递推公式求通项的几种方法

求通项常见的几种方法利用递推公式求通项常见的几种方法其他方法类型1

这种类型求的方法一般主要采用逐差或累加法。逐差法：化简得

累加法：例：已知数列满足，

①求②证明①解：=3+1=4，=9+4=13②证法1（累加法）：由得

累加得：根据等比数列前n项的公式，得证法2（逐差法）由已知得：

∴

类型2这种类型求的方法一般有累乘法，也称逐商相乘法。步骤：（1）把原递推公式转化为（2）利用恒等式即例（2004年高考全国卷Ⅰ）已知数列满足，则的通项考题剖析将以上n个式子相乘，得解：由题可得再联合已知式，可得当时，即又∴

类型3

这种类型一般主要利用待定系数法构造等比数列。步骤：1）设

2）去括号得，

3）与已知递推式比较，得，即

4）代入1）中式子，得以p为公比的等比数列例（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项=_______________解法一（构造数列---待定系数法）：设再联合原递推式可得，=3令，则再由得，=4即为以4为首项且以2为公比的等比数列，∴解法二（累加法）：设，则再由，得即

为以4为首项且以2为公比的等比数列，则累加得：解法三（迭代法）：∴解法四（特征根法）：①找出其齐次递推关系②得到特征方程x-2=0,特征根为x=2③得到通解为④设特解A是待定常数⑤代入原递推关系式，得

A=2A+3，得A=-3⑥得到，为待定常数。⑦根据，可得即类型4

（其中p,q均为常数）这种类型求通项的方法一般有待定系数法。步骤：1）把原递推公式转化为2）去括号得3）联合原递推式，可得4）解出可得是以t为公比的等比数列5）根据4），最后可把它化到类型1的形式进行求解例（2006年高考福建卷）已知数列满足，求数列的通项公式。解：设则

与已知等式比较，得解得，s=1,t=2或s=2,t=1考题剖析方法一

取s=1,t=2,得即是以为首项，2为公比的等比数列，∴（类型1的形式）①根据累加法，可得（经验证，n=1也满足）方法二取s=2,t=1,得（类型3的形式）②根据待定系数法构造等比数列，得方法三综合联立方法一、二的①②，可得方法四（特征根法）①特征方程为解出特征根②得到通解为（，为待定数）。③根据初始条件，得④解方程组，得=-1，=1.⑤代入②，得类型5这种类型一般利用与

消去或与

（2006，陕西,理,20本小题满分12分)已知正项数列，其前n项和满足且成等比数列，求数列的通项。解：由①，可知解之得又②由①-②得当不成等比数列，∴当满足，∴则类型6这种类型的一般是等式两边取倒数后换元转化为类型3步骤：1）将原递推式取倒数，得2）令,得例（2006年高考江西卷）已知数列满足，且求数列的通项公式。考题剖析解：①原递推式取倒数，得②用待定系数法构造等比数列（类型3的步骤），设③去括号，化简，与所求递推式比较，得则是以公比为的等比数列。④由③，得类型7

这种类型的一般有下面两种方法①两边同除以，转化成类型3，进行求解。②两边同除以时，就化成类型1，运用累加法或逐差法解决。考题剖析例.已知数列中，求数列的通项公式。解法一：对已知式两边同除以，得令，则用类型3的待定系数法求解，得∴解法二：对已知式两边同除以，得

用类型1的累加法可得，方法1周期性例题剖析解析：这种题一般都是通过求出前几项，验证找出其周期性。解：故是周期为3的周期数列，故类型8步骤：1）构造辅助数列使方法2数学归纳法由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法。推理：证明当n=k+1时命题也成立。例（2002年北京春季高考）已知点的序列是线段的中点，是线段的中点，…，是线段的中点，…(1)写出之间的关系式(2)设，计算，又此推测的通项公式，并加以证明考题剖析解析：（1）∵是线段的中点∴（2）猜想下面用数学归纳法证明。(i)n=1时已知结论成立。(ii)假设n=