浙江杭州上城区七校联考2024届中考数学最后一模试卷含解析

浙江杭州上城区七校联考2024届中考数学最后一模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，若二：「二，二二,则点C的坐标为（）

D---

2.如图①是半径为2的半圆，点C是弧AB的中点，现将半圆如图②方式翻折，使得点C与圆心O重合，则图中阴

影部分的面积是（）

3.如图，正方形ABCD的顶点C在正方形AEFG的边AE上,AB=2,AE=4&，则点G到BE的距离是（）

C32-

D.

,5竽

4.若分式上的值为零，则x的值是（）

X+1

A.1B.-1C.±1D.2

5.向某一容器中注水，注满为止，表示注水量与水深的函数关系的图象大致如图所示，则该容器可能是（）

A.B.

C.\/D.

6.已知a为整数，且g<a〈百，则a等于（）

A.1B.2C.3D.4

7.如图，在。O中，点P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论：®AB±CD；®ZAOB=4ZACD；

③弧AD=MBD；④PO=PD,其中正确的个数是（）

9.一次函数丁=四+。与二次函数>=。必+法+。在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）

10.对于下列调查：①对从某国进口的香蕉进行检验检疫；②审查某教科书稿；③中央电视台“鸡年春晚”收视率.其中

适合抽样调查的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

11.若正比例函数y=3x的图象经过A（-2,yi）,B（-1,y2）两点，则yi与y2的大小关系为（）

A.yi<y2B.yi>y2C.yi<y2D.yi>y2

12.如图，AB是半圆圆。的直径，AA5C的两边分别交半圆于£>,E,则£为的中点，已知NR4C=5O，

则NC=()

A.55B.60C.65D.70

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面宽度为8加，两侧离地面4加高处各有一盏灯，两灯

间的水平距离为6m,则这个门洞的高度为m.（精确到0」和）

14.如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成.若较短的直角边BC=5,将

四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△5。的周长是30,则这个风车

15.分解因式：x2-4x+4=.

1

16.计算：（-）«-鑫=.

17.分解因式：x2y-4xy+4y=.

18.因式分解：3x2-6xy+3y2=.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）小李在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考，请你帮他完成如下问题:

他认为该定理有逆定理：“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的

一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立.即如图①，在AABC中，4。是8C边上的中线，若AD=5£>=CD,

求证：440=90°.如图②，已知矩形ABC。，如果在矩形外存在一点E,使得求证：BE上DE.（可

以直接用第（1）问的结论）在第（2）问的条件下，如果AAED恰好是等边三角形，请求出此时矩形的两条邻边A3

与的数量关系.

20.（6分）如图，已知等腰三角形A3C的底角为30。，以3c为直径的。。与底边A3交于点O,过。作OE_LAC,

垂足为E.证明：OE为。。的切线；连接OE,若BC=4,求AOEC的面积.

21.（6分）如图，抛物线y=ax?+ax-12a（a<0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C,点M

是第二象限内抛物线上一点，BM交y轴于N.

（1）求点A、B的坐标；

27

（2）若BN=MN,且SAMBC=〈，求a的值；

一4

MN

(3)若NBMC=2NABM,求——的值.

NB

一28

22.(8分)如图，已知矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的正半轴上与y轴的负半轴上，二次函数y=19r-1x-2

的图像经过点B和点C.

(1)求点A的坐标；

(2)结合函数的图象，求当y<0时，x的取值范围.

23.(8分)某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的A,B两种型号的电风扇，表中是近两周的销售情况:

销售数量

销售时段销售收入

B种型

A种型号

号

第一周3台5台1800元

第二周4台10台3100元

(进价、售价均保持不变，利润=销售收入一进货成本)

(1)求A,B两种型号的电风扇的销售单价.

(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，则A种型号的电风扇最多能采购多少台？

⑶在⑵的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能,

请说明理由.

24.(10分)如图，四边形ABCD中，ZA=ZBCD=90°,BC=CD,CE±AD,垂足为E,求证：AE=CE.

c

25.（10分）某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售

量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-2x+L设这种产品每天的销售利润为W元.

（1）该农户想要每天获得150元得销售利润，销售价应定为每千克多少元？

（2）如果物价部门规定这种农产品的销售价不高于每千克28元，销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？

最大利润是多少元？

26.（12分）如图所示，某小组同学为了测量对面楼AB的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为40米，有的

组员在教室窗户处测得楼顶端A的仰角为30。，底端B的俯角为10。，请你根据以上数据，求出楼AB的高度.（精确

至I]0.1米）（参考数据：sinl0°-0.17,cosl0°-0.98,tanl0°=0.18,亚-1.41,6«1.73）

27.（12分）在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进

行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题:

分组频数频率

第一组(0<x<15)30.15

第二组(15<x<30)6a

第三组（30WxV45）70.35

第四组(45<x<60)b0.20

（1）频数分布表中a=，b=,并将统计图补充完整；如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能,够

一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师

随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？

s

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、C

【解析】

根据A点坐标即可建立平面直角坐标.

【详解】

解：由A(0,2),B(1,1)可知原点的位置，

..；・•••：

H：

「i

~•f)：1：!!

厂i…:…：二

建立平面直角坐标系，如图，

：.C(2,-1)

故选：C.

【点睛】

本题考查平面直角坐标系，解题的关键是建立直角坐标系，本题属于基础题型.

2、D

【解析】

连接OC交MN于点P,连接OM、ON,根据折叠的性质得到OP=^OM,得到NPOM=60。，根据勾股定理求出MN,

2

结合图形计算即可.

【详解】

解：连接OC交MN于点P,连接OM、ON,

由题意知，OCLMN,且OP=PC=1,

在RtAMOP中，VOM=2,OP=1,

Qp]___________

cosZPOM=——=-,AC=yJoM2-OP2=x/3，

OM2

：.NPOM=60。，MN=2MP=273，

二ZAOB=2ZAOC=120°,

则图中阴影部分的面积=5半圆-2S弓形MCN

=—X7tx22-2x（120万x2I、20x1）

23602

=2-y/3-Hk，

故选D.

【点睛】

本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式

的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键.

3、A

【解析】

根据平行线的判定，可得AB与GE的关系，根据平行线间的距离相等，可得△BEG与△AEG的关系，根据根据勾股

定理，可得AH与BE的关系，再根据勾股定理，可得BE的长，根据三角形的面积公式，可得G到BE的距离.

【详解】

连接GB、GE,

G

由已知可知/BAE=45。.

又•；GE为正方形AEFG的对角线，

.,.ZAEG=45°.

，AB〃GE.

,.，AE=40,AB与GE间的距离相等,

.__1_

・・GE=8,SABEG=SAAEG=—SAEFG=1.

2

过点B作BHJ_AE于点H,

VAB=2,

，BH=AH=0.

，HE=30.

；.BE=2逐.

设点G到BE的距离为h.

:.SABEG=—*BE*h=—x2J5xh=l.

22

166

5

即点G到BE的距离为丑叵.

5

故选A.

【点睛】

本题主要考查了几何变换综合题.涉及正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等积式及四点共圆周的知识，综合

性强.解题的关键是运用等积式及四点共圆的判定及性质求解.

4、A

【解析】

试题解析：•••分式忖二1的值为零，

X+1

|x|-1=0,x+lRO,

解得：x=l.

故选A.

5、D

【解析】

根据函数的图象和所给出的图形分别对每一项进行判断即可.

【详解】

由函数图象知：随高度h的增加,y也增加，但随h变大，每单位高度的增加，注水量h的增加量变小，图象上升趋势变

缓，其原因只能是水瓶平行于底面的截面的半径由底到顶逐渐变小，故D项正确.

故选:D.

【点睛】

本题主要考查函数模型及其应用.

6、B

【解析】

直接利用若，接近的整数是1,进而得出答案.

【详解】

；a为整数，且G<a<6,

:.a=l.

故选：B.

【点睛】

考查了估算无理数大小，正确得出无理数接近的有理数是解题关键.

7、D

【解析】

根据垂径定理，圆周角的性质定理即可作出判断.

【详解】

：尸是弦A5的中点，CZ>是过点尸的直径.

：.AB±CD,弧40=弧3。，故①正确，③正确；

ZAOB=2ZAOD=4ZACD,故②正确.

P是。。上的任意一点，因而④不一定正确.

故正确的是：①②③.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，正确理解定理是关键.平分弦（不是直径）的直径垂直与这条弦，并且平分这条

弦所对的两段弧；同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半.

8、A

【解析】

由俯视图得到正三棱柱两个底面在竖直方向，由主视图得到有一条侧棱在正前方，从而求解

【详解】

解：由俯视图得到正三棱柱两个底面在竖直方向，由主视图得到有一条侧棱在正前方，于是可判定A选项正确.

故选A.

【点睛】

本题考查由三视图判断几何体，掌握几何体的三视图是本题的解题关键.

9、D

【解析】

本题可先由一次函数y=ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致.

【详解】

A、一次函数y=ax+c与y轴交点应为（0,c）,二次函数y=ax?+bx+c与y轴交点也应为（0,c）,图象不符合，故本

选项错误；

B、由抛物线可知，a>0,由直线可知，aVO,a的取值矛盾，故本选项错误；

C、由抛物线可知，a<0,由直线可知，a>0,a的取值矛盾，故本选项错误；

D、由抛物线可知，a<0,由直线可知，a<0,且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确.

故选D.

【点睛】

本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法.

10、B

【解析】

根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答.

【详解】

①对从某国进口的香蕉进行检验检疫适合抽样调查；

②审查某教科书稿适合全面调查；

③中央电视台“鸡年春晚”收视率适合抽样调查.

故选B.

【点睛】

本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，

对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关

重大的调查往往选用普查.

11、A

【解析】

分别把点A(-1,yi),点B(-1,yi)代入函数y=3x,求出点yi,yi的值，并比较出其大小即可.

【详解】

解：•.,点A(-1,yi),点B(-1,yi)是函数y=3x图象上的点，

•"•yi——6,yi=-3,

3>—6,

*'•yi<yi-

故选A.

【点睛】

本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式.

12、C

【解析】

连接AE,只要证明△ABC是等腰三角形，AC=AB即可解决问题.

【详解】

VAB是直径，

.•.NAEB=90。，BPAE1BC,

VEB=EC,

,\AB=AC,

.\ZC=ZB,

■:ZBAC=50°,

/.ZC=-(180°-50°)=65°,

2

故选：C.

【点睛】

本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常

用辅助线，灵活运用所学知识解决问题.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、9.1

【解析】

建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标

【详解】

如图，以地面为x轴，门洞中点为O点，画出y轴，建立直角坐标系

由题意可知各点坐标为A(-4,0)B(4,0)D(-3,4)

设抛物线解析式为y=ax2+c(a/0)把B、D两点带入解析式

4c6464

可得解析式为丫=-亍/+亍，则c(0,―)

本题考查二次函数的简单应用，能够建立直角坐标系解出二次函数解析式是本题关键

14、71

【解析】

分析：由题意NACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一

步求得四个.

详解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x,AC=y,则

x2=4y2+52,

1.△BCD的周长是30,

x+2y+5=30

则x=13,y=l.

，这个风车的外围周长是：4(x+y)=4x19=71.

故答案是：71.

点睛：本题考查了勾股定理在实际情况中的应用，注意隐含的已知条件来解答此类题.

15、(x-1)1

【解析】

试题分析：直接用完全平方公式分解即可，即x1-4x+4=(x-1)i.

考点：分解因式.

16、-1

【解析】

本题需要运用零次塞的运算法则、立方根的运算法则进行计算.

【详解】

由分析可得：(g)°-调=1—2=-1.

【点睛】

熟练运用零次塞的运算法则、立方根的运算法则是本题解题的关键.

17、j(x-2)2

【解析】

先提取公因式y,再根据完全平方公式分解即可得.

【详解】

原式=武必一4x+4)=y(x-2)2,

故答案为y(x-2)2.

18、3(x-y)1

【解析】

试题分析：原式提取3,再利用完全平方公式分解即可，得到3炉-6xy+3y1=3(x1-Ixy+y1)=3(x-y)

考点：提公因式法与公式法的综合运用

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)详见解析；(2)详见解析；(3)BC=W>AB

【解析】

(1)利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可得出结论；

(2)先判断出OE=^AC,即可得出OE=，BD,即可得出结论；

22

(3)先判断出AABE是底角是30。的等腰三角形，即可构造直角三角形即可得出结论.

【详解】

(1)；AD=BD,

.\ZB=ZBAD,

；AD=CD,

.,.ZC=ZCAD,

在AABC中，ZB+ZC+ZBAC=180°,

.,.ZB+ZC+ZBAD+ZCAD=ZB+ZC+ZB+ZC=180°

.*./B+/C=90°,

/.ZBAC=90°,

(2)如图②，连接AC与BD,交点为。，连接OE

四边形ABC。是矩形

OA=OB=OC=OD=-AC=-BD

22

AELCE

:.ZAEC=90°

:.OE=-AC

2

:.OE=-BD

2

:.ZBED=90°

..BEX.DE

(3)如图3,过点B做班'LAE于点尸

A,D

E

四边形ABC。是矩形

：.AD=BC,ABAD=90°

AADE是等边三角形

■.AE=AD=BC,ZDAE=ZAED=60°

由（2）知，ZBED=900

:.ZBAE=ZBEA=3Q°

:.AE=2AF

在WAAB77中，ZBAE=30°

:.AB=2AF,AF=@BF

AE=#1AB

AE=BC

BC=6AB

【点睛】

此题是四边形综合题，主要考查了矩形是性质，直角三角形的性质和判定，含30。角的直角三角形的性质，三角形的

内角和公式，解（1）的关键是判断出NB=NBAD,解（2）的关键是判断出OE=-AC,解（3）的关键是判断出4ABE

2

是底角为30。的等腰三角形，进而构造直角三角形.

20、（1）证明见解析；（2）B

2

【解析】

试题分析：（1）首先连接OD,CD,由以BC为直径的。0,可得CD_LAB,又由等腰三角形ABC的底角为30。，可

得AD=BD,即可证得OD〃AC,继而可证得结论；

（2）首先根据三角函数的性质，求得BD,DE,AE的长，然后求得△BOD,△ODE,△ADE以及△ABC的面积，

继而求得答案.

试题解析：（1）证明：连接OD,CD,

A

•.•BC为。O直径，

/.ZBDC=90o,

即CD±AB,

,/△ABC是等腰三角形，

/.AD=BD,

VOB=OC,

AOD是小ABC的中位线，

；.OD〃AC,

VDE±AC,

AODlDE,

•；D点在。O上，

.\DE为。O的切线；

(2)解：VZA=ZB=30°,BC=4,

/.CD=-BC=2,BD=BC«cos30°=2J3»

2

:.AD=BD=273，AB=2BD=4也,

：•SAABC=—AB«CD=L4Gx2=473，

22'

VDE±AC,

/.DE=gAD=；x2y/3=布,

AE=AD*cos30°=3,

1111

**.SAODE=—OD»DE=—x2xJ3=J3

22

SAADE=；AE*DE=gx6x3=,

:.SAOEC=SAABC-SABOD-SAODE-SAADE=46-y/3-6

22

21、(1)A(-4,0),B(3,0)；(2)(3)

46

【解析】

(1)设y=0,可求x的值，即求A,B的坐标；

27

(2)作MD±x轴，由CO〃MD可得OD=3,把x=-3代入解析式可得M点坐标，可得ON的长度，根据SABMC=—,

4

可求a的值；

MN_

(3)过M点作ME〃AB,设NO=m,——=k,可以用m,k表示CO,EO,MD,ME,可求M点坐标，代入可

NB

得k,m,a的关系式，由CO=2km+m=-12a,可得方程组，解得k,即可求结果.

【详解】

(1)设y=0,贝!|0=ax2+ax-12a(a<0),

/.xi=-4,X2=3,

AA(-4,0),B(3,0)

(2)如图1,作MD，x轴,

图1

；MDJ_x轴，OCJ_x轴,

；.MD〃OC,

MBOB)

——=——且NB=MN,

MNOD

.•.OB=OD=3,

.D(-3,0),

・•・当x=-3时，y=-6a,

AM(-3,-6a),

/.MD=-6a,

VON/7MD

.ONOB_1

Z.ON=-3a,

根据题意得：C(0,-12a),

・・27

•SAMBC=--，

4

1、27

・・一(z-12a+3a)x6=—,

24

1

a=-----，

4

VME/7AB,

/.ZEMB=ZABM且NCMB=2NABM,

AZCME=ZNME,且ME=ME,ZCEM=ZNEM=90°,

/.△CME^AMNE,

ACE=EN,

”MN,、

设NO=m,------=k(k>0),

NB

VME/7AB,

ENMNME

•**-----=--------------=k,

ONNBOB

AME=3k,EN=km=CE,

.*.EO=km+m,

CO=CE+EN+ON=2km+m=-12a,

„„m-12

即一=-----

a2左+1

•*.M(-3k,km+m),

/.km+m=a(9k2-3k-12),

m

(k+1)x—=(k+1)(9k-12),

a

-12

=9k-12,

2k+1

:.k=—,

6

.MN_5

"NB~6

【点睛】

本题考查的知识点是函数解析式的求法，二次函数的图象和性质，是二次函数与解析几何知识的综合应用，难度较大.

22、(1)(4,0)；(2)-l<x<5

【解析】

(1)当％=0时，求出点C的坐标，根据四边形Q45c为矩形，得出点B的坐标，进而求出点A即可;

(2)先求出抛物线图象与x轴的两个交点，结合图象即可得出.

【详解】

2o

解：(1)当x=0时，函数y=gx—2的值为-2,

...点C的坐标为(0,—2)

•.•四边形Q45c为矩形，

:.OA^CB,AB=CO=2

2Q

解方程gx?——x—2.——2,得X]=0,4=4.

•••点3的坐标为(4,-2).

...点A的坐标为(4,0).

2Q

(2)解方程—《X—2=0,得玉=—1,々=5.

由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是—1＜兀＜5.

【点睛】

本题考查了二次函数与几何问题，以及二次函数与不等式问题，解题的关键是灵活运用几何知识，并熟悉二次函数的

图象与性质.

23、(1)A,B两种型号电风扇的销售单价分别为250元/台、210元/台；(2)A种型号的电风扇最多能采购10台；⑶在

⑵的条件下超市不能实现利润为1400元的目标.

【解析】

(1)设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1800元，4台A

型号10台B型号的电扇收入3100元，列方程组求解；

(2)设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇(30-a)台，根据金额不多余5400元，列不等式求解;

(3)设利润为1400元，列方程求出a的值为20,不符合(2)的条件，可知不能实现目标.

【详解】

⑴设A,B两种型号电风扇的销售单价分别为x元/台、y元/台.

3x+5y=1800%=250

依题意，得《解得《

[4x+10y=3100。=210

答：A,B两种型号电风扇的销售单价分别为250元/台、210元/台.

⑵设采购A种型号的电风扇a台，则采购B种型号的电风扇(30—。)台.

依题意，得200.+170(30—a)W5400,

解得a<10.

答:A种型号的电风扇最多能采购10台.

(3)依题意，有(250-200)。+(210-170)(30-a)=1400,

解得a=20.

Va<10,

在⑵的条件下超市不能实现利润为1400元的目标.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关

系和不等关系，列方程组和不等式求解.

24、证明见解析.

【解析】

过点B作BFLCE于F,根据同角的余角相等求出NBCF=ND,再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等，根据全

等三角形对应边相等可得BF=CE,再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF,从而得证.

【详解】

证明：如图，过点8作5斤，CE于尸，

'：CE±AD,

：.ZD+ZDCE=90°,

'：ZBCD=90°,

，ZBCF+ZDCE=9Q°