第15章结构的动力计算

结构力学

第15章结构的动力计算主要内容1基本概念2无阻尼单自由度体系的自由振动3无阻尼单自由度体系的受迫振动4阻尼对振动的影响5两自由度体系的自由振动6多自由度体系的自由振动7多自由度体系在简谐荷载作用下的受迫振动8振型分解法§15.1引言1.1动力计算的特点和内容

在以前各章中，讨论了结构在静力荷载作用下的计算，它只研究结构处于静力平衡位置时，外荷载对结构的影响。此时荷载的大小、方向和作用点以及所产生的内力、位移等均认为是不随时间t变化。但在实际工程中，绝大多数荷载都是随时间而变化的。如：具有偏心质量的回旋机器它所传递给结构上的横向力就是时间t的函数。Fpt图(a)图(b)Fpsint这类荷载称为动力荷载

显然，结构在动力荷载作用下的计算与静力荷载作用下的计算将有很大的的区别，而且要复杂的多。这是因为，在进行动力计算时，除了需要考虑惯性力外，还需取时间作为自变量。在动力问题中，内力与荷载不能构成静力平衡，但根据达朗伯尔原理，可以将动力问题转化为静力问题，方法是任一时刻在结构上加入假想的惯性力作为外力。即结构在形式上处于“平衡状态”，这样，就可以应用静力学的有关原理和方法计算在给定时刻的内力和位移等。在实际工程中，大多数荷载都是随时间的改变而变化的，但有一些荷载使结构产生很小的震动，以至于其上的惯性力可以忽略不计，此时为了简化计算，将其视为静力荷载。仅将那些随时间变化，且使结构产生较大正的振动影响的荷载作为动力荷载来考虑。结构动力学研究的内容：结构动力学研究的内容是研究结构的动力反应的计算原理和方法。而“动力反应”是指在动力荷载作用下，结构的动应力、动位移、速度、加速度等。动力反应的大小主要取决于自振频率（结构自由振动时的频率）和阻尼（结构振动时引起的能量耗损）。一般而言，结构的自振频率往往有很多个甚至无穷多个，对于每一个自振频率，结构均有一种相应的振动形式与之对应，这种与自振频率相对应的振动形式，简称振型。结构在动力荷载作用下的动力反应与结构的动力特征有密切的关系。因此，研究结构的自由振动就成为动力计算中重要的组成部分。结构的动力计算可分为自由振动和受迫振动两类。前者研究结构的自振频率和振型，后者研究在动力荷载的作用下的结构动力反应。1.2动力荷载的分类

根据动力荷载的变化规律及对结构的作用特点，可将动力荷载分为如下几类：简谐荷载：按正弦或余弦函数变化的周期荷载，如图(a)中的匀速回转机械。一般周期荷载：它是指除了简谐荷载以外的其他形式的周期荷载，如各种机械中的曲柄连杆滑块机构中的连杆受力。冲击荷载：这类荷载的特点为在很短的时间内荷载值急剧增大或减小。如锻压机械中的锻锤对基础的冲击、炸药爆炸等。随机荷载：这类荷载特点是它们不仅随时间作复杂的变化，而且荷载在基本条件不变的情况下，由于偶然因素的影响，两次荷载不会重复同一波形。如风荷载、海洋中的波浪荷载、地震荷载等1.3体系振动的自由度

象静力计算一样，在动力计算时，首先需要选取一个合理的计算简图。但由于需要考虑惯性力，因此在动力计算的简图中，多了一项关于质量分布的处理问题。当体系振动时，它的惯性力与质量的运动情况有关，所以确定质量在运动中的位置具有重要的意义，质量的位置可以用某些独立的参变数表示。

振动的自由度：我们把确定体系上全部质量位置所需的独立参变数的数目，称为该体系的振动自由度。例1如图(a)所示跨中置一质量为m电动机的简支梁，当梁自身的质量远小于电动机的质量时，梁的质量可忽略不计。其计算简图如图(b)所示。

图(a)图(b)y(t)m故该体系的振动自由度为1。例2如图所示三层平面刚架(b)例2图

当仅考虑在水平动力荷载作用下刚架的横向振动时，其各层面的竖向振动较小，可略去不计，再假定将各立柱的质量分别集中于柱的两端，并不考虑各杆的轴向变形，其计算简图如图(b)所示。其振动自由度为3

象这样，具有两个或两个以上，且为有限数目自由度的体系称为多自由度体系。例3如图所示具有连续分布质量的体系，设单位长度上的质量集度为m，可将其视为无穷多质点的情况，故其自由度是无穷多个，这种体系称为无限自由度体系。

凡属于需考虑杆件自身质量的结构都是无限自由度体系，严格地讲，一切弹性体系都属于无限自由度体系，只是为了便于分析有时才简化为多自由度体系。

应该指出，把一个无限自由度体系简化为有限自由度体系时，除了集中质量的方法之外，还可以通过近似地假设振动曲线来实现。例3图dxmdx例4如图示具有分布质量的烟囱，假定它的振动曲线为上式中ai(i=1,2……n)为待定系数，称为广义坐标；i(x)(i=1,2……n)为形状函数，是满足位移边界条件的已知函数。例4图xy(x)1.4体系振动的衰减现象和阻尼力

与静力问题相比，在分析某些动力问题时，除了必须考虑质点的惯性力外，还需考虑体系中的另一个重要的特性力——阻尼力。如图下图所示为一钢结构模型在自由振动的实验中，位移与时间的关系曲线的大致形状。ty

实验表明，自由振动时的振幅随时间增加逐步减小，直至最后振幅衰减为零振动停止。这种现象称为自由振动的衰减。

因为在振幅的位置（位移最大值的位置）结构的变形速度为零，故此时的变形能即代表体系的全部机械能，振幅随时间减小这一现象说明，在振动过程中，要产生能量耗损，当初始的能量完全耗尽时，振动即停止。引起能量耗损的因素有：结构材料的内摩擦阻力；周围介质对震动的阻力；支座、结点等结构联结处的摩擦力；地基的内摩擦阻力等。这些引起能量耗散的因素称为阻尼。阻尼是结构的一个重要的动力特征，对于阻尼因素的本质的认识，到目前为止研究的还很不够。对一个结构来说，往往同时存在几种不同性质的阻尼因素，这就使得数学表达更加困难，因而不得不采用简化的阻尼模型，以便进行振动分析。

关于阻尼力问题，有几种不同的阻尼理论，在这里介绍一种应用最广泛的所谓粘滞阻尼理论（也称伊伏特理论），这种理论假设：

阻尼力与体系振动时的变形速度成正比，但方向与运动方向相反。即上式中，R为阻尼力，c为阻尼系数。(15-1)§15.2无阻尼单自由度体系的自由振动

2.1运动方程的建立如图(a)所示无质量悬臂梁，在自由端有一质量为m的物体。当未受到外界干扰时，梁将在重力的作用下处于虚线所示的静平衡位置。质量m处的静力位移为ys。m

现假设由于外界干扰使质量m离开静平衡位置，当外部干扰突然消失后，由于梁的弹性影响，质量m将在静平衡位置附近作往复运动。这种在振动过程中，不受干扰力作用，而由初始位移或初始速度或两者共同影响下所引起的振动，称为自由振动或称固有振动。

此悬臂梁振动的理想模型如图(b)所示的弹簧质量体系，梁对质量m所提供的弹性恢复力改用刚度系数为k11的弹簧表示。m图(a)k11m图(b)静平衡位置ysydmgS(t)I(t)图(c)

其运动微分方程可根据达朗伯尔原理求出。取质量m为隔离体如图(c)所示。设在t时刻向下运动。则质量m的受力有重力：mg

弹性恢复力S(t)，它的方向与位移的方向相反惯性力I(t)，它的方向与加速度的方向相反mgS(t)I(t)图(c)其中列动平衡方程为因为，代入上式整理得

上述确定体系运动方程的方法称为列动力平衡方程法（也称刚度法），也可采用列位移方程的方法（也称柔度法）建立运动方程。

质点在任意时刻t的位移，为体系受到的作用力有重力mg，惯性力（弹性恢复力是内力）引起的位移之和。即(a)上式整理即得(a)式。这种确定体系运动方程的方法称为列位移方程法（也称柔度法）。

(a)上式表明，若建立体系的运动方程时，以静平衡位置作为位移计算起点，则所得动位移的运动方程与重力无关。在以后的内容学习中，将采用这种方法，且为了书写方便，略去表示动位移的下标d，直接用y(t)表示。这样上式改写为(15-2)这就是无阻尼单自由度体系自由振动的运动方程。2.2自由振动的运动方程的解

为了便于求解，将无阻尼单自由度体系自由振动的运动方程（15-2）式改写成下列标准形式（15-3）上式中（15-3）式是一个标准形式的二阶线性齐次微分方程，其通解为由初始位移条件y(0)=y0得B=y0

，由初始速度条件得，则动位移为（15-4）上式也可改写成另一种形式，令y0=Asin，则（15-5）其中（15-5）式说明，无阻尼单自由度体系自由振动是简谐振动，其振动的幅值（质点m的最大动位移）为A，初相角为。(1)结构的自振周期

2.3结构的自振周期和频率

（15-5）式右边为一个周期函数，其周期为（15-7）（15-5）不难验证，，。这说明，在自振过程中，每经过一段T时间后，质点重复原来的运动情况，因此T被称为自振周期，单位一般用s（秒）。(2)工程频率

自振周期的倒数称为工程频率。用f表示。（15-8）工程频率f表示单位时间(秒)内振动次数。单位是1/s，或称为赫兹(Hz)。由（15-8）式可得（15-8）（15-9）上式表示2秒内振动次数，称为园频率，简称频率，自由振动时常称其为自振频率。

结构的自振周期和频率是一个重要的结构动力特征量。其定义不难看出，它是由结构固有属性确定的，与外界的干扰因素无关，因此常常百自振周期称为固有周期。例1如图示体系，求其运动方程。ymEIl例1图Msin

t解：取静平衡位置为位移计算起点，采用列位移方程法建立运动方程。∵∴这就是所要求的运动方程。例2

如图示三种不同支承情况的单跨梁，不计梁的自重，EI=常数，比较三者的自振频率。例2图ml/2l/2(a)(b)(c)解：

∵3mgl/16mgl/8mgl/8∴振动加快！例3

如图示刚架的自振频率，不计立柱的质量。EIEIEI1=∞m例3图解：

在不考虑轴向变形的情况下，横梁的各质点水平位移相同。故为单自由度体系。由知，应先求k11

1k11k1112EI/h312EI/h3使横梁单位位移后，由平衡条件得则2.4简谐自由振动的特性

∵∴则惯性力为上式说明，在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都是初相角相同的正弦规律变化的同步运动，因此，这三者将同时达到各自的最大值（幅值）。即

受迫振动是指体系在干扰力Fp(t)作用下所产生的振动。如图(a)所示为单自由度体系的受迫振动模型。§15.3无阻尼单自由度体系的受迫振动k11m图(a)Fp(t)

取静平衡位置作为位移计算起点，质量m为隔离体，由动力平衡方程得Fp(t)mI(t)S(t)或（15-12）这就是无阻尼单自由度体系受迫振动运动方程。下面讨论在几种常见动力荷载Fp(t)作用下结构的振动情况和动力特性。设简谐荷载的表达式为3.1简谐荷载

（15-13）上式中为简谐荷载的圆频率，Fp为干扰力的幅值。把简谐荷载代入受迫振动运动方程得上式的解(齐次方程的通解加特解)为积分常数由初始条件确定。设：y(0)=0，，可得代回得上式由两部分组成：第一部分sint项按自振频率振动，它是伴随干扰力的作用而产生的，称为伴生自由振动。在实际的振动过程中，由于存在阻尼的作用（下一节讲），将很快衰减至零；第二部分sint项是按干扰力的频率进行的振动。开始时，两种振动同时存在的阶段通常称为过渡阶段。将伴生自由振动衰减后只按干扰力频率振动的阶段称为平稳阶段。此阶段的振动一般称为稳态受迫振动，或称受迫振动的稳态响应。下面讨论稳态受迫振动。此时有∵∴（15-14）式中称为放大系数，或称位移动力系数

称为频比

讨论：(1)当<1，即<时，则>1

表明动力位移的方向与干扰力Fp(t)的方向相同，且动力位移的幅值(.ys)恒大于干扰力幅值所产生的静力位移ys。当<<时（很小，干扰力的周期将很大），.≈1。此时结构的动力反应与干扰力幅值所产生的静力反应趋于一致（不振动）。如：时(2)当>1，即>时，则<0

此时说明，动力位移的方向与干扰力Fp(t)的方向相反。若>>(干扰力的频率很高)，将有.→0，这说明，质量m只在静平衡位置附近做幅度极小的高频振动。(3)当≈时，则→∞这说明当干扰力的频率与自振频率重合时，动力位移将无限增大，这种现象称为“共振”。下一节将讨论，由于阻尼的存在，不可能无限增大，但仍将很大，容易造成结构破坏。因此，在工程设计时，应尽量避免。一般规定与的值至少相差25%。3.2一般动力荷载

在一般动力荷载如图(b)所示tFp(t)t图(b)其特解可利用瞬时冲量作用下的振动导出。dS=Fp()dd瞬时冲量tFp(t)t图(b)dS=Fp()dd一个静止的体系，在瞬时冲量作用下的振动，可视为一个由初始条件引起的自由振动。为此，先确定由瞬时冲量引起的初位移和初速度。如图(c)所示为一瞬时冲量（一个脉冲），根据牛顿第二定律tFp(t)图(c)dtFp(t)则上式中dv为速度增量。如果质量在瞬时冲量dS的作用之前处于静止，则dv即为dS作用后质量m在t=dt时的速度。在dt时间内的平均速度为于是质量m在t=dt时的位移为当t>dt时，因荷载Fp(t)已不作用于结构上，故结构的振动为以dy、dv为初始条件的自由振动。考虑到dy为高阶微量。则当t>dt时的初始条件可简化为y0=0，。代入（15-4）式自由振动响应的表达式得瞬时冲量dS引起的动力反应为（15-15）利用上式，即可求出任意干扰力作用下的振动方程。如图(c)所示任意干扰力，将其时间划分为无穷多个微段dt，则Fp(t).dt可视为瞬时冲量dS，利用（15-15）式可得任意干扰力引起的动力反应为（15-16）上式称为杜哈梅(Duhamel)积分。它就是在初始处于静止状态的单自由度体系在任意干扰力Fp(t)作用下的动力位移计算公式。如果初始条件不为零，则由叠加原理得总响应为（15-17）将上式代入杜哈梅积分，得动力响应为积分整理可得例4当初始条件为零时，求干扰力为突加长期荷载时的动力反应。解：突加长期荷载的数学表达式为tFp(t)例5当初始条件为零时，求干扰力为短时荷载时的动力反应。tFp(t)t0解：所谓短时荷载是指只是在很短的时间内停留在结构上的荷载。其数学表达式为对于这种情况，可做如下处理：在t=0时突然加入荷载Fp，并一直作用于结构上，到t=t0时，又突然加入一个大小相等，方向相反的荷载。则这两种突加荷载引起的动力反应叠加的结果即为短时突加荷载的动力反应。(1)当0<t<t0时(2)当t>t0时利用三角函数关系：上式整理可得可以看出，短时荷载的动力反应与短时荷载在结构上的停留时间有关。(a)当时t0≥T/2，最大动力位移出现在0<t<t0阶段。此时=2

(b)当时t0<T/2，最大动力位移出现在t>t0阶段。此时最大位移（振幅）为动力系数为例6当初始条件为零时，求干扰力为三角形冲击荷载时的动力反应。解：

三角形冲击荷载的数学表达式为tFp(t)t0爆炸荷载有时可简化为三角形冲击荷载。由杜哈梅积分得(1)当0<t≤t0时积分可得(2)当t>t0时积分可得§15.4阻尼对振动的影响

具有阻尼的单自由度体系的振动模型如图(a)所示。体系的阻尼特性用阻尼减振器表示。阻尼系数为c，取质量m为隔离体，静平衡位置为位移计算起点，任意时刻向下运动。作用质量m上的力有k11m图(a)Fp(t)cI(t)Fp(t)mS(t)R(t)惯性力弹性恢复力阻尼力干扰力对隔离体列动力平衡方程得（15-18）这就是单自由度体系有阻尼运动（微分）方程。4.1有阻尼的自由振动

在（15-18）式中令干扰力Fp(t)=0，即得考虑粘滞阻尼作用时单自由度体系的运动方程为（15-18）（15-19）令：则上式可改写为这是一个常系数的齐次线性微分方程，其解的形式为y=ert，代入上式得特征方程为解之得于是（15-20）式的通解为（15-20）其具体的表达形式取决于特征值的根式内的具体结果。讨论如下(a)当<1(即弱阻尼情况)

此时r1和r2为两个共轭的复根，令利用殴拉公式：解可以写成设初始条件为y(0)=y0，，可得则（15-21）改写成单项的形式为（15-22）由（15-22）式可以看出，弱阻尼的自由振动是一种衰减振动，虽然它不是严格意义的周期运动，但质点在两次通过静平衡位置时的时间间隔是相等的习惯上仍称此时间间隔为周期。并把这种振动称为衰减性周期振动，称为衰减振动的圆频率。称为衰减振动振幅，有阻尼的自由振动的yt曲线如图(b)所示。tyy0v0图(b)若用An表示时刻tn的振幅，An+1表示经过了一个周期T’后的振幅，则上式说明，相隔一个周期后的两个振幅之比为常数，即振幅是按等比级数衰减的。在有阻尼的振动问题中，是一个非常重要的参数，称为阻尼比，工程中常根据上式来确定阻尼比。对上式两边取对数得(b)=1则（15-23）此时r1和r2为两个相等的实根，（15-20）式的解为（15-20）（15-24）其yt曲线如图(c)所示。ty0v0y图(c)（15-24）式表明，体系从初始位置出发，逐步返回到静平衡位置无振动发生。这是因为阻尼作用较大，体系受干扰偏离平衡位置所积蓄的初始能量，在恢复到平衡位置的过程中全部消耗于克服阻尼的影响，没有多于的能量来引起振动。这种情况称为临界阻尼。此时的阻尼系数称为临界阻尼系数，用ccr表示。由得(c)﹥1此时r1和r2为两个不等的负根，利用殴拉公式：（15-20）式的解可以写成为（15-25）其yt曲线如图(c)类似。它也无振动发生。这种情况称为强阻尼或过度阻尼。在实际工程中很小遇到这种情况，故不再进一步讨论。例7图示门架为一单层建筑的计算简图。设横梁的EI=，EA=，房盖系统和横梁的重量及立柱部分质量可以认为集中于横梁上。设总重量为W，为了确定水平振动时门架的动力特征，进行以下振动实验：EI=∞EA=∞m例7图在横梁加一水平力Fp=98kN，门架的侧移y0=0.5cm，然后突然释放，使结构作自由振动，并测得一个周期后横梁摆回侧移为y1=0.4cm，周期为T’=1.5s。求门架水平振动的阻尼系数c及5周后的振幅。解：

分析：求阻尼系数c

∵∴属于弱阻尼情况，故可取则阻尼系数为∵∴4.2有阻尼的受迫振动

有阻尼体系（设<1）在一般动力荷载Fp(t)作用下，其动力位移也可表示为杜哈梅积分。由（15-21）式知，单独由初始速度v0(y0=0)引起的振动为利用上式，象无阻尼情况一样，可以导出瞬时冲量dS=Fp(t)dt引起的动力响应为把一般动力荷载的加载过程看成为无穷多个瞬时冲量组成的，则对于t=

到t=+d的时间上冲量dS=Fp()d来说，它所引起的动力响应为则当初始条件全为零时，一般动力荷载Fp(t)所引起的动力响应为（15-26）下面讨论当初始条件全为零时，简谐荷载Fp(t)所引起的动力响应。设：将上式代入（15-26）式得积分可得(15-27)式中(15-27)上式说明，振动由两部分组成，一部分振动的频率与干扰力的频率一致，而另一部分的频率则与体系的衰减振动圆频率’一致。由于阻尼的作用，频率为’的那一部分振动（称为伴生自由振动）因含有衰减因子e-t，将因衰减而很快消失。最后只剩下频率为的那一部分振动（称为稳态受迫振动）。下面讨论稳态受迫振动的一些性质。由(15-27)式知，稳态受迫振动的方程为将其表示为单项的形式为(15-28)式中(15-29)因为则振幅A又可改写为(15-30)(15-30)由上式可知，动力系数不仅与频比有关，而且与阻尼比有关。下图给出了不同的值时曲线。4.03.02.01.00.51.01.52.0=1=0.5=0.2=0由图可以看出(1)当<<1(<<)时，1。这表明体系的振动的很慢，可近似地将Fpsint作为静力荷载来计算。4.03.02.01.00.51.01.52.0=1=0.5=0.2=0(2)当>>1(>>)时，0。这表明当体系的干扰力频率远大于体系的自振频率时，体系振动的很快，且质量m接近于不动或在静平衡位置附近做幅度微小的高频振动。(3)当1()时，则很大。这时阻尼比

对的影响很大。在0.75<<1.25（习惯上称为共振区）的范围内，阻尼力显著地减小了受迫振动的位移，但在此范围以外的区域，阻尼力的影响较小，可近似地按无阻尼计算。4.03.02.01.00.51.01.52.0=1=0.5=0.2=0(4)的最大值并不发生在=1处。利用求极值的方法，不难求得，当时的取得最大值。但因阻尼比很小，在工程计算时，仍近似地将=1时的值作为最大值，并称此时的振动为共振。此时的动力系数为(15-31)(5)

此外，由(15-28)式知，动力响应为干扰力Fp(t)不同步。其相位差为当<1时，0<</2

当>1时，/2<<

当=1时，

=/2

也就是说，只要有阻尼的存在，位移总是滞后于振动荷载。共振时，将=/2代入动力响应方程可得相应的惯性力为弹性恢复力为注意共振时有可知共振时惯性力与弹性恢复力相互平衡。又因为注意到共振(=1)时，。则阻尼力为这说明，共振时干扰力与阻尼力相互平衡，故运动呈稳态，而在无阻尼受迫振动时，因无此阻尼项与干扰力相平衡，故出现位移与内力无限增大现象。例8如图示结构当初始条件为零时，求地面水平运动引起的动力反应。解：

地面在水平方向若发生运动体系将产生受迫振动。如地震或临近的动力设备对结构的影响都属于该类问题。如题8图所示单自由度体系，在质量m上并没有直接作用动力荷载。设地面的水平运动为yg(t)，于是质量m发生了相对地面的位移y(t)，在任一时刻t，质量m的绝对位移为yg(t)m题8图y(t)[yg(t)+y(t)]、绝对加速度为，则作用于质量m上惯性力为在振动的过程中，结构的弹性恢复力和阻尼力分别只与质量m的相对运动有关，即yg(t)m题8图y(t)S(t)I(t)R(t)列动平衡方程得或其中称为等效动力荷载。根据杜哈梅积分得动力响应为§15.5两自由度体系的自由振动

以上各节讨论了单自由度体系的振动问题，在本节中将讨论两个自由度体系的自由振动问题。主要是确定体系的频率和振型及振型特性。5.1运动方程的建立

如图(a)所示简支梁，当梁的质量忽略不计时，体系为两自由度体系。m1m2图(a)y1(t)y2(t)质量m1和质量m2的位移分别为y1(t)和y2(t)。位移的计算起点均为静平衡位置，并取向下为正。在建立运动方程时，有两种方法可供选择。(a)列位移方程（也称柔度法）

与单自由度体系的做法相同，应用达朗伯尔原理，认为自由振动过程中，质量m1和质量m2的位移是由惯性力和共同作用所产生的。图(b)由叠加原理可列运动方程如下式中ij(i,j=1,2)为结构的柔度系数。1121111222上式整理得（15-32）这就是两自由度体系借助于柔度系数建立的自由振动运动方程。写成矩阵的形式为其中[]称为柔度系数矩阵，[]对称矩阵；[M]称为质量矩阵，[M]均为对角矩阵。为位移列向量为加速度列向量。(b)列动力平衡方程（也称刚度法）

可取质量为隔离体，列动力平衡方程求出运动方程。也可不将质点分离，按位移法来处理。在任意时刻t质量m1和质量m2的位移方向上附加连杆，建立位移法基本结构。如图(c)所示。由位移法典型方程得y2图(c)y1因为将其代入上式整理可得（15-33）1k11k211k12k22式中kij(i,j=1,2)为结构的刚度系数。这就是两自由度体系借助于刚度系数建立的自由振动的运动方程。写成矩阵的形式为

其中[k]称为刚度系数矩阵，[k]为对称矩阵。因为[k]-1=[]，因此（15-33）式与（15-32）式实质是相同的。5.2频率方程和频率

虽然运动方程有两种不同的表示形式，但其求解过程是完全类似的。下面以柔度法为例，讨论运动方程的求解方法。

设：体系的运动为简谐振动，则质量m1和质量m2的位移可表示为(a)上式中A1和A2分别为质量m1和质量m2的振幅，为体系的自振频率，为初相角。A1、A2、和均为待定量。将(a)式代入（15-32）式可得（15-32）(b)上式中(b)式是关于A1和A2的齐次线性方程组，因为已假定A1和A2不能全为零，则要求(b)式中的系数行列式为零。即（15-34）上式可用于确定频率，称之为频率方程。将其展开可得解之得于是可以求得两个频率值其中最小的频率1称为第一频率，或称基本频率；而2称为第二频率。频率的数目与体系振动的自由度数相同。5.3主振型(简称振型)

求出频率1和2后，代回(b)式，即可确定A1和A2的比值，这是因为频率1和2均满足（15-34）式，说明(b)式的两方程彼此不独立（线性相关）。(b)(a)当=1时

相应的质量m1和质量m2振动方程为则说明在振动时，两质量的位移比值恒为常数1，也就是说，体系的变形形式不变。此种情况下的振动形式称为主振型，简称振型。

因为并注意到：对于单跨梁有12>0，则必有1>0它表明，对于单跨梁而言，当体系按频率1作简谐振动时，两质量总是同相位的，如图(d)所示。它称为第一振型，或称基本振型。第一振型：A1(1)图(d)1A1(1)取A1(1)=1，得规准化后得第一振型的振型向量为（15-35）(b)当=2时

(b)（常数）相应的质量m1和质量m2振动方程为则,(在单跨梁的情况下，同理可得2<0)说明，当体系按频率2作简谐振动时，两质量总是反相位的，如图(e)所示。它称为第二振型。A1(2)图(e)第二振型：2A1(2)同样取A1(2)=1，得规准化后得第二振型的振型向量为（15-36）5.4运动方程的一般解

上面讨论了体系按主振型所作的简谐振动。这种振动是在特定的初始条件下，才能实现的一种运动形式。例如对于第一振型，由可知这表明，只有当质量m2的初位移和初速度分别为质量m1的初位移和初速度的1倍时，上述振动才会出现。这种在特定的初始条件下出现的运动形式，在数学上称为微分方程的特解。由上可知，（15-32）式共有两个特解，分别对应1和2。它们的线性组合就是其一般解。一般解为（15-32）（15-37）上式中待定系数A1(1)

、A1(2)

、1和2由初始条件y1(0)、y2(0)、v1(0)和v2(0)确定。在一般情况下，体系的自由振动由不同频率的简谐振动叠加而成，其结果是振动将不在是简谐振动。§15.6多自由度体系的自由振动

在本节中讨论多自由度体系的自由振动问题，为了书写方便，将采用矩阵形式表示。6.1柔度法

如图(a)所示，具有n个质量的无质量的简支梁，取静平衡位置为位移计算起点，设振动时任一质量mi(i=1,2,……n)的位移为yi(i=1,2,……n)。m1图(a)m2mimn由惯性力所产生的位移，利用叠加原理可得作用于该质量上的惯性力为Ii(i=1,2,……n)，(a)将上式整理，并用矩阵形式表示，则有（15-38）这就是用柔度系数矩阵表示的多自由度体系的运动方程

.上式中[]称为柔度系数矩阵，[]为对称矩阵；[M]称为质量矩阵，[M]为对角矩阵；为位移列向量；为加速度列向量。从数学的角度看，（15-38）时是一个齐次线性微分方程组，其一般解可由n个线性无关的特解，线性组合得到。令：其特解为(b)上式中{A}={A1

A2…An}T为振幅列向量。把(b)式代入（15-38）式得（15-39）其中,[E]为单位矩阵。（15-39）式是一个关于A1、A2、…An的齐次线性方程组，欲使其具有非零解，则要求起系数行列式为零。即（15-40）上式就是n个自由度体系的频率方程。其具体形式为(c)将上式展开，得到一个关于的n阶代数方程，解此方程，可得n个实根1、2、…n，利用，可进一步求得n个频率

1、2、…n。其中最小的一个称为第一频率，其后，按数值由小到大排列，并依次顺次称为第二频率、…第n频率等。对于每一个频率k都有一组特解上式中，{Y(k)}为与频率k相对应的位移列向量，{A(k)}为与频率k相对应的振幅列向量。根据线性微分方程组的理论知，微分方程组（15-38）的通解为（15-41）为了考察特解的性质，对于任一特解{Y(k)}展开有(d)由上式可知(a)

各质量均按同一频率k作同步简谐振动；(b)

振动时各质量的位移比值为y1(k)：y2(k)：…：yn(k)=A1(k)：A2(k)：…：An(k)与时间无关。它表明，在振动过程中，各质量位移的比值保持不变，且有一种固定的形式，此种振动形式即为振型。为了确定振型，令代入（15-39）式得(e)由于上式的系数行列式为零，因此上式只有n-1个独立方程，从而只能求出{A(k)}中各分量的相对值。以第一个质量的振幅为基准，则振幅向量为上式中称为规准化振型向量。将代入(e)式得（15-42）即：(f)记：(g)其中由(g)式可得（15-43）于是对于与第k个频率k相对应的规准化振型向量为（15-44）与n个频率相对应共有n个规准化振型向量，这n个规准化振型向量组成一个方阵这个方阵称为振型矩阵。6.2刚度法

除了柔度法外，还可以采用刚度系数矩阵建立运动方程求解。对于具有n个自由度体系，参照二自由度体系的作法，取静平衡位置为位移计算起点，按位移法来处理，可得动力平衡方程为(h)写成矩阵的形式为（15-45）这就是用刚度系数矩阵表示的多自由度体系的运动方程。(15-45)式中，[k]称为刚度系数矩阵，[k]为对称矩阵。因为[k]-1=[]，因此(15-45)式与(15-38)式实质是相同的.下面讨论方程的解。象柔度法一样，设其特解为，将其代入（15-45）式得（15-46）欲使振幅向量有非零解，则要求其系数行列式为零，即（15-47）这就是由刚度系数矩阵表示的频率方程。解此方程可得n个频率k(k=1,2…n)。将k代回（15-46）式，即可确定体系的振型。令：，得(i)象柔度法一样，振型规准化后，把代入(i)式得（15-48）即：(j)记：(k)其中由(k)式可得（15-49）于是对于与第k个频率k相对应的规准化振型向量为例9某等截面悬臂梁，设单位长度上质量为。简化为两自由度体系模型如图所示。求结构的自振频率和振型(EI=常数)。2l/52l/5l/5m1m2题9图其中解：

取静平衡位置为位移计算起点，体系振动自由度如图所示。本题采用柔度法较方便，因为柔度系数相对易求出。y1y22l/51图4l/51图2l/51图4l/51图则柔度系数矩阵为质量矩阵为(1)先求频率

由频率方程得上式中解之得即(2)再求振型

因为第一振型：∵∴第二振型：∵∴第一振型：13.121第二振型：10.3205例10如图示刚架，求其自振频率和振型。EI=∞EI=∞m1m2m3EI=∞图中m1=180×103kg，m2=270×103kg，m2=270×103kg，各立柱的质量忽略不计，各层的抗剪刚度(即各层发生相对单位水平位移时，各层立柱的剪力之和)分别为k1=98MN/m，k2=196MN/m，k3=245MN/m。解：

取静平衡位置为位移计算起点，体系振动自由度如示。y1y2y3本题采用刚度法较方便，因为刚度系数相对易求出。质量矩阵为111k11=98k21=-98k31=0k12=-98k22=98+196k32=-196k13=0k23=-196k33=196+245刚度系数矩阵为代入频率方程整理得式中展开频率方程得解之得相应的频率分别为再求振型

因为则第一振型

则第二振型

则第三振型则第一振型:12/31/3第一振型第二振型:2/32/31第二振型第三振型:

134第三振型6.3振型的正交性

所谓振型正交性是指多自由度体系中任意两个不同的振型之间都存在下述条件正交的性质。设第i个频率i的相应振型向量为{Φ(i)}，第j（j≠i）个频率j(j≠i)的相应振型向量为{Φ(j)}。由（15-48）式知(a)则(b)将(b)中第一式两边转置，其值不变，并注意，得由上式可得(15-50)上式说明，振型向量对质量矩阵带权正交，对刚度系数矩阵带权正交。分别称为第一正交条件（关于质量矩阵正交条件）和第二正交条件（关于刚度系数矩阵正交条件）。

上述的振型的正交性是结构动力学中一个重要概念，在按振型分解法分析受迫振动时，将用到该性质。§15.7多自由度体系在简谐荷载作用下的受迫振动

为了便于讨论问题，先不考虑阻尼的影响，如图(a)所示具有n个自由度体系，其上作用有k个简谐荷载Fpisint(i=1,2…k)。m1mimnmkFpksintFpisint图(a)

采用柔度法，任一质量mi的位移可表示为(a)上式中ij为柔度系数，yip为各动力荷载在质量mi处引起静力位移的代数和。即(b)其中为各动力荷载幅值在质量mi处引起静力位移的代数和。将(a)式整理并改写成矩阵形式得（15-51）式中（15-51）式为非齐次的线性微分方程组，它的解由两部分组成，一部分为与自由振动相对应的齐次的线性微分方程组的通解，另一部分为方程的特解。

自由振动部分，在实际工程中，由于存在阻尼力，将很快衰减掉。因此，在研究多自由度体系的受迫振动时，可以重点讨论（15-51）式的特解——稳态解。设方程（15-51）式的特解为（15-52）式中为受迫振动位移幅值列向量。把(d)式代回（15-52）式即得多自由度体系受迫振动的稳态响应。将（15-52）式代入（15-51）式整理可得(c)上式中[E]为单位矩阵，解之得(d)在稳态的受迫振动中，任一质量mi的惯性力为则质量的惯性力列向量为(e)其中{I}*为惯性力幅值列向量

因此，在计算最大位移和最大动内力时，可先求出惯性力幅值列向量{I}*

，然后把惯性力幅值列向量{I}*和干扰力幅值列向量（{Fp}={Fp1

Fp2…Fpk}T），同时作用于结构上，按静力分析方法计算最大位移和最大动内力。由(e)式可以看出，惯性力列向量、位移列向量和干扰力列向量按统一频率作同步简谐振动。(e)Fpisint

另外，因为，所以受迫振动位移幅值列向量也可表示为将上式代入(c)式得(c)（15-53）（15-53）上式就是求解惯性力幅值列向量的线性方程组。注意到（15-53）式的系数行列式D为每一列都提出mi(i=1,2…n)得上式中，当时=k(k=1,2…n)，则有D=0。即惯性力幅值列向量将趋于∞。

这就是说，干扰力的频率与体系的自振频率相重合时，将发生共振。一般而言，对于n个自由度体系有n个自振频率，所以共有n个共振区。例11求图示体系的最大动位移和动内力。已知EI=常数，m1=m2=m，m1m2Fpsintl/3l/3l/3解：

取静平衡位置为位移计算起点，方向向下为正。采用柔度法，先求柔度系数。利用图乘法可得y1y21l/92l/91l/92l/9则代入惯性力幅值方程（15-53）式得（15-53）代入数据整理得解之得

求出惯性力幅值后，连同干扰力幅值一同作用于结构上，如图所示，按静力分析，易得最大的动弯矩和最大的动剪力。FpI1*I2*FpI1*I2*M图(×Fpl)0.31730.2034FQ图(×Fp)0.95190.34150.6103⊖⊕∵∴在质量m1处动力幅值所产生的静力值为相应的动力系数分别为位移：弯矩：剪力：可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。这与单自由度体系不同。m1m2Fpl/3l/3l/315.8振型分解法

在上节讨论多自由度体系的受迫振动时，采用质点坐标（也称几何坐标），所得到的运动方程彼此不独立，是一组耦联微分方程。对于无阻尼的简谐受迫振动，由于各质点都作同步简谐振动，利用这一特性，可将耦联微分方程组转化为联立代数方程组，求解不会存在多大的困难。然而，当考虑阻尼影响或一般动力荷载作用时，求解耦联微分方程组将存在较大的困难。本节介绍的振型分解法，试图通过坐标变换，把原来耦联微分方程组转化为彼此独立的微分方程，从而达到简化计算的目的。8.1正则（广义）坐标的概念

在讨论振型分解法之前，先介绍有关坐标变换和正则坐标的概念。为了便于叙述，以图(a)所示的两自由度体系为例说明。Fp1(t)Fp2(t)m1m2图(a)

采用几何坐标时，质量位移可表示为任选两个量v1、v2作为新坐标，并使新坐标与旧坐标间存在如下关系(a)式中的系数矩阵行列式不为零。即要求{y1

y2}T与{v1

v2}T之间存在单值关系由系数a、b、c、d组成的系数矩阵称为坐标变换矩阵。下面的工作就是寻求一组坐标变换矩阵，使得在新坐标系下，振动微分方程组成为非耦合的形式。

设已求得体系的两振型，选取第一振型规准化向量的两元素1(1)、2(1)为坐标变换矩阵中的a、c，第二振型规准化向量的两元素1(2)、2(2)为坐标变换矩阵中的b、d，即体系的振型矩阵作为坐标变换矩阵。则1(1)2(1)第一振型1(2)2(2)第二振型(b)由于不同的振型对应于不同的频率，它们是线性无关的，因此必有|[]|≠0，说明采用振型矩阵[]作为坐标变换矩阵，满足线性变换条件。下面讨论作了这样的变换后，在新坐标系下原来的运动方程有何变化。设两