A2期权价格的性质

9期权价格性质教学目的与要求：本章对期权价格的相关性质进行了系统介绍。通过本章的学习，要求掌握影响期权价格的因素有哪些，期权价格上下限的确定，提前执行不付红利的股票看涨和看跌期权的可行性，看涨和看跌期权的平价关系以及红利对股票期权价格上下限的影响第9章

期权价格性质教学重难点：一、无风险利率对期权价格的影响二、提前执行无收益美式看涨期权的合理性三、提前执行无收益美式看跌期权的合理性一、期权合约的盈亏状况（一）期权的头寸多头：是持有期权多头头寸的投资者（购买期权合约的一方）。空头：是持有期权空头头寸的投资者（出售或承约（written）期权合约的一方）。期权的出售方事先收取现金，但之后有潜在的负债。（二）四种基本的期权头寸

1、看涨期权的多头；2、看涨期权的空头；3、看跌期权的多头；4、看跌期权的空头。（三）期权合约的回报与盈亏

以X(K)代表执行价格，以ST代表标的资产到期日价格。

由于期权买方在买入期权这一资产的时候所支付的价格为期权费，期权的回报和盈亏之间差额即为这笔固定的期权费，因此我们将回报和盈亏放在同一幅图中，它们之间的差距就是期权费的反映。由于期权合约是零和游戏（Zero-SumGames），买方的回报和盈亏与卖方的回报和盈亏刚好相反，据此我们可以画出看涨期权买卖方的回报和盈亏分布图如下图所示。看涨期权多头回报与盈亏看涨期权空头回报与损益Max(ST-X,0)-max(ST-X,0)=min(X-ST,,0)回报

Max(X-ST,0)-max(X-ST,0)=min(ST-X,0)回报0ST盈亏X看涨期权多头0ST盈亏X0ST盈亏X看跌期权多头看跌期权空头（四）期权的实值、虚值与两平状态1、实值期权是指如果期权立即履约，持有者具有正值的现金流。2、两平期权是指如果期权立即履约，持有者的现金流为零。3、虚值期权是指如果期权立即履约，持有者的现金流为负。二、期权的内在价值与时间价值

期权价格（或者说价值）=期权的内在价值+期权时间价值

（一）期权内在价值期权的内在价值（IntrinsicValue）是指多方行使期权时可以获得的收益现值。例如，如果股票XYZ的市场价格为每股60美元，而以该股票为标的资产的看涨期权协议价格为每股50美元，那么这一看涨期权的购买方只要执行此期权即可获得1000美元。这1000美元的收益就是看涨期权的内在价值。（假定美式期权）理解期权内在价值注意的两个问题欧式期权和美式期权内在价值存在一定的差异。如下表所示。期权的内在价值实际大于0。将期权的内在价值与实值、虚值和平价等相联系，从理论上说，实值期权内在价值为正，虚值期权内在价值为负，而平价期权内在价值为零。但从实际来看，期权多头方是不会执行虚值期权的，因此内在价值至少等于零。

看涨期权看跌期权欧式期权无收益Max{（S-Xe-r(T-t)），0}Max{（Xe-r(T-t)-S），0}有收益Max{（S-D-Xe-r(T-t)），0}Max{（Xe-r(T-t)+D-S），0}美式期权无收益Max{（S-Xe-r(T-t)），0}Max(X-S，0)有收益Max{（S-D-Xe-r(T-t)），0}Max(X+D-S，0)备注提前执行是不合理的提前执行可能是合理的D是期权有效期内标的资产现金收益的现值。（二）期权的时间价值

1、期权的时间价值（TimeValue）:是指在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。换句话说，期权的时间价值实质上是期权在其到期之前获利潜力的价值。与内在价值不同，期权的时间价值通常不易直接计算，因此，它一般是运用期权的总价值减去内在价值求得的。例如，某债券的市场价格目前为105美元，而以该债券为标的资产、执行价格为100美元的看涨期权则以6.5美元成交。那么，该看涨期权的内在价值为5美元（105美元－100美元），而它的时间价值则为1.5美元（6.5美元－5美元）。2、影响时间价值的因素：1）到期时间。由于期权时间价值代表到期之前期权带来收益的可能性。因此，距离到期的时间越长，期权时间价值一般来说越大。对于美式期权来说，这一点显然是肯定的；而欧式期权由于只能在到期日执行，所以这一关系不一定成立，但总的来说其时间价值也是随着时间的延长而增大的。这意味着在一般情况下，期权的边际时间价值都是正的。随着时间的延长，期权时间价值的增幅是递减的。这就是期权的边际时间价值递减规律。（二）期权的时间价值2）标的资产价格的波动率越高，期权的时间价值就越大；3）期权的时间价值还受期权内在价值的影响：期权现在立即执行时所获得价值的绝对值越大，期权的时间价值越小。

（二）期权的时间价值①下面以例子说明期权内在价值与时间价值的关系，以无收益看涨期权为例：a.假设A股票（无红利）的市价为S=9.05,A股票有A1，A2，A3三种看涨期权，其协议价格分别为：X1=10元，X2=8元，X3=12元。它们的有效期都是1年，1年的无风险利率是10%（连续复利）。证明：S-Xe-r(T-t)的值越小，其时间价值越大。分析：由已知条件列出下表：市场价格S=9.05;利率（连续复利）10%;时间T-t=1期权协议价S-Xe-r(T-t)S-Xe-r(T-t)内在价值Max{（S-Xe-r(T-t)），0}A110000A281.811.811.81A312-1.811.810从上表可知：A1的S-Xe-r(T-t)值最小，其时间价值应在三种期权中最大。b.证明：假定A1，A2，A3三种看涨期权它们的时间价值相等，都是2元。那么：期权协议价期末时，期权在不同市场情况下的损益ST=14执行ST=10执行ST=8执行A11014-10-2e0.1=1.79执-2e0.1=-2.21不-2e0.1=-

2.21不A2814-8-3.81e0.1=1.79执10-8-3.81e0.1=-2.21执-3.81e0.1=-

4.21不A31214-12-2e0.1=-0.21执-2e0.1=-2.21不-2e0.1=-

2.21不（二）期权的时间价值

比较期权A1、A2，因为A1的价值在各种情况下都优于或等于A2，显然A1的时间价值不应该等于而应高于A2。同样：比较期权A1、A3，因为A1的价值在各种情况下都优于或等于A3，显然A1的时间价值不应该等于而应高于A3。即：S-Xe-r(T-t)越小，时间价值越大。（二）期权的时间价值c.分析：设I=S-Xe-r(T-t)，期权的内在价值部分所考虑的标的资产价格ST变动的范围是区间（-I+Xe-r(T-t)，I+Xe-r(T-t)），若I越大，该区间的范围越大，期权的内在价值部分所考虑的标的资产价格ST变动的范围越大。同时由于期权价值有其上限（不会高于现货价值）。时间价值考虑的标的资产的未来价格ST超出这个范围的可能性越小，即在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值越小。因此时间价值越小。时间价值资产价格SS=Xe-r(T-t)d.无收益资产看涨期权的时间价值与标的资产价格的关系图：

看涨期权看跌期权欧式期权无收益S=Xe-r(T-t)S=Xe-r(T-t)有收益S=D+Xe-r(T-t)S=Xe-r(T-t)+D美式期权无收益S=Xe-r(T-t)S=X有收益S=D+Xe-r(T-t)S=X+D②各种期权时间价值最大的条件

3、例：DGB股票为每股$43，张先生支付了3.5的股权市值（即一手$350）购买了一个DGB股票在4月到期的履约价格为$40的买入期权合约。即：BuyDGBApril40Call@3.5则：内在价值=股票市价-履约价格=$43-$40=$3时间价值=股权市值-内在价值=$3.5-$3.0=$0.5三、期权价格的影响因素期权价格的影响因素有以下六个因素，它们通过影响期权的内在价值与时间价值来影响期权的价格。1、标的资产的市场价格和执行价格2、期权的有效期3、标的资产的波动率4、无风险利率5、标的资产有效期内预计发红利变量欧式看涨期权欧式看跌期权美式看涨期权美式看跌期权标的资产价格＋－＋－执行价格－＋－＋期权的有效期??＋＋波动率＋＋＋＋无风险利率＋－＋－红利－＋－＋一个变量增加而其它变量保持不变时对期权价格的影响（一）标的资产的市场价格与期权的协议价格

1、看涨期权：标的资产价格越高、协议价格越低，看涨期权的价格越高。因为在执行时，其收益等于标的资产当时的市价与协议价格之差。

2、看跌期权：标的资产价格越低、协议价格越高，看跌期权的价格越高。因为在执行时，其收益等于协议价格与标的资产当时市价之差。max[ST–X，0]max[X–ST

，0]（二）期权的有效期

1、期权类型：1）美式期权：有效期越长，获利机会越多，期权价格越高。包含了有效期短的期权的所有机会。

2）欧式期权：随着有效期的增加，欧式期权的价值并不一定必然增加。但通常认为有随时间增长的趋势。

（三）标的资产的波动率

波动率越大，对期权多头越有利，期权价格也应越高。（四）无风险利率1、从比较静态的角度，比较不同利率水平下的两种均衡状态。1）对预期收益率和贴现率的影响：①对预期收益率的影响：如果一种状态下无风险利率水平较高，则标的资产的预期收益率也应较高，这意味对应于标的资产现在特定的市价

S0，未来预期价格E（ST）较高。②对贴现率的影响：如果一种状态下无风险利率水平较高，则贴现率较高，未来同样预期盈利的现值就较低。（四）无风险利率1、从比较静态的角度2）对期权的影响：①对于看跌期权：利率上升引起未来预期价格E（ST）升高与预期盈利的现值降低。这两种效应都将减少看跌期权的价值②对于看涨期权：利率上升引起未来预期价格E（ST）升高，使期权价格上升。利率上升引起预期盈利的现值降低，使期权价格下降。由于前者的效应大于后者，因此对于较高的无风险利率，看涨期权的价格也较高。max[ST–X，0]max[X–ST

，0]（四）无风险利率2、从动态的角度考察

1）对标的资产价格和贴现率的影响：①对标的资产价格的影响：在标的资产价格与利率成负相关时（如股票、债券等），当无风险利率提高时，原有均衡被打破，为了使标的资产的预期收益率提高，均衡过程通常是通过同时降低标的资产的期初价格和预期未来价格。只是前者的降幅更大来实现。②对贴现率的影响：当无风险利率提高时，原有均衡被打破，贴现率也上升。（四）无风险利率2）对期权的影响：①对于看涨期权，利率上升对标的资产价格和贴现率的影响这两种效应都将使期权价格下降。②对于看跌期权，利率上升对标的资产价格和贴现率的影响，前者效应为正，后者效应为负。由于前者效应通常大于后者，因此净效应是看跌期权价格上升。max[ST–X，0]max[X–ST

，0]（五）标的资产的收益由于标的资产分红付息等将减少标的资产的价格，而协议价格并未进行相应的调整，因此在期权有效期内标的资产产生收益将使看涨期权价格下降，使看跌期权价格上升。max[ST–X，0]max[X–ST

，0]四、期权价格的上下限

（一）期权价格的上限对于美式和欧式看涨期权，标的资产价格是看涨期权价格的上限：c≤S，C≤S在任何情况下，期权的价值都不会高于标的资产的价格，否则就会套利。买入标的资产并卖出期权来获取无风险利润。max[ST–X，0]下面看一个证明X为到期时股票的价格2、看跌期权价格的上限

1）美式看跌期权

美式看跌期权价格P的上限为XP≤X2）欧式看跌期权

欧式看跌期权价格p不能超过X的现值：p≤Xe-r(T-t)

组合A：一份现金，价值为Xe-r(T-t)组合B：一份欧式看跌期权，协议价格为X，其价值为p，到期时组合A价值为X>=max[X-ST,0]组合B价值为：当前所以有p≤Xe-r(T-t)

思考：对美式期权，它的上限如何？（二）期权价格的下限

1、欧式看涨期权价格的下限（1）无收益资产欧式看涨期权价格的下限为了推导出期权价格的下限，我们考虑如下两个组合：组合A：一份欧式看涨期权加上金额为Xe-r(T-t)的现金组合B：一单位标的资产在T时刻：组合A中：如果现金按无风险利率投资,则在T时刻将变为X，即等于协议价格。此时多头要不要执行看涨期权，取决于T时刻标的资产价格（ST）是否大于X。若ST>X，则执行看涨期权，组合A的价值为ST；若ST≤X，则不执行看涨期权，组合A的价值为X。因此，在T时刻，组合A的价值为：

max(ST,X)在组合B中，T时刻的价值为ST。由于max(ST,X)≥ST，在t时刻：组合A的价值也应大于等于组合B，即：c+Xe-r(T-t)>Sc>S-Xe-r(T-t)由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为：

c>max[S-Xe-r(T-t),0]（2）有收益资产欧式看涨期权价格下限只要将上述组合A的现金改为D+Xe-r(T-t),其中D为期权有效期内资产收益的现值，并经过类似的推导，就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为：

c>max[S-D-Xe-r(T-t),0]2、欧式看跌期权价格的下限

（1）无收益资产欧式看跌期权价格下限考虑以下两种组合：组合C：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产组合D：金额为Xe-r(T-t)的现金在T时刻：组合C中：如果ST﹤X，期权将被执行，组合C价值为X；如果ST>X,期权将不被执行，组合C价值为ST。即在T时刻组合C的价值为：

max(ST,X)组合D中：假定组合D的现金以无风险利率投资，则在T时刻组合D的价值为X。由于组合C的价值在T时刻大于等于组合D，因此组合C的价值在t时刻也应大于等于组合D，即：

p+S>Xe-r(T-t)p>Xe-r(T-t)-S由于期权价值一定为正，因此无收益资产欧式看跌期权几个下限为：

p>max[Xe-r(T-t)-S,0]（2）有收益资产欧式看跌期权价格的下限

只要将上述组合D的现金改为D+Xe-r(T-t)，应可得到有收益资产欧式看跌期权价格的下限为：p>max[D+Xe-r(T-t)-S,0]从以上分析可以看出，欧式期权的下限实际上就是内在价值。欧式看涨与看跌期权的平价定理考虑两个组合:组合(1):1份欧式看涨期权和数量为的现金;组合(2):1份欧式看跌期权和1份股票。

期初时刻现金流期末时刻现金流组合（1）（1）1份欧式看涨期权（2）数量为的现金

合计组合（2）（1）1份欧式看跌期权（2）1份股票

合计两个组合的现金流情况欧式看涨与看跌期权的平价定理

五、提前执行美式期权合理性（一）提前执行无收益资产美式期权的合理性

1、看涨期权,1）分析：①不提前执行时：持有准备用于执行期权的现金会产生收益，再加上美式期权的时间价值总是正的。②提前执行时：看涨期权得到的标的资产无收益。结论：提前执行无收益资产的美式看涨期权是不明智的。

2）证明：考虑两个组合：组合A：一份美式看涨期权加上金额为Xe-r(T-t)的现金组合B：一单位标的资产①不提前执行：在T时刻：组合A的现金变为X，组合A的价值为max(ST,X)。组合B的价值为ST。可见，组合A在T时刻的价值一定大于等于组合B。这意味着，如果不提前执行，组合A的价值一定大于等于B。

②提前执行美式期权,在时刻：组合A的价值为：

S-X+Xe-r

(T-)组合B的价值为：S由于T>,r>0因此Xe-r

(T-)<X。显然：若提前执行美式期权的话，组合A的价值小于组合B。

③结论：提前执行无收益资产美式看涨期权是不明智的。

3）美式看涨期权的价值：由以上分析可得：同一种无收益标的资产的美式看涨期权与欧式看涨期权的价值是相同的。即：C=c根据：c>max[S-Xe-r(T-t),0]，得到无收益资产美式看涨期权价格的下限：C>max[S-Xe-r(T-t),0]2、看跌期权1）提前执行无收益美式看跌期权是否合理。其中K为协议价格2）美式期权的下限：由于美式期权可提前执行，因此其下限更为严格（与p>max[Xe-r(T-t)-S,0]比较）：PX-S（二）提前执行有收益资产美式期权

的合理性1、看涨期权1）提前执行有收益资产的美式期权的好处：可较早获得标的资产，从而获得现金收益，而现金收益可以派生利息。因此在一定条件下，提前执行有收益资产的美式期权有可能是合理的。所以68美式看涨提前执行的条件：收益大于成本美式看跌提前执行的条件：收益大于成本2）在一定条件下，提前执行有收益资产的美式期权的合理性：假设：在期权到期前，标的资产有n个除权日t1,t2,……tn，为除权时的瞬时时刻，在这些时刻之后的收益分别为D1，D2，……Dn

在这些时刻的标的资产价格分别为S1，S2，……Sn.①在最后一个除权日（tn）提前执行的条件：如果在tn时刻提前执行期权，则期权多方获得Sn-X的收益。如果不提前执行，则资产价格将由于除权降到Sn-Dn

。根据关系：c≥max[S-D-Xe-r(T-t),0]在tn时刻期权的价值Cn≥cn≥max{Sn-Dn-Xe-r(T-tn),0}因此，如果：Sn-Dn-Xe-r(T-tn)≥Sn-X即：Dn≤X[1-e-r(T-tn)]则在tn提前执行是不明智的。相反，如果Dn>X[1-e-r(T-tn)]则在tn提前执行有可能是合理的。结论：只有当tn时刻标的资产红利足够大时，提前执行美式看涨期权才是合理的。②对于任意i<n，在ti时刻不能提前执行有收益资产的美式看涨期权条件是：Di≤X[1-e-r(t_i+1–t_n)]2)有收益资产美式看涨期权价值的下限

由于存在提前执行更有利的可能性，有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权，其下限为：C≥c≥max{S-D-Xe-r(T-t),0}2．看跌期权1）美式看跌期权不提前执行条件：

通过同样的分析，可以得出美式看跌期权不能提前执行的条件是：Di≥X[1-e-r(t_i+1-t_i)]Di≤X[1-e-r(T-tn)]2）美式看涨期权的下限：由于美式看涨期权有提前执行的可能性，因此其下限为：P≥max(D+X-S,0)上

限下

限欧式看涨无收益S有收益S看跌无收益有收益美式看涨无收益S有收益S看跌无收益X有收益X六．期权价格曲线的形状

（一）看涨期权价格曲线从构成要素讲，期权价格=内在价值+时间价值内在价值主要取决于S和X。时间价值主要取决于期权内在价值，r、波动率等因素。1、无收益资产的情况：

看涨期权的上限=S，看涨期权的下限=max[S-Xe-r(T-t),0]，期权价格的下限就是期权的内在价值。当内在价值=0时，期权价格就等于时间价值。当S=Xe-r(T-t)

时，时间价值最大；当S趋于0和∞时，时间价值也趋于0，此时看涨期权价值分别趋于0和S-Xe-r(T-t)。特别的，当S=0时，C=c=0。

此外，r越高，期权期限越长，标的资产价格波动率很大，则期权价格曲线以0为中心，越往右上旋转，但基本形状不变，而且不会超过上限。如图所示

时间价值看涨期权价格曲线期权价格上限（C=c=S）看涨期权价格期权价格下限C=c=max[S-Xe-r(T-t),0]=内在价值0虚值期权S<Xe-r(T-t)平价期权S=Xe-r(T-t)实值期权S>Xe-r(T-t)S2、有收益资产的情况：有收益资产看涨期权价格曲线与图类似，只是把Xe-r(T-t)换成Xe-r(T-t)+D（二）看跌期权价格曲线1、

欧式看跌期权的价格曲线，1）无收益资产看跌期权的情况欧式看跌期权的上限=Xe-r(T-t)欧式看跌期权的下限=max{Xe-r(T-t)–S,0}当Xe-r(T-t)–S>0时，它就是欧式看跌期权的内在价值，也是其价格下限。当Xe-r(T-t)–S<0时，欧式看跌期权的内在价值为0，其期权价格等于时间价值，当S=Xe-r(T-t)

时间价值最大。当S趋于0和∞时，期权的价值分别趋于Xe-r(T-t)和0。特别时，当S=0时，p=Xe-r(T-t).r越低，期权期限越长，标的资产价格波动率越高，看跌期权价值以0为中心越往右上方旋转，但不能超过上限。如图：时间价值下限、内在价值欧式看跌期权价格上限欧式看跌期权价格Xe-r(T-t)Xe-r(T-t)0S2）有收益资产看跌期权的情况有收益资产期权价格曲线与图相似，只是把Xe-r(T-t)换成D+Xe-r(T-t)2、美式看跌期权价格曲线

1）无收益标的资产的情况美式看跌期权上限为X，下限为X-S。当标的资产价格足够低时，提前执行是明智的，此时期权的价值为X-S。因此当S较小时，看跌期权的曲线与其下限或者说内在价值X-S是重合的。当S=X时，期权时间价值最大。其它情况与欧式看跌期权类似。0下限、内在价值美式看跌期权价格上限美式看跌期权价格时间价值XXS2）有收益美式看跌期权有收益美式看跌期权价格曲线与图相似，只是把X换成X+D。

七、看涨期权与看跌期权之间的平价关系（一）欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系

1、无收益的资产的欧式期权组合A：一份欧式看涨期权加上金额为Xe-r(T-t)的现金组合B：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权；加上一单位标的资产Call多头=put多头+标的资产多头在期权到期时，两个组合的价值均为max{ST,X},由于欧式期权不能提前执行，因此两组合在时刻t必须具有相等的价值。即：c+Xe-r(T-t)=p+S这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权的平价关系，它表明欧式call的价格可以由相同条件的欧式put的价格推导出来。欧式看涨与看跌期权的平价定理考虑两个组合:组合(1):1份欧式看涨期权和数量为的现金;组合(2):1份欧式看跌期权和1份股票。

期初时刻现金流期末时刻现金流组合（1）（1）1份欧式看涨期权（2）数量为的现金