的幅频特性，

L

i

(ω)和

分别表示各典型环节的对数幅频特性和相频特性。

1）简捷绘制对数幅频特性和相频特性的具体步骤

①分解：将频率特性G

(jω)

分解为若干个基本因子的乘积。

②排序：求出开环各典型环节的转折频率，并由小到大按顺序在频率轴上准确标出。

③绘制幅频渐近线：

a.确定开环对数幅频特性的第一段。因为系统开环对数幅频特性的第一段是由

确定的，所以第一段或其延长线必定会经过ω

=

1与

20

lg

K

两条直线的交点，其斜率为[v(-20)dB/dec]（v为开环积分环节的个数）。

b.沿频率增大的方向，每遇到一个转折频率就在原有斜率的基础上，就引入相应环节产生的斜率变化，改变一次斜率（惯性环节的斜率变化量为-20dB/dec；一阶微分的斜率变化量为+20dB/dec；振荡环节的斜率变化量为-40dB/dec……）。

c.系统开环对数幅频特性的最后一段，即最终斜率应该为

[(n-m)•(-20)dB/dec]；

其中n为开环传递函数G

(s

)

的极点个数，m为G

(s

)

的零点个数。

④修正：主要对转折频率处的相应渐近线，按渐近特性的误差曲线进行修正，即可得到比较精确的对数幅频特性曲线。

⑤绘制对数相频特性曲线：可以按照“定两头、变中间、奇对称”的方法进行。

a.定两头：按照

的规律，确定相频特性曲线的大致起点(注意，ω

=

0在

lgω

轴的

“-∞”

远处）

，v≠0

时，应从0o补充虚线到

按照

的规律，确定相频特性曲线的最终相移线。

b.变中间：按照各典型环节在折频处的相移值，兼顾起点相移以及相邻环节相移特性的影响，大致确定在各个折频处的相移位置。

c.奇对称：用平滑曲线连接起点、各折频点与最终相移时，折频处要注意保留奇对称的痕迹，使平滑曲线与精确曲线比较接近。

2）简捷绘制Bode图的实例；

例4.2-9若某系统的开环

，试简捷绘制系统的开环Bode图。

解：由题K

=

10、T1

=

1、T2

=

0.1，故折频ω1=1/T1

=1、ω2=1/T2

=10据此，可把ω1与ω2依次标在频率轴上，如图4.2-59所示。

由

K

=

10有20

lg

K

=

20dB，又v

=0，使第一段斜率为0，且在

L

(ω)

=

20

dB

的高度。

由于ω1与ω2

均为惯性环节的折频，故应在折频处原有斜率的基础上，引入[–20]的斜率变化。

3）最小相位系统与非最小相位系统

如果一个系统或环节的传递函数的极点和零点全部在

[s]

平面的左半部，则称为最小相位传递函数。如果传递函数中具有[s]右半平面的极点和零点，或者有延滞环节，则称为非最小相位传递函数。

4）由Bode图确定系统的开环传递函数

在频域分析中，不仅要能根据系统的开环传递函数画出Bode图，为系统分析提供开环频率特性曲线；同时也要能根据Bode图写出系统的开环传递函数，使实验曲线得以提升为系统的数学模型。前者由典型环节确定开环频率特性曲线的转折频率、斜率变化与相频的变化等；后者则由开环频率特性（实验）曲线的形状确定相应典型环节的类型与参数等。

在由开环频率特性曲线确定相应的典型环节时，系统开环增益K的确定是必不可少的。图4.2-61是几种与求K有关的常见Bode图。①

图a中，或；②图b，c中，

或③图d或

图e

或

图f

或

6.对数幅相图(Nichols图)

对数幅相图即尼柯尔斯（Nichols）图，是描述系统频率特性的另一种方法：以角频率ω为参变量、以相角为横坐标

(单位为度)、以对数幅频L(ω)为纵坐标(单位为dB)，将Bode图的对数幅频特性与相频特性两条曲线合并为一条曲线。

绘制出这种图时，通常是先绘出Bode图，然后以ω

为参变量取若干点，在Bode图上查出相应的分贝数与度数并列表，再由表中数据绘制对数幅相图。

7.连续系统频率特性的试验测定

当连续系统难于用解析法建立其传递函数或频率特性时，可以采用试验方法建立（即系统辨识），系统辩识的方法有多种，下面主要介绍频域辨识法。频域辨识法通常有两种作法：一种是根据频率特性的定义，用正弦输入信号去求得频率特性；另一种是根据频率特性和时间响应的关系，对被测系统施加单位脉冲、三角形波或其他形式输入信号，然后应用傅氏变换求得频率特性。

1）用正弦信号测试频率特性的原理

2）传递函数的确定

①由低频段的斜率确定开环积分环节的个数

②系统开环增益K的确定(可参考图4.2-61及式(4.2-107)～式(4.2-111))

③根据曲线在交接频率处的斜率变化，确定相应的典型环节

④根据最小相位系统对数幅频的斜率与相频特性之间的单值对应关系，可检验系统中是否有滞后环节存在。图4.2-63相关分析法测试频率特性原理图

4.2.6Nyquist稳定判据与对数频率稳定判据

1.Nyquist稳定判据的数学基础

设有复变函数

(4.2-112)

其中

s

为复变量，用[s]平面上的

表示；复变函数F(s)，则用[F(s)]平面上的表示。

若F(s)在[s]平面上是除有限奇点外任一点

s

的解析函数(单值连续的正则函数)，则对于[s]平面上的任一点，在[F(s)]平面上必有一个映射点与之对应。因此若在[s]平面上任意选定一条封闭曲线Ls

，使其不通过F(s)的任一奇点（即任何零点和奇点），则在[F(s)]平面上必有一条封闭映射曲线LF与之对应，如图4.2-65所示。

F(s)的相角可表为

(4.2-113)

若封闭曲线LS

(内部)只包围了F(s)

的一个零点Z1，而其他零、极点均位于L

S

的外面，则当

s

沿L

S顺时针运动一周时，向量(

s-

Z1)

的相角，将变化-360度，对应

F(s)将沿LF顺时针绕[F(s)]平面的原点转一周；而其它各向量的相角变化为零。

若L

S

包围的不是零点，而是P个极点，则当

s沿LS

顺时针运动一周时，对应

F(s)将在[F(s)]平面上沿LF

按逆时针包围坐标原点P周。幅角定理：设[S]平面上的封闭曲线包围了F

(s)的z个零点和p个极点，并且此曲线不经过F(s)的任何零点和极点，则当复变量

s

沿封闭曲线按顺时针方向移动一周时，在[F(s)]平面上的映射曲线将绕原点顺时针转过N周，而且

N

=

z

-

p

。若N

>

0，表示顺时针转

N

周，若N

<

0

，则表示逆时针转N周。

2.Nyquist稳定判据

1）辅助函数F

(s)

与系统开、闭环极点的关系

设辅助函数F

(s)

若开环传递函数为

2）Nyquist轨线

为了判断F(s)

有无零点位于[S]

右半平面，可以选择一条按顺时针方向包围整个[S]右半平面的封闭曲线，通常称为Nyquist轨线。

3）LF曲线与LGH曲线的关系

LF曲线是辅助函数F(s)的映射曲线，LGH则是开环传递函数G(s)H(s)的映射曲线。

设复变函数F(s)在[S]的右半平面有

z

个零点和

p

个极点。根据幅角定理，当s在[S]平面沿Nyquist轨线环绕一周时，在[F(s)]平面上的映射曲线[见式(4.2-113)]将按顺时针绕坐标原点旋转

N

=

z

-

p

周。若闭环系统是稳定的，必定有z=0

，则LF按顺时针围绕坐标原点旋转了N=-p周，也就是说按逆时针围绕坐标原点旋转了+p周。

由于F(s)=1+G(s)H(s)，故有G(s)H(s)=

1–F(s)。

此式说明F(s)的映射曲线LF围绕坐标原点的旋转情况，相当于G(s)H(s)的映射曲线LGH围绕(-1,j0)点的旋转情况。

4）Nyquist稳定判据及其简化

①Nyquist稳定判据：闭环控制系统稳定的充分必要条件是，当ω从-∞到+∞变化时，系统的开环频率特性G(jω)H(jω)曲线按逆时针方向包围(-1,j0)点p周。其中p是位于[S]右半平面的开环极点个数。对于开环稳定的系统，有p=0，则闭环系统稳定的充要条件为系统的开环频率特性G(jω)H(jω)曲线不包围(-1,j0)点。

②Nyquist稳定判据的简化：考虑ω：-∞→0及0→+∞变化时，开环G(jω)H(jω)

曲线将是以实轴为对称的图形。简化后的Nyquist稳定判据可以表述为：闭环控制系统稳定的充分必要条件是，当ω

从0到+∞变化时，系统的开环频率特性G(jω)H(jω)曲线绕(-1,j0)点的转角增量为

pπ，p是位于[S]右半平面的开环极点个数。对于开环稳定的系统，有p=0，则闭环系统稳定的充要条件为系统的开环频率特性G(jω)H(jω)曲线绕(-1,j0)点的转角增量为0。

5）虚轴上有开环极点时Nyquist稳定判据的补充

如果开环传递函数G(s)H(s)在虚轴上有极点，则不能直接应用图4.2-68所示的Nyquist轨线，因为幅角定理要求Nyquist轨线不能经过F(s)的奇点。

为了使Nyquist

判据在这种情况下也能应用，可以稍微对Nyquist轨线进行一点修改(补充)，使Nyquist轨线沿着半径为无穷小(

r→0)的半圆弧绕过虚轴上的极点。

即当[S]平面中的s沿无穷小半圆弧逆时针从ω=0-

变化到ω=0+时，其θ角将沿着逆时针方向从

，而[GH]平面上的映射曲线则将沿着无穷大半径按顺时针方向从

转到(补充到)

；

如采用简化Nyquist曲线，则为：s

沿无穷小半圆弧逆时针从ω=0

变化到ω=0+

时，其θ角将沿逆时针方向从0o变化到

时，[GH]平面上的Nyquist简化曲线将沿着无穷大半径，按顺时针方向从0o转到(补充到)

。

6）应用举例

例4.2-12

已知系统的开环系统传递函数为

试用Nyquist稳定判据，判定系统的闭环稳定性。

解此开环系统的频率特性为

当ω从－∞→+∞变化时，的Nyquist曲线可画出如图4.2-71

a.所示。显然，当ω=0时，；

当ω=∞时，；

由于

p=0，故G

(s)H

(s)在[S]右半平面没有极点，

图4.2-71a.中，没包围(-1,j0)点，即此系统满足Nyquist判据，闭环稳定。

这说明对于K、T1、T2为任意正值时，该系统总是闭环稳定的。

3.Nyquist稳定判据在Bode图上的应用

1）Nyquist图与Bode图的对应关系

①Nyquist图上的单位圆与Bode图上的0dB线相对应，单位圆外部对应于L

(ω

)

>

0

，单位圆内部则对应于L

(ω

)

<

0

；

②Nyquist图上的负实轴对应于Bode图上的线

；

③Nyquist图与单位圆交点的频率，即对数幅频特性曲线与横轴(0dB线)交点的频率，称为截止频率或幅值穿越频率等，记为ωc

；

④Nyquist图与负实轴的交点的频率，即对数相频特性曲线与

线交点的频率，称为相位交界频率或相位穿越频率；

⑤在Nyquist图中，如果开环G

(

jω

)H

(

jω

)曲线在（-1，j

0）点左边穿过负实轴即为“穿越”；若沿ω增加方向，曲线自上而下穿过(-1，j

0)点左边的负实轴，则为正穿越（相位增加）；反之沿ω增加方向，曲线自下而上穿过（-1，j

0）点左边的负实轴，则称为负穿越（相位更负）；如果沿ω增加方向G

(

jω

)H

(

jω

)

曲线自（-1，j

0）点左边的负实轴开始向下或向上变化，则分别称为半次正穿越和半次负穿越

；

⑥在Bode图上对应L

(ω

)

>

0

dB的频段内，沿ω

增加的方向，对数相频特性曲线自下而上穿越过

线称为正穿越；反之曲线自上而下穿越过

线为负穿越；同样若沿ω增加方向，对数相频曲线自

线开始向上或向下，则分别为半次正穿越和半次负穿越；

⑦在Nyquist图上，正穿越一次对应于G

(

jω

)H

(

jω

)

曲线逆时针包围（-1，j

0）点一周，而负穿越一次，则对应于G

(

jω

)H

(

jω

)

曲线顺时针包围（-1，j

0）点一周，也就是说G

(

jω

)H

(

jω

)

曲线对（－1，j0）点包围的次数等于正、负穿越次数之差。

2）对数频率稳定判据

Bode图上的对数频率稳定判据可以表述为：闭环系统稳定的充要条件是，当ω

从0

→

∞

变化时，在所有L(ω)

>

0

dB的频段内，相频特性穿越线的次数为p/2，p是[S]右半平面的开环极点个数。记为

正穿越次数

-

负穿越次数

=

p

/