第3部分 数据拟合

例1

某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接的关系，表3.1是实际测定的24个纤维样品的

强度与

分析：

3.1问题的提出及最小二乘原理表3.1设纤维的拉伸倍数为自变量，强度为因变量，在坐标平面内画出这24个数据点

（）（每个点用小正方形表示），得到图3.1，

这种图叫散点图.

相应拉伸倍数的纪录.第3部分

数据拟合法

团结勤奋严谨朴实

复习

插值法是求一个简单函数去近似代替函数，并且满足条件

即所求曲线过所有点（）问题如果这些点（）（）是通过试验或观测得到的，如何找一个函数，近

似的反映给定数据点的变化趋势.

第3部分

数据拟合法

团结勤奋严谨朴实

从图3.1看出，纤维的强度随着拉伸倍数的增大

而提高，并且24个点大致分布在一条直线附近，它

们大致呈线性关系.

3.1问题的提出及最小二乘原理图3.1团结勤奋严谨朴实

3.1问题的提出及最小二乘原理设纤维的拉伸倍数和强度之间的关系为其中为待定的参数这时24个数据点（）的坐坐标近似满足方程组团结勤奋严谨朴实

3.1问题的提出及最小二乘原理如何选取一根最好的直线，较好的符合实际情况.什么是“最好”的标准？

如果用某种方法把确定下来，这时有了的值就可以算出的值，记为为误差.称

要确定“最好”的参数，通常使用最小二乘原理，也就是使误差的平方和团结勤奋严谨朴实

3.1问题的提出及最小二乘原理达到最小.用数学分析的知识，令即此方程组成为正规方程组.

团结勤奋严谨朴实

3.1问题的提出及最小二乘原理解上述方程组得的值，要求的直线方程为

例1的求解过程：

根据给定的24个数据点（）的散点，设图3.1并记由数据点（），计算

及（）的值，并求和.见表3.2团结勤奋严谨朴实

3.1问题的提出及最小二乘原理则正规方程组是

解正规方程组，得

因此这种纤维的强度与拉伸倍数之间的近似表达式为

拟合曲线的图形与散点图形的关系见图3.2团结勤奋严谨朴实

3.1问题的提出及最小二乘原理对一组测定的数据,找合适的数学公式的步骤：

（3）通过最小二乘原理，确定函数中的未

（1）

由观测数据，点画出函数粗略的图形—散点图；（2）从散点图的形状，确定近似公式的函数类型（含有参数）；

知参数，即求

的最小值点.这一方法称为数据拟合法.称为拟合的函数或经验公式.团结勤奋严谨朴实

3.1问题的提出及最小二乘原理说明

：拟合的函数类型，可以是线性函数

（单变量、多变量），当然也可以是非线性函数.

问题：

（1）线性函数的正规方程组都是线性的？

非线性函数的正规方程组也是线性的？能否将所拟合

函数的正规方程组都转化成线性的(线

性方程求解简单）？

（2）插值法和数据拟合法的区别是什么？

（3）一般情况下，在数学建模中插值方法和数据拟合方法如何使用？团结勤奋严谨朴实

水箱水流量问题

许多供水单位由于没有测量流入或流出水箱流量的设备，而只能测量水箱中的水位。试通过测得一天的某时刻水箱中水位的数据，估计在任意时刻（包括水泵灌水期间）t流出水箱的流量f（t）。时间（秒s）水位（10–2E）时间（秒s）水位（10-2E）03175446363350331631104995332606635305453936316710619299457254308713937294760574301217921289264554292721240285068535284225223279571854276728543275275021269732284269779254泵水35932泵水82649泵水39332泵水859683475394353550899533397433183445932703340数学建模教学案例（一）（1）问题提出水箱水流量问题

给出上面原始数据表，其中长度单位为E-英尺(1E=30.48cm）。水箱为正圆柱体，其直径为57E。(2)

模型假设和符号说明

（1）影响水箱水流量的唯一因素是该区公众对水的普通需求；（2）水泵的灌水速度为常数；（3）从水箱中流出水的最大流速小于水泵灌水速度；（4）每天的用水量分布都是相似的；（5）水箱的流水速度可用光滑曲线来近似；（6）当水箱的水容量达到514.8×103G时，开始泵水；达到667.6×103G时，便停止泵水。V—水的容积；Vi—时刻ti（小时）水的容积（单位G-加仑，1G=3.785L（升）；

f（t）—时刻t流出水箱的水的流速，它是时间的函数（G/h）；

p—水泵的灌水速度G/h）。时间（小时h）水量（103G）时间（h小时）水量（103G）0606.112.954639.50.921593.713.876622.41.843583.014.982604.62.950571.615.904589.33.871562.616.826575.04.978552.117.932558.85.900544.119.038542.67.001533.649.959528.27.929525.420.839514.88.968514.822.015/9.981/22.958/10.926/23.880663.410.954677.624.987648.512.033657.725.908637.6

根据要求先将上表中的数据做变换，时间单位用小时（h），水位高度转换成水的体积（V=πR2h,1E3=7.480507G），得右表。(2)模型假设和符号说明注：第一段泵水的始停时间及水量为

t始=8.968（h），v始=514.8χ103（G）

t末=10.926（h），v末=677.6χ103（G）

第二段泵水的始停时间及水量为

t始=20.839（h），v始=514.8χ103（G）

t末=22.958（h），v末=677.6χ103（G）

由于要求的是水箱流量与时间的关系，因此须由上表的数据计算出相邻时间区间的中点及在时间区间内水箱中流出的水的平均速度。由上表的数据计算出相邻时间区间的中点及在时间区间内水箱中流出的水的平均速度得下表：（3）模型建立和求解时间区间的中点值（h）平均流量（×103G/h）0.460614.01.38212.02.39610.03.4119.64.4259.65.4398.96.459.67.4688.98.44810.29.474/10.45/10.94/11.4918.612.4920.013.4219.014.4316.015.4416.016.3716.017.3814.018.4914.019.5016.020.4015.021.43/22.49/23.42/24.4314.025.4512.0其散点图如下：误差的平方和:29.8846（3）模型建立和求解6次多项式拟合f(t)=-1.2954×10-5t6

+9.5480×10-4t5

-2.566×10-2t4+29.67t3

-1.255t2+0.42597t

+13.6556次多项式拟合图如下：误差的平方和:13.29278次多项式拟合图如下：（3）模型建立和求解(4)结论(分析）2004年6月至7月黄河进行了第三次调水调沙试验，特黄河小浪底调水调沙问题：别是首次由小浪底、三门峡和万家寨三大水库联合调度，采用接力式防洪预泄防水，形成人造洪峰进行调沙试验获得成功。整个试验期为20多天，小浪底从6月19日开始预泄放水，直到7月13日恢复正常供水结束。小浪底水利工程按设计拦沙量为75.5亿m3,在这之前，小浪底共积泥沙达14.15亿t，这次调水调沙试验一个重要目的就是由小浪底上游的三门峡和万家寨水库泄洪，在小浪底形成人造洪峰，冲刷小浪底库区沉积的泥沙，在小浪底水库数学建模教学案例（二）（1）问题提出团结勤奋严谨朴实

陆续开闸放水，人造洪峰于29日先后达到小浪底，7月3日达到最大流量2700m3/s,使小浪底水库的排沙量也不断地增加。表1是由小浪底观测站从6月29日到7月10日检测到的试验数据。根据试验数据，建立数学模型研究下面的问题:①

给出估算任意时刻的排沙量及总排沙量。②

确定含沙量与水流量的变化关系。开闸泄洪以后，从6月27日开始三门峡水库和万家寨水库（1）问题提出团结勤奋严谨朴实

日期6.296.307.17.27.37.4时间8:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:00水流量180019002100220023002400250026002650270027202650含沙量326075859098100102108112115116表1试验观测数据单位：水流为m3/s，含沙量为kg/m3团结勤奋严谨朴实

续表1日期7.57.67.77.87.97.10时间8:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:00水流量26002500230022002000185018201800175015001000900含沙量11812011810580605030262085（2）模型假设和符号说明①假设所给数据客观准确地反映了现实情况。②假设所给数据遵循一定规律变化，即关于时间是连续的。③假设模型中不需要考虑一些外在因素。例如，下雨、上游冲过来的泥沙等。④假设水流量和含沙量都是连续的。

时间点为t，依次为1,2，…，24，间隔为12小时。为计算方便，令

以xi为节点，其相应的排沙量Vi（i=1,2，…，24）对应关系如下表（3）模型建立和求解t表示时间或时间点.v=v(t)表示t时刻水流量.S表示总的排沙量.V=V（t）=v(t）y（t）表示t时刻排沙量.（2）模型假设和符号说明团结勤奋严谨朴实

y=y（t）表示t时刻含沙量.日期6.296.307.17.27.37.4时间ti8:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:00节点xi123456789101112水流量vi180019002100220023002400250026002650270027202650含沙量yi326075859098100102108112115116排沙量Vi57600114000157500187000207000235200250000265200286200302400312800307400（3）模型建立和求解团结勤奋严谨朴实

续表日期7.57.67.77.87.97.10时间ti8:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:00节点xi131415161718192021222324水流量vi26002500230022002000185018201800175015001000900含沙量yi11812011810580605030262085排沙量Vi3068003000002714002310001600001110009100054000455003000080004500（3）模型建立和求解节点xi123456789101112排沙量Vi57600114000157500187000207000235200250000265200286200302400312800307400（3）模型建立和求解团结勤奋严谨朴实

节点xi131415161718192021222324排沙量Vi3068003000002714002310001600001110009100054000455003000080004500问题：①

已知数据表

给出估算任意时刻的排沙量及总排沙量。（3）模型建立和求解采用三次样条插值函数V=V（x），满足如下条件：总排沙量计算出三次样条插值函数V=V（x）

？？？

排沙量的散点图如右图。注：用三次多项式函数分段拟合？？？

（3）模型建立和求解

任意时刻排沙量模型的图如右图（3）模型建立和求解问题：②

确定含沙量与水流量的变化关系数据表如下：含沙量与水流量关系的散点图如下：水流量vi180019002100220023002400250026002650270027202650含沙量yi326075859098100102108112115116水流量vi26002500230022002000185018201800175015001000900含沙量yi11812011810580605030262085（3）模型建立和求解采用分段拟合的方法，拟合多项式函数。1-11个点为第一阶段。（3）模型建立和求解第一阶段含沙量与水流量的散点图如右：（3）模型建立和求解误差的平方和:72.8474误差的平方和:180.9390误差的平方和:66.102问题：（3）模型建立和求解②

确定排沙量与水流量的变化关系12-24个点为第二阶段第二阶段含沙量与水流量的散点图如右：（3）模型建立和求解误差的平方和:549.854误差的平方和:860.669(4)结论(分析）（3）模型建立和求解第一阶段含沙量和水流量之间的关系为误差的平方和:72.8474.第二阶段含沙量和水流量之间的关系为误差的平方和:549.854表3.1编号拉伸倍数x

强度y（kg/mm2）编号拉伸倍数x强度y（kg/mm2）12345678910111