概率论与随机过程1-作业及答案

1 07_solution©电子工程XF(x)

x⩽91x2,0<x⩽9 x>X的分布的数学期望，方差，0.25参考答案解：X{9 2 0<x⩽9p(x)=F(x)

∫ ∫E(X) x·p(x)dx 2x2dx= 0Var(X)=E(X2)−[E(X)]2

∫12x3dx−410.25

0 =F−1(0.25)=2

=F−1(0.5)=322

mode(X)=argmaxp(x)=xE(X− 2β1=[E(X−EX)2]3/2=−E(X−

2≈3β2=[E(X−EX)2]2−3=−设A,A,...为可列个事件， P(A)存在，试证 (

PB1B2···Bn···B1=A1,···,Bn=An

∪Ai(n⩾2),··2 显然，BB···互

A B(∀n1)，进∪+A∪+∞B

+∞An=

(∪+∞

=

P(B) Bn)nP(Bn⩽P(An) +∞

P(B P(A)

( A⩽ A⩽

⩽

P(An),∀k∈P

P(An)

P k→+∞

lim

(

( =

lim

n =

A

P=P

=

)+∞

说明n→+∞的情况。通过两边取极限)由极限的保序性得到 An⩽ kPk∞

k→+∞但这里需要注意的是，结论中的

+∞

=

A

P)

试证明：median(X)=argminE(|Xa参考答案α=median(X)∫

∫ p(x)dx

p(x)dx23∀βR，不β⩽E|X−β|−E|X−∫∫

|

=β(β−α)·p(x)dx++∞(α−β)·p(x)dx+αx−α−β)· α (α

β)·p(x)dx

(α−β)·p(x)dx

αx−α−β)·∫—∫=

∫

β(α−β)·p(x)dx (2x−α−β)·∫ ∫β α2(x−β)·β⩾同理可证，βα时，E|Xβ|E|Xα|0设随量X服从(0,1)上的均匀分布，求Y=3lnX的密度函数参考答案y解：f(x3lnx,x∈(01)g(y)=e3y∈(−∞0)y3g′(y)=1ey3{3{1ypY(y)

3e3,y< y⩾设随量X服从N(µ,σ2)，求Y=|X|的密度函数参考答案解：Y|X|[0+∞)，y0时，FY(y0，y⩾0F(y)=P(Y⩽y)=P(|X|⩽y)=P(−y⩽X⩽y)=∫ypYXp(x)

−(x−µ)2′

−ypY(y)=FY(y)=pX(y)+ }

y< √

(y—

+

—

,y⩾已知E(X−1E(X25，求E(12X,Var(12X)E(1−2X)=1−2EX=Var(1−2X)=4Var(X)=

EX2−

=4×(5−1)=X

{p(x) π2 0<x<4Y=cosX参考答案解：YcosX(−11)，y1时，FY(y0，y1时，FY(y1，−1y1FY(y)=P(Y⩽y)=P(cosX⩽y)=P(arccosy⩽X<=∫ arccosy 即FY(y)

y⩽1−1arccos2 −1<y<1 y⩾

pY(y)=FY(y)

|y|⩾XnA出现的次数，P(A)=p{0,XY 1,X求E[Y]参考答案E{Y}=1∗P(Y=1)+0∗P(Y=0)=P(Y=

a=P(Y=1),b=P(Y=b−a=∑(n−1)/2P(X=2k)−∑(n−1)/2P(X=2k+

nCi(−p)iqn−i=(q−p)n=(1−nb+a=

a=E{Y}=[1−(1−2p)n]参考答案

1,出现正 Xi

−1,出现

，则iX

X

XiYi

]∑ ]∑，并且Y

Y∼B(50.5)i5因为YiXi1/2YX1/2。于是X的分布为P(X=2k—5)=P((X+5)/2=k)=P(Y==Ck(1)k(1)5−k=Ck(15 5k=012345X的取值分别为-5，-3，-1，1，3，5X(0,1)h(x)Y=h(X)λ{Xp(x) 1,0<x<X{pY(y)

0, y>0 y=h(x)h(x) FY(y)=P{h(x)⩽y}=Px⩽h−1(y)=FYh−1(y)(1)

pY(y)=

(h−

dh−(y)1 （h(x)为单调增加函数，故dh−1(y)非负，否则应该写为dh−1(y Yh(X服从参数λ的指数分布y0时，pY(yλe−λypX(h−1(y1(2)λe−λydydh−1(y(3)

λe−λy=dh−1∫ ∫λe−λtdt0即

dh−101−e−λy=h−1(y)−h−1xh−1(y)，h−1(001−e−λy=—所以，y=h(x)=1ln x),0<x<—设随量X服从(0,1)上的均匀分布，求Y=2X2+1的密度函参