2025北京四中高二(上)期中数学试题及答案

高中2025北京四中高二（上）期中数学试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1.椭圆的一个焦点为，则椭圆的短轴长为（）A. B.2 C. D.42.三角形中，，，，则边上的中线向量为（）A. B. C. D.3.圆与圆的位置关系是（）A.相交 B.相离 C.外切 D.内含4.直线的倾斜角为，且，则该直线不通过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（）A. B. C. D.90°6.过点的直线与圆有公共点，则直线的斜率的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知，，动点，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.将边长为1的正方形，沿对角线折成的二面角，则此时顶点到的距离是（）A.1 B. C. D.9.棱长为1的正方体中，是的中点，点在正方体内部及表面上运动，满足平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是（）A. B. C. D.110.已知，为圆上的不同两点，点，且.设弦的中点为，则三角形面积的最大值为（）A. B.4 C. D.二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分11.过点(1，3)且与直线x＋2y－1＝0垂直的直线的方程是________．12.圆心在直线上，并且经过原点和的圆的方程为__________13.若空间向量，，共面，则__________14.椭圆的焦点为，，过作轴的垂线交椭圆于，两点，则的面积为__________.15.已知椭圆恰好经过四个点，，，中的三个点，则符合条件的一个椭圆的标准方程是__________.16.曲线与的交点个数是__________，曲线上的点到点的距离的最小值为__________.17.如图，椭圆的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于不同两点，，其中点在第一象限.为的直角三角形.（1）若，，则__________；（2）若，则椭圆的离心率为__________18.如图，棱长为2的正方体中，，分别是线段和上的动点.对于下列四个结论：①存在无数条直线平面；②线段长度的取值范围是；③三棱锥的体积最大值为；④若，分别为线段和的中点，设为线段的一条垂直平分线，则与所成最小角的正弦值为.其中正确的命题有__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分19.如图，在三棱柱中，平面，,，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小；（3）求直线与平面的距离.20.已知以点为圆心的圆与轴交于不同两点、，与轴交于不同两点、，其中为原点.（1）当时，求圆在点处的切线方程；（2）求证：的面积为定值；（3）设直线与圆交于不同两点、，点.若，求圆的方程，以及弦长.21.如图，在三棱锥中，平面平面，，，，分别为，的中点.从条件①，条件②，条件③，这三个条件中选择两个作为已知，（1）求与平面所成角的正弦值；（2）线段的延长线上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.22.如图，椭圆经过点，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线交椭圆于，（，均不与重合），直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，.求证：.23.已知集合.对于集合的非空子集，如果存在两个元素，，满足，则称集合为集合的“好集合”.（1）试判断，是否为的“好集合”，并说明理由；（2）为的子集，且中元素均为偶数，证明：是的“好集合”；（3）若的任意含有个元素的子集都是的“好集合”，求的最小值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分题号12345678910答案CBACCDBBAC二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分11. 12. 13.14.3 15.或（二选一即可）16.①.2②. 17.①.②.## 18.①③④三、解答题：本大题共5小题，共70分19.【答案】（1）中又平面，平面,又因为平面,所以平面,（2）由(1)知,,故以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，如图建立空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则，即.令，则，又平面的法向量为，则,由题知二面角为锐二面角，所以二面角的大小为（3）,面,不在平面内，面，则直线与平面的距离即为到面的距离，因为，，所以到面的距离，所以直线与平面的距离为.20.【答案】（1）当，，由条件可知圆过原点，所以圆的半径，所以圆的方程为，，所以圆在点处的切线的斜率为2，所以切线方程为，即；（2）圆方程为，令，得，所以或，即，令，得，得或，即，，所以的面积为定值；（3）由条件可知，，，因为，，所以，所以，解得：，若，则，圆心在第三象限，且过点，则，点到直线的距离，此时圆与直线没有公共点，故舍去；当，此时圆的方程为，圆心到直线的距离，满足题意，所以圆的方程为，弦长.21.【答案】（1）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，因为平面，所以，，因为，所以.若选择①②：因为，所以，即，因为，所以为等边三角形，即，所以，即，以A为原点，AB、AC、AD为轴正方向建系，如图所示，则，所以，设平面BEF的法向量，则，即，令，则，所以，设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值.若选择②③：因为，，，平面ACD，所以平面ACD，因为平面ACD，所以，因为，所以.以A为原点，AB、AC、AD为轴正方向建系，如图所示，则，所以，设平面BEF的法向量，则，即，令，则，所以，设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值.若选择①③，因为，，，平面ACD，所以平面ACD，因为平面ACD，所以，以A为原点，AB、AC、AD为轴正方向建系，如图所示，则，所以，设平面BEF的法向量，则，即，令，则，所以，设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值.（2）假设存在点M，设，则，所以,，设平面的法向量，则，即，令，则，即，所以，整理得，解得或，所以或（舍），所以存在点M使得平面与平面夹角的余弦值为，且.22.【答案】（1）椭圆离心率，即，椭圆经过点，则，即，∴，∴，即椭圆.（2）由（1）可知显然当直线斜率不存在时，与无交点，所以设直线，联立，解得，即，联立，整理得，设，则，，，，，∴.23.【答案】（1）由题设有，对于，任意两个元素的差的绝对值的最大值为，故不存在两个元素，，满足，故不是“好集合”.对于，因为，而，故存在元素，满足，故是“好集合”.（2），中所有的偶数为，对于，不妨设，则，故，若，则为“好集合”.若，则，若，则，此时，若，则；若，则，若，则或，若，则，若，则；若，则，若，则，若，则，若，则，若，则，若，则；若，则，综上，是的“好集合”.（3）我们首先证明：，取，此时中元素的差的绝对值的最大值为，即此集合中没有相异元素差的绝对值大于，不合题设，故；下证：当时，任意个元素的子集必定为“好集合”.假设存在一个个元素的子集，它不是好集合，设该集合为，