量子力学 第一章 绪论12

§1.2光的波粒二象性一、光的波动性典型实验—双狭缝衍射

A是垂直于纸面的屏，屏上有两条相互平行的很窄的狭缝和

，两狭缝间距为d，B是与A平行的另一个屏，B与A的距离为

。同一光源发出的光线穿过双狭缝打在屏B上产生衍射图样。以和分别表示穿过缝和到达P的光波振动，则：其中为衍射角，

为位相差。解释：和的光程差是，因为光程差为一波长时，位相差恰好是

，所以和

的位相差为

。于是P点处的光波振动是：则光在P点的强度为

，其中是穿过一个狭缝到P点的光强。讨论：a.若P点位置满足关系式，n=0,1,2,…时，则，即该点光的强度为最大；

b.若P点的位置满足关系式

,n=0,1,2,…

时，则，即该点的光强为零。所以能够形成衍射图样，光具有波动性得到有力的证实。二、普朗克（Planck）公式（MaxPlanck1858－1947），德国人，1900年以前Planck一直在努力探索黑体辐射的规律，他先找到了一个经验公式，后又从理论上推出，这个公式与实验很符合，长波方向与Rayleigh-Jeans公式一致，短波方向与Wien公式相符合。他的推导于1900年12月17日在柏林德国物理学会会议上公布，其题目为《关于正常光谱的能量分布定理的理论》（在此文中他提出了“能量子”的概念），此文标志着量子理论的诞生，成为经典物理学与现代物理学的分界线。获1918年诺贝尔物理学奖。1.Planck的假设2.Planck公式的推导①空腔壁与辐射的能量交换是不连续的，只能以最小单位一份份地进行；

②辐射的每一振动方式相当于一振子，它只能取能量值（n=0,1,2,…）,且取的几率与成比例。

若间的振子总数为N，则能量取值的振子个数应为：而（可见：)则每个振子的平均能量为计算分母：

，令，即：计算分子：

，令则有每个振子的平均能量为：将这个平均能量乘上空腔单位体积内频率到间的振子数目（振动方式数），得黑体辐射公式：将此式与热力学导出的普遍公式

能量子

—plank常数Planck公式：能量密度黑体辐射能量分布曲线3.讨论：a.当辐射频率高时，即当时，分母中的1可忽略掉得：Wien公式：b.当辐射频率很低时，使得时，分母中的指数可按展开：忽略高次项，只取前两项得：—说明：Planck成功的关键在于提出了能量子的假设，辐射能量是不连续改变的，从而导致了不同于经典的单个振子的能量。这里第一次出现了经典物理中没有的常数，这些都跳出了经典物理的框架，成为量子物理的开端。Planck导出公式后，曾努力把它纳入经典物理范畴，但未成功。4.固体比热的解释（用Planck假设解释）

如果把固体中的原子看作是三维谐振子，则原子平均能量为：

因而有：

可见：a.在高温时(),平均每个原子对热容量的贡献为3k，1mol原子即为3R；

b.在低温时（），

与实验相符合。5.光具有粒子性

Planck理论说明物体以为能量单位发射或吸收能量，能量不是连续进行的，而是以能量为的颗粒形式出现，能量小于的发射或吸收过程是没有的。能量单位称为能量子，它打开了人们对光的微粒性的认识途径。

三、光电效应的解释

爱因斯坦（1879～1955）EinsteinAlbert：德裔美国科学家。爱因斯坦在量子论、分子运动论、相对论等物理学的三个不同领域取得了历史性成就，特别是狭义相对论的建立和光量子论的提出，推动了物理学理论的革命，他对社会进步事业也有重要贡献。为此获得1921年诺贝尔物理学奖。

第一个完全肯定光除了波动性之外还具有微粒性的是爱因斯坦（Einstein）。1905年在法国杂志《物理学观点》上他发表了《关于光的产生和转化的一个启示性的观点》。他认为电磁辐射不仅在被发射和吸收时以能量为的微粒形式出现，而且以这种形式以速度在空间中运动。这种粒子叫做光量子或光子（光子是后来由莱维斯命名）。他用这个观点成功的解释了光电效应。

Dirac评价Einstein时说他有三大革新，即狭义相对论、波与粒子的关系和广义相对论。

1.光电效应的解释当光照射到金属表面时，能量为的光子被电子所吸收。电子把能量的一部分用来克服金属表面对它的束缚，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。能量关系为：

(电子光电子)为电子的脱出功，为电子质量，为电子脱出后的速度。由此可圆满地解释光电效应。(2)光的频率决定了光电子的能量，光的强度只决定光子的数目，光子的数目越多，产生的光电子就越多，与实验相一致；(1)若电子吸收的光子能量小于，则电子不能脱出金属表面，无论光强多大，也不会有光电子产生；由上式明显看出，能打出电子的光子的最小能量是光电子时由该式所决定的能量，即，临界频率为。

(3)根据光子理论，电子的能量是直接由光子供给的，只要光一照到金属表面，电子就吸收光子而立即逸出，所以光电子的发射几乎不需要延迟时间。

这样经典理论不能说明的问题得到了解释。2.光的波粒二象性光子不但具有确定的能量，且具有动量，由相对论知，以速度运动的粒子能量是：

由此式得光子的静止质量。由相对论的能量—动量关系式：。

得到光子能量E和动量p的关系为：。即：其中为波长。所以光子的能量和动量分别为：

(*)

，其中为量子力学常用符号；表示角频率，与频率的关系为；

为光子运动方向的位矢，为波矢。

可见：关系式（*）把光的二重性—波动性和粒子性联系起来。等式左边的动量和能量是描写粒子的，而等式右边的频率和波长则是波的特性。虽然爱因斯坦对光电效应的解释是对Planck量子概念的极大支持，但是Planck不同意爱因斯坦的光子假设，这一点流露在Planck推荐爱因斯坦为普鲁士科学院院士的推荐信中：

“总而言之，我们可以说，在近代物理学结出硕果的那些重大问题中，很难找到一个问题是爱因斯坦没有做过重要贡献的，在他的各种推测中，他有时可能也曾经没有射中标的，例如，他的光量子假设就是如此，但是这确实并不能成为过分责怪他的理由，因为即使在最精密的科学中，也不可能不偶尔冒点风险去引进一个基本上全新的概念”小结：①Planck-Einstein理论揭示了光的微粒性，但这并不否定光的波动性，因为光的波动理论早被光的干涉、衍射等现象所完全证实。这样，光具有微粒和波动的双重性，这种性质称之为光的波粒二象性。②由Planck-Einstein方程可以看出Planck常数在微观现象中占有重要地位。凡是的相对值在其中起重要作用的现象都可以称为量子现象。康普顿(ArthurHollyCompton)美国著名的物理学家、“康普顿效应”的发现者。1892年9月10日出生于俄亥俄州的伍斯特，1962年3月15日于加利福尼亚州的伯克利逝世，终年70岁。康普顿的科学家生涯是从研究X射线开始的。康普顿是世界最伟大的科学家之一。他所发现的“康普顿效应”是发展量子物理学的核心。他的这一发现为自己在伟大科学家的行列中取得了无可争辩的地位。四、康普顿效应

1920年Compton把来自钼靶的X射线投到石墨上，以观测被散射后的X射线，发现散射后的X射线包含两种不同频率的成分，一种是频率（或波长）与原入射的X射线相同；另一成分比原来入射的X射线频率小（波长大），且这种频率与散射角有一定关系。第一种成分的解释可根据通常的波动理论，散射不会改变入射的X射线频率，第二种成分令人费解（用经典理论无法解释）。1923年他提出的解释是：后一种成分是由于光子与电子碰撞引起的，光子把一部分能量给了电子而损失，减小了原来的。

实验证明高频率的X射线被轻元素中的电子散射后，波长随散射角的增大而增大，但是根据经典电动力学，电磁波被散射后波长不应改变。如果把X射线被电子散射的过程看作是光子与电子碰撞的过程，则Compton效应可以得到很好的解释。

而：

(3)而电子在相对论中能—动关系为:

则：

(2)

(1)

由能量守恒和动量守恒得：把上式代入(3)式得：这个公式由Co