山东省烟台市店埠中心中学2022年高三数学理联考试卷含解析

山东省烟台市店埠中心中学2022年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，若|AB|=6，则|FM|的长为（）A． B． C．2 D．3参考答案：D【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】先根据抛物线方程求出p的值，再由抛物线的性质求出AB的垂直平分线方程，可得到答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x，∴p=2，设经过点F的直线y=k（x﹣1）与抛物线相交于A、B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），直线y=k（x﹣1）代入y2=4x，整理可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x1+x2=2+利用抛物线定义，AB中点横坐标为x1+x2=|AB|﹣p=6﹣2=4．AB中点横坐标为2∴2+=4，∴k=±AB中点纵坐标为k，AB的垂直平分线方程为y﹣k=﹣（x﹣2），令y=0，可得x=4，∴|FM|=3．故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的性质．属中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用，确定AB的垂直平分线方程是关键．2.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+ B．1+2 C．2+ D．2参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】判断得出三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=，AB⊥BC，可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形，运用面积求解即可．【解答】解：∵∴三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=∴AB⊥BC，∴可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形，S△OAC=S△ABC==1，S△OAB=S△OBC=×2=该四面体的表面积：2，故选：C．3.等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则其公比为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：A略4.已知数列的通项公式为，其前n项和为，则在数列中，有理数项的项数为（

）A．42

B．43

C．44

D．45

参考答案：B略5.已知为双曲线C:的左、右焦点，点P在曲线C上，则

（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：B略6.已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是()A.2 B. C. D.参考答案：B【分析】先设两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标.【详解】设，C的横坐标为，则，因为是抛物线的一条焦点弦，所以，所以，故.故选B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.7.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是：A．若，则∥

B．若，则∥C．若∥，∥，则∥

D．若∥，∥，则∥参考答案：B

【解析】∥

或与相交，A不正确；

∥，B正确；

∥，∥∥或与相交或与异面，C不正确；

∥，∥∥或与相交，D不正确。

故选B。8.设集合，则(

)

A、

B、

C、

D、参考答案：D略9.设等差数列{an}满足：cos2a3cos2a5﹣sin2a3sin2a5﹣cos2a3=sin（a1+a7），a4≠，k∈Z且公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=8时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，则首项a1的取值范围是（）A．[，2π] B．（，2π） C．[，2π] D．（，2π）参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d的范围求出公差的值，代入前n项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a1取值范围．【解答】解：∵cos2a3cos2a5﹣sin2a3sin2a5﹣cos2a3=sin（a1+a7），∴cos2a3cos2a5﹣sin2a3sin2a5﹣cos2a3+sin2a3=sin（a1+a7），即cos2a3（cos2a5﹣1）﹣sin2a3（sin2a5﹣1）=sin2a4，即﹣cos2a3sin2a5+sin2a3cos2a5=sin2a4，即（sina3cosa5﹣cosa3sina5）（sina3cosa5+cosa3sina5）=sin2a4，即sin（a3﹣a5）sin（a3+a5）=sin2a4，即﹣sin2dsin（2a4）=sin2a4，∵a4≠，∴sin2a4≠0，∴sin（2d）=﹣1．∵d∈（﹣1，0），∴2d∈（﹣2，0），则2d=，d=﹣．由Sn=na1+=na1+×（﹣）=﹣n2+（a1+）n．对称轴方程为n=（a1+），由题意当且仅当n=8时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，∴＜（a1+）＜，解得：＜a1＜2π．∴首项a1的取值范围是（，2π），故选：D．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了三角函数的有关公式，考查了等差数列的前n项和，训练了二次函数取得最值得条件，考查了计算能力．10.已知是纯虚数，对应的点在实轴上，那么等于(

)

A

B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若复数z满足（其中i为虚数单位），则

▲

.参考答案：

1

12.已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是

．参考答案：13.复数的虚部是。参考答案：－114.在平面直角坐标系中，是坐标原点，若两定点满足，则点集所表示的区域的面积是

.参考答案：略15.在中，角所对的边分别是，已知点是边的中点，且，则角

.参考答案：16.一个盒内有大小相同的2个红球和8个白球,现从盒内一个一个地随机摸取,假设每个球被摸到的可能性都相同,若每次摸出后都不放回,当拿到白球后停止摸取,则摸取次数X的数学期望是___________________.参考答案：17.我国在使用公元纪年的同时，也一直沿用我国古代创立的干支纪年法，如甲午战争中的甲午，辛亥革命中的辛亥就是年份的名称。干支中的干是天干的简称，是指：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸；支是地支的简称，是指：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥。在纪年时，同时分别从甲、子开始，不改变各自的顺序，循环往复下去。已知公元2001年是辛巳年，那么下一个辛巳年是公元

年，距公元2001年最近的甲子年是公元

年。参考答案：2061，1984；三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．参考答案：【考点】：圆与圆锥曲线的综合．【专题】：综合题．【分析】：（I）由，得：x2﹣4x﹣4b=0，由直线l与抛物线C相切，知△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b）=0，由此能求出实数b的值．（II）由b=﹣1，得x2﹣4x+4=0，解得x=2，代入抛物线方程x2=4y，得点A的坐标为（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，由此能求出圆A的方程．解：（I）由，消去y得：x2﹣4x﹣4b=0①，因为直线l与抛物线C相切，所以△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b）=0，解得b=﹣1；（II）由（I）可知b=﹣1，把b=﹣1代入①得：x2﹣4x+4=0，解得x=2，代入抛物线方程x2=4y，得y=1，故点A的坐标为（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，即r=|1﹣（﹣1）|=2，所以圆A的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．【点评】：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．19.如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（1）求证：AC⊥平面BDE；（2）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．参考答案：【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）根据DE⊥平面ABCD，由线面垂直的判定定理可知DE⊥AC，由ABCD是正方形可知AC⊥BD，而DE∩BD=D，满足线面垂直的判定所需条件，从而证得结论；（2）当M是BD的一个三等分点，即3BM=BD时，AM∥平面BEF．取BE上的三等分点N，使3BN=BE，连接MN，NF，则DE∥MN，且DE=3MN，而AF∥DE，且DE=3AF，则四边形AMNF是平行四边形，从而AM∥FN，AM?平面BEF，FN?平面BEF，满足线面平行的判定定理，从而证得结论．【解答】（1）证明：因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．…因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因为DE∩BD=D…从而AC⊥平面BDE．…（2）当M是BD的一个三等分点，即3BM=BD时，AM∥平面BEF．

…取BE上的三等分点N，使3BN=BE，连接MN，NF，则DE∥MN，且DE=3MN，因为AF∥DE，且DE=3AF，所以AF∥MN，且AF=MN，故四边形AMNF是平行四边形．

…所以AM∥FN，因为AM?平面BEF，FN?平面BEF，…所以AM∥平面BEF．

…20.（本小题满分14分）已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为.(Ⅰ)已知函数，若且，求实数的取值范围；(Ⅱ)已知，且的部分函数值由下表给出，求证：；(Ⅲ)定义集合请问：是否存在常数，使得，，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.参考答案：解：（I）因为且，即在是增函数，所以

………………2分而在不是增函数，而当是增函数时，有，所以当不是增函数时，综上得：

h<0

………………4分(Ⅱ)因为，且

所以，所以，同理可证，三式相加得所以

………………6分因为所以而，所以所以

………………8分(Ⅲ)因为集合

所以，存在常数，使得对成立我们先证明对成立假设使得，记因为是二阶比增函数，即是增函数.所以当时，，所以

所以一定可以找到一个，使得这与对成立矛盾

………………11分对成立所以，对成立下面我们证明在上无解假设存在，使得，则因为是二阶增函数，即是增函数一定存在，，这与上面证明的结果矛盾所以在上无解综上，我们得到，对成立所以存在常数，使得，，有成立又令，则对成立，又有在上是增函数，所以，而任取常数，总可以找到一个，使得时，有所以的最小值为0

………………14分

略21.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直用坐标系中，直线的参数方程为为参数〕.在以原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆心的极坐标为，圆的半径为.（1）直接写出直线的直角坐标方程，圆的极坐标方程；（2）设是线上的点，是圆上的点，求的最小值.参考答案：(1)；(2).考点：极坐标、参数方程和圆的几何性质等有关知识的综合运用．22.已知向量=（sinx，sinx），=（sinx，﹣cosx），设函数f（x）=?．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，若f（A）+sin（2A﹣）=1，b+c=7，△ABC的面积为2，求边a的长．参考答案：考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的性质确定函数的单调增区间．（2）根据（1）中函数的解析式，根据f（A）+sin（2A﹣）=1，求得A，根据三角形面积公式求得bc的值，利用余弦定理求得a．解答： 解：（1）由题意得f（x）=sin2x﹣si