通信原理(陈启兴) 第8章 数字信号的最佳接收v3

1通信原理第8章数字信号的最佳接收2023/2/18.1引言2

最佳接收理论主要研究假设检验和参数估计两方面的问题，假设检验是研究如何从噪声中判决有用信号是否出现，参数估计是研究从噪声中测量有用信号的参数。

在数字通信系统中，发射机的信号到达接收机时会不可避免受到噪声和干扰的影响，接收机内部的噪声又进一步加剧了信号的畸变。因此，接收机必须根据畸变了的信号，用统计的方法判决出接收到的是哪一个波形，尽量减少判决错误。在接收端，根据信号和噪声的统计特性，选择某种判决准则，使接收机获得正确判决的概率最大。2023/2/138.2数字信号的统计特性

假设通信系统中的噪声是均值为0的高斯白噪声，其单边功率谱密度为n0，发送的二进制码元为“0”和“1”，其发送概率分别为P(0)和P(1)，显然，P(0)+P(1)=1。

设在一个码元持续时间Ts内以2fH的速率抽样，共得到k个抽样值，即k＝2fHTs。

由于每个噪声电压n(t)的抽样值ni都是正态分布的随机变量，故其一维概率密度可以写为其中，σn是噪声的标准偏差；i=1,2,3,…,k。2023/2/148.2数字信号的统计特性(续)k维联合概率密度函数可以表示为2023/2/1

当k很大时，在一个码元持续时间Ts内接收的噪声平均功率可以表示为58.2数字信号的统计特性(续)k维联合概率密度函数可以表示又为2023/2/1其中，n

=(n1,n2,…,nk)为k维矢量，表示一个码元内噪声的k个抽样值。

设接收电压r(t)为信号电压s(t)和噪声电压n(t)之和，即r(t)=s(t)+n(t)。在发送码元确定之后，接收电压r(t)的随机性将完全由噪声决定，故它仍服从高斯分布，其方差仍为n2，但是均值变为s(t)。所以，当发送码元“0”的信号波形为s0(t)时，接收电压r(t)的k维联合概率密度函数为68.2数字信号的统计特性(续)2023/2/1其中，r=s+n为k维矢量，表示一个码元内接收电压的k个抽样值；s为k维矢量，表示一个码元内信号电压的k个抽样值。

当发送码元“1”的信号波形为s1(t)时，接收电压r(t)的k维联合概率密度函数为78.3数字信号的最佳接收2023/2/1

设在一个二进制通信系统中发送码元“1”的概率为P(1)，发送码元“0”的概率为P(0)，则总误码率Pe等于其中，P(0|1)和P(1|0)分别是发送符号“1”时错判为“0”、发送符号“0”时错判为“1”的条件概率或转移概率。88.3数字信号的最佳接收(续)2023/2/1

两个错误转移概率分别为总的误码率为

为了求出Pe最小值时的判决分界点r0，将上式对r0求导可得98.3数字信号的最佳接收(续)2023/2/1

令上式等于0，可以求出最佳分界点r0，即

当先验概率相等，即P(1)=P(0)时，f0(r0)=f1(r0)，所以最佳分界点r0位于图8-1中两条曲线交点处对应的r0。

判决准则还可以表示为：若

，则判为“0”；反之，若

，则判为“1”。108.3数字信号的最佳接收(续)2023/2/1

如果发送“0”和发送“1”的先验概率相等时，上述判决准则还可以简化为：若f0(r)>f1(r)，则判为符号“0”；反之，若f0(r)<f1(r)，则判为符号“1”。这个判决准则常称为最大似然准则。

在一个M进制数字通信系统中，可能的发送符号是X1，X2，…，Xi，…，XM之一。当发送符号Xi时，接收电压的k

维联合概率密度函数为

如果符号的先验概率相等，能量相等，则当fi(r)>fj(r)，其中，j=1,2,3,M，且j≠i，则判为符号Xi。118.4确知数字信号的最佳接收机2023/2/1

接收到的两种波形s1(t)和s0(t)是确知的，设它们的持续时间为Ts，且功率相同，高斯白噪声的平均功率和单边功率谱密度分别为σ2和n0。当发送码元为“0”时，波形为s0(t)，接收电压r(t)的k维概率密度为

当发送码元为“1”时，波形为s1(t)，接收电压r(t)的k维概率密度为128.4确知数字信号的最佳接收机(续)2023/2/1

如果则判决接收到的波形为s0(t)，发送符号为“0”；如果则判决接收到的波形为s1(t)，发送符号为“1”。

将上两式的两端分别取对数，判决准则可以表示为：如果则判决接收到的波形为s0(t)，发送符号为“0”；如果138.4确知数字信号的最佳接收机(续)2023/2/1

由于事先假设了两种符号的功率相等，即则判决接收到的波形为s1(t)，发送符号为“1”。判决准则可以进一步简化为：如果则判决接收到的波形为s0(t)，发送符号为“0”；如果则判决接收到的波形为s1(t)，发送符号为“1”。148.4确知数字信号的最佳接收机(续)2023/2/1158.5确知数字信号的最佳接收机的误码率2023/2/1

直接计算它们是非常不易的，现在用间接的方法计算错误转移概率P(0|1)和P(1|0)。

概率P(1|0)就是使不等式(8-14)成立的概率，即

把r(t)=s0(t)+n(t)带入上式，可得168.5确知数字信号的最佳接收机的误码率（续）2023/2/1

如果用一个随机过程ξ代表上不等式的左边，用参数a代表上不等式的右边，则上不等式可以表示为

ξ<a

随机过程ξ的数学期望和方差分别为178.5确知数字信号的最佳接收机的误码率（续）2023/2/1

高斯随机过程ξ在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，其一维概率密度为188.5确知数字信号的最佳接收机的误码率（续）2023/2/1

不等式ξ<a成立的概率为概率P(1|0)可以表示为198.5确知数字信号的最佳接收机的误码率（续）2023/2/1

概率P(0|1)可以表示为总的误码率为208.5确知数字信号的最佳接收机的误码率（续）2023/2/1

当P(0)=0.5，P(1)=0.5时，总误码率为

就先验概率相等的情况，讨论两种接收波形s0(t)和s1(t)对误码率的影响。它们的相关系数可以表示为218.5确知数字信号的最佳接收机的误码率（续）2023/2/1其中，接收信号的码元能量

，

。当s0(t)=s1(t)时，＝1，为最大值；当s0(t)=-s1(t)时，

＝－1，为最小值。所以，

的取值范围在-1

+1。

当接收信号的两码元能量相等时，令E0=E1=Eb，则相关系数可以表示为228.5确知数字信号的最佳接收机的误码率（续）2023/2/1

误码率可以表示为

令

，则

误码率又可以表示为238.5确知数字信号的最佳接收机的误码率（续）2023/2/1

误码率又可以表示为

对于2PSK信号，相关系数

＝-1；对于2FSK信号，等于或近似等于0；对于2ASK信号，s0(t)=0，计算误码率时，需要首先计算参数α248.5确知数字信号的最佳接收机的误码率（续）2023/2/1

再计算误码率:258.6

数字通信系统的匹配滤波接收法2023/2/1

用线性滤波器对接收信号滤波，使抽样时刻上输出信号的信噪比最大，此线性滤波器被称为匹配滤波器。

线性接收滤波器的输出y(t)为

输出噪声no(t)的平均功率No为

在抽样时刻t0，输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比r0为268.6

数字通信系统的匹配滤波接收法（续）2023/2/1

利用施瓦兹不等式，可以求出r0的最大值，即最大输出信噪比为

上式等号成立的条件是

上式表明，最佳接收滤波器传输函数H(f)与接收信号的频谱函数S(f)有关，它正比于S(f)的复共轭乘以一个移相因子，此滤波器被称为匹配滤波器。278.6

数字通信系统的匹配滤波接收法（续）2023/2/1

匹配滤波器的冲激响应函数h(t)为

由上式可见，匹配滤波器的冲激响应h(t)就是信号s(t)的镜像s(-t)在时间轴上向右平移t0，如图8-3所示。288.6

数字通信系统的匹配滤波接收法（续）2023/2/1298.6

数字通信系统的匹配滤波接收法（续）2023/2/1

物理可实现的匹配滤波器的单位冲激响应h(t)必须符合因果关系，在输入冲激脉冲加入前不应该有冲激响应出现，即当t<0时，h(t)=0。因此，滤波器输入信号为s(t)必须满足条件

接收滤波器输入端的信号s(t)在抽样时刻t0之后必须为零。一般不希望在码元结束之后很久才抽样，故通常选择在