全国高中数学联赛浙江赛区预赛试卷

全国高中数学联赛浙江赛区初赛试卷及答案20XX年浙江省高中数学比赛试卷一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多项选择、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1．cos4xsin4xsin2xcos2x化简三角有理式6的值为（）622sinxcosx2sinxcosx2若p:(xx0,q:x2，则p是q的（）A.1B.sinxcosxC.sinxcosxD.1+sinxcosx2．A.充分而不用要条件B.必需而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不用要条件3．会集P={xxR,x3x63}，则会集CRP为（）A.{xx6,或x3}B.{xx6,或x3}C.{xx6,或x3}D.{xx6,或x3}4．设a,b为两个互相垂直的单位向量。已知OP=a，OQ=b，OR=ra+kb.若△PQR为等边三角形，则k，r的取值为（）Akr111,rBk222111rDk222C．kr5．在正三棱柱ABC―A1B1C1中，若1，则CA1与C1B所成的角的大小是( )设an，bn分别为等差数列与等比数列，且a1b14,a4b41，则以下结论正确的是A．60°B．75°C．90°D．105°．6（）A.a2b2B.a3b3C.a5b5D.a6b67．若xR,则(12x)15的二项式睁开式中系数最大的项为（）A．第8项B.第9项C.第8项和第9项D.第11项8．设f(x)cosx111，af(loge),bf(log),cf(log12)，则下述关系式正确的选项是5ee（）。A．abcB.bcaC.cabD.bac9．下边为某一立体的三视图，则该立体的体积为（）正视图：半径为1的半圆以及高为1的矩形A.俯视图：半径为1的圆设有算法以下：若是输入A=144,B=39,则输出的结果是（）A.144B.3C.0D.12二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11.2所有实数解为。xx12.xR,函数f(x)2sin3cos的最小正周期为.23设P是圆x2y236上一动点，A点坐标为20,0。当P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹方程为.设锐角三角形ABC的边BC上有一点D，使得AD把ABC分成两个等腰三角形，试求△ABC的最小内角的取值范围为。1设z是虚数，wz，且1w2，则z的实部取值范围为z16.设f(x)k(x2x1)x4(1x)4。若是对任何x[0,1]，都有f(x)0，则k的最小值为17.设p,qR，f(x)x2p|x|q。当函数f(x)的零点多于1个时，f(x)在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为.三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）*-*k,,,，设数列,,,,,,,,*kk11问：（1）这个数列第20XX年项的值是多少；（2）在这个数列中，第20XX年个值为1的项的序号是多少.设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们所有放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。x2已知椭圆2y21(a1)，RtABC以A（0，1）为直角极点，边AB、BC与椭圆交于两a点B、C。若△ABC面积的最大值为27，求a的值。8四、附带题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。）21.设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB上的点。记BDCEAF,,。证明：BCABSDEFSABC。（1）设a0，平面上的点如其坐标都是整数，则称之为格点。今有曲线yax过格点（n，m），记1xn对应的曲线段上的格点数为N。证明：3Nakmn。k1k1n3m进而设a是一个正整数，证明：a2n(n1)n(3n1)。4k1（注[x]表示不高出x的最大整数）an3参照答案1、解答为A。分母=(sin2xcos2x)(sin4xcos4xsin2xcos2x)2sin2xcos2xsin4xcos4xsin2xcos2x。2、解答为B。p建立x3，所以p建立，推不出q必然成立。3、解答：D。画数轴，由绝对值的几何意义可得6x3，Px6x3,CRP{xx6,或x3}。4、解答．C.PQQRPR，5、解答：C。建立空间直角坐标系，以A1B1所在的直线为x轴，在平面A1B1C1上垂直于A1B1的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴。则A1C1C22B(0,0,1)，CA16、解答：A。1),C1B(CA1C1B0。设等差数列的公差为d，等比数列公比为q,由a1b14,a4b41，得得a23,b2a32,b3a50,b5a61,b6。2422932r，r=10，第11项最大。33x8、解答：D。函数f(x)cos为偶函数，在（0，）上，f(x)cosx为减函数，而527、解答：D.Tr1C152,由TrTr1，Tr2Tr1rrloge1loge,log111,log122loge，elogee0loge2loge1，所以bac。5loge5549、解答：C.依据题意，该立体图为圆柱和一个1/4的球的组合体。10、解答B（1）A=144，B=39，C=27：（2）A=39，B=27，C=12：（3）A=27，B=12，C=3：（4）A=12，B=3，C=0。所以A=3。11、解答201，解得20XX年x20XX年。xx12、解答2sin的周期为4，3cos的周期为6，所以函数f(x)的周期为12。23x20y13、解答设M的坐标为(x,y)，设P点坐标为(x0,y0),则有x0,y022x02x20,y02y，由于P点在圆上，所以(2x20)2(2y)236所以P点轨迹为(x10)2y29。14、解答如图，（1）AD=AC=BD；（2）DC=AC，AD=BD。在（1）中，设最小的角为x，则2x90,得x45,又x+180-4x90,得x30,所以30x45；在（2）中，设最小的角为x，则3x90,得x30,又180-4x90,得x22.5,所以22.5x3015、解答设zabi1abi当b0，无解；当ab122bib220或ab12b02222bab1a1。2x4(1x)*16、解答k2由于x2x1(x)2,x时x2x1最小值为*xx1*,x时，x4(1x)4取最大值（），所以k的最小值为。*217、解答由于函数f(x)xp|x|q为偶函数，由对称性以及图象知道，f(x)在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值0或q。18、解（1）将数列分组：( ),(,),(,,),,(,由于1+2+3++62=1953；1+2+3++63=20XX年，所以数列的第20XX年项属于第63组倒数第7个数，即为1*-k,),kk1157。---------10分72）由以上分组可以知道，每个奇数组中出现一个1，所以第20XX年个1出现在第4019组，而第4019组中的1位于该组第20XX年位，所以第20XX年个值为1的项的序号为（1+2+3++4018）+20XX年=*。------------17分19、解：设甲袋中的红、黑、白三种颜色的球数为x,y,z，则有1x,y,z9，且xyz(10x)(10y)(10z)（*1）-----------------5分即有xyz50050(xyz)5(xyyzzx)。（*2）于是有5xyz。所以x,y,z中必有一个取5。不如设x5，代入（*1）式，获得yz10。

----------------10

分此时，y可取1，2，，8，9（相应地z取9，8，，2，1），共9种放法。同理可得y=5也许z=5时，也各有9种放法，但有xyz时二种放法重复。所以可得共有9×3－2=25

种放法。

---------------------17

分20、解：

不如设

AB

的方程

ykx1k0

，则

AC

的方程为

y1x1。kykx12a2k*由x得：(1ak)x2akx0xB2221ak2y1a1yx12a2kk2222由2得：(ak)x2akx0xC2,2akxy21a2进而有ABAC--------5分于是SABC1k(1k)4ABAC2a42a222212(1ak)(ak)a2(k22)a41k2k1令tk12，有k2a4tSABC22at(a21)22a4,---------10分22(a1)a2tt(a21)2a2122a(a1),t由于at时等号建立。at2a21a3,(SABC)max2,-------------14分所以当t=aa1令a32732(a3)(8a3a9)0a3,a2a1816a2132a1a不合题意，舍去)，a3.---------17分a16SBFDBDBFsinB(1).---------5分21、证明由SABCBCBAsinB同理SDECS(1),AEF(1)。

----------10

分

SABCSABC所以，SDEFSABCSBFDSDECSAEF1(1)(1)(1)SABCSABC=(1)(1)(1),等号建立

1或

1或

1。

----20

分所以

SDEFSABC，等号建立，当且仅当，

D与

C重合，或E与

A重合，或

F与

B重合。

-----25

分22、证明（1）考虑地域

0xn,0ym,

且该地域上的格点为nm

个。又该地域由地域

E：0xn,0yax3,以及地域

F：0ym,0x组成。3在地域E上，直线段xk(kN,1kn)上的格点为[ak]个，所以地域E上的格点数为k1mn[ak3]。

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