信息光学之数学基础-常用函数

信息光学

InformationOptics第一部分数学基础

§0-1常用函数—变型xf(x)xf(x-x0)x0xf(x/a)xf(-x)x-f(x)xbf(x)平移(原点移至x0)折叠与f(x)关于y轴镜像对称取反与f(x)关于x轴镜像对称倍乘y方向幅度变化比例缩放a>1,在x方向展宽a倍a<1,在x方向压缩a倍§0-1常用函数—变型（例）xf(x)01x,0<x<10其它例:f(x)={求f(-2x+4)解：f(-2x+4)=f[-2(x-2)]，包含折叠、压缩、平移xf(-x)0-1先折叠xf(-2x)0-1/2再压缩x0f[-2(x-2)]3/2最后平移cos(x),|x|p/20 其它求f(-x/2+p/4)练习：f(x)={

§0-1常用函数—变型（练习）先折叠，偶函数折叠后不变xf(x)0p/2-p/2解：f(-x/2+p/4)=f[-(x-p/2)/2]，包含折叠、扩展、平移再扩展,

最后平移xf(-x)0p/2-p/2求f(-x/2+p/4)曲线下面积:注意：在缩放前后的变化cos(x),|x|p/20 其它f(x)={§1-1常用函数

注意:1.函数在时域和空域各代表什么物理对象

2.一维向二维扩展,各代表什么物理对象一.阶跃函数StepFunctionx01Step(x)1,x>01/2,x=00,x<0定义:Step(x)={代表：开关,无穷大半平面屏0xy

§1-1常用函数(续)

二.符号函数Signum

x01Sgn(x)-11,x>00,x=0-1,x<0定义:Sgn(x)={原型 代表“p”相移器、反相器与Step函数的关系:Sgn(x)=2Step(x)-1§1-1常用函数(续)

三.矩形函数RectangleFunction定义xrect(x)01/2-1/21原型特点:rect(0)=1,矩形宽度=1，矩形面积=1,偶函数快门;单缝,矩孔,区域限定x0ax0yaxx0,y0yab0§1-1常用函数(续)

四、三角形函数TriangleFunction底宽:2|a|,面积:S=|a|底宽:2最大值：tri(0)=1曲线下面积:S=1xtri(x)01-111xa+x0-a+x0x0§1-1常用函数(续)

五、sinc函数xsinc(x)01-111xa+x0-a+x0x0特点:最大值：sinc(0)=1；lim

sinc(x)=0

x曲线下面积:S=1，偶函数0点位置:x=n(n=1,2,3…)等间隔两个一级0点之间的主瓣宽度=2§1-1常用函数

五.sinc函数(续)Sinc函数的重要性:数学上,sinc函数和rect函数互为傅里叶变换物理上,单一矩形脉冲rect(t)的频谱是sinc函数;单缝的夫琅和费衍射花样是sinc函数xsinc2(x)01-11sinc

(x)sinc2(0)=1,S=1与sinc(x)相比,曲线形状不同,但曲线下面积相同,为什么?二维sinc函数:

sinc(x)sinc(y)sin2(px)(px)2附:sinc2函数sinc2(x)=[sinc(x)]2§1-1常用函数(续)

六、高斯函数GaussianFunctionGaus(x)=exp(-px2)Gaus(0)=1S=1是非常平滑的函数,即各阶导数均连续.Gaus(x)0x二维情形:Gaus(x)Gaus(y)=exp[-p(x2+y2)]可代表单模激光束的光强分布§1-1常用函数(续)

七、圆域函数CircularFunction定义:circ(r)=circ函数是不可分离变量的二元函数描述无穷大不透明屏上半径为1的圆孔的透过率1xy0a0§1-1常用函数(续)

八、复指数函数ComplexexponentialfunctionAexp(jq)=Acosq

+jAsinqA0qq：振子的位相角对于简谐振动，q=2pnt推广到二维：Aexp[j

2p(fxx+fyy)]w=2pn注意以上定义的函数,其宗量均无量纲.在处理实际问题时,要根据所取的单位采用适当的缩放因子.

例:以rect(x)代表单缝.若x单位为cm,则rect(x)代表宽度为1cm的单缝.若x单位为mm,则rect(x/10)代表宽度为1cm的单缝.课堂练习0-1.已知函数

U(x)=Aexp(j2pf0x)

求下列函数，并作出函数的图形

(1)|U(x)|2

(2)U(x)+U*(x) (3)|U(x)+U*(x)|20-2.已知函数f(x)=rect(x+2)+rect(x-2)

求下列函数，并作出函数的图形. (1)f(x-1) (2)f(x)sgn(x)课堂练习0-3.画出下列函数的图形

(1) (2) (3) (4)§1-2脉冲函数d-Function

一、定义fn(x)可以是Nrect(Nx),Nsinc(Nx),NGaus(Nx),二维圆域函数等等.

物理系统已无法分辨更窄的函数定义1.定义2.基于函数系列的极限:练习:画出rect(x),10rect(10x),sinc(x),10sinc(10x)的示意图.可描述:单位质量质点的密度,单位电量点电荷的电荷密度,单位光通量点光源的发光度,单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率等等.§1-2脉冲函数d-Function

定义0xd(x)110xd(x,y)yd-函数的图示:定义3:设任意函数f(x)在x=0点连续,在有限区间外为零,则

f(x)称为检验函数.§1-2d-函数

二、性质1.筛选性质sifting(由定义3直接可证)

设f(x)在x0点连续,则推论:d(x)是偶函数2.缩放性质scaling注意与普通函数缩放性质的区别.通过此积分,可从f(x)中筛选出单一的f(x0)值.3.乘积性质

设f(x)在x0点连续,则:f(x)d(x-x0)=f(x0)d(x-x0)

任意函数与d-函数的乘积,是幅度变化了的d-函数§1-2d-函数

d-函数的阵列--梳状函数comb(x)表示沿x轴分布、间隔为1的无穷多脉冲的系列.例如不考虑缝宽度和总尺寸的线光栅.间隔为t的脉冲系列:定义:

n为整数§1-2d-函数

三、d-函数的阵列--梳状函数comb(x)梳状函数与普通函数的乘积:f(x)0x=x0xcomb(x).0利用comb(x)可以对函数f(x)进行等间距抽样.xy二维梳状函数:comb(x,y)=comb(x)comb(y)P401.7画函数图形(1)(2)§1-3卷积convolution

二、定义若f(x)与h(x)有界且可积,定义*:卷积符号

g(x)是f(x)与h(x)两个函数共同作用的结果.对于给定的x,第一个函数的贡献是f(x),则第二个函数的贡献是h(x-x).需要对任何可能的x求和.g(x)称为函数f(x)与h(x)的卷积.二维函数的卷积:§1-3卷积convolution

三、计算方法--几何作图法练习:计算rect(x)*rect(x)

-101

g(x)

x

11.用哑元t画出二个rect(t)2.将rect(t)折叠后不变;3.将一个rect(-t)移位至给定的x,

rect[-(t-x)]=rect(t-x);4.二者相乘;乘积曲线下面积的值即为g(x).rect(t)1t

-1/20

1/2|x|>1;g(x)=0-1<x<0;g(x)=1[x+1/2-(-1/2)]=1+x0

<x<1;g(x)=1[1/2-(x-1/2)]=1-xrect(t)1t

-1/20

1/2

x-1/2x

x+1/2rect(t)1t

-1/20

1/2卷积通常具有(1)加宽(2)平滑的作用例:P40,1.8探测器输出的光强度分布:axf(x)1/f0x计算这个卷积:§1-3卷积convolution

四、性质1.卷积满足交换律CommutativeProperty

f(x)*h(x)=h(x)*

f(x)

推论:卷积是线性运算Linearity

[av(x)+bw(x)]*h(x)=a[v(x)*

h(x)]+b[w(x)*

f(x)]2.卷积满足分配律DistributiveProperty [v(x)+w(x)]*h(x)=v(x)*

h(x)+w(x)*

f(x)3.卷积满足结合律AssociativeProperty

[v(x)*

w(x)]*h(x)=[v(x)*h(x)]*w(x)=v(x)*[w(x)*

h(x)]§1-3卷积convolution

四、性质(续)4.卷积的位移不变性Shiftinvariance

若f(x)*h(x)=g(x),则

f(x-x0)*h(x)=g(x-x0)

或 f(x)*h(x-x0)=g(x-x0)5.卷积的缩放性质Scaling

若f(x)*h(x)=g(x),则 §1-3卷积convolution

五、包含脉冲函数的卷积即任意函数与d(x)卷积后不变根据1.d-函数是偶函数,2.d-函数的筛选性质,有:任意函数与脉冲函数卷积的结果,是将该函数平移到脉冲所在的位置.

f(x)*d(x-x0)=f(x-x0)

f(x)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f(x)的函数波形,用于描述各种重复性的结构.=*bbaaa利用卷积的位移不变性可得:练习:P411.11(透过率=输出/输入)*=ldxyt(x,y)[d(x+d/2)

+d(x-d/2)]=*p位相板:输出=输入exp(jp

),即:透过率=exp(jp

)=-1[d(x+d/2

-d(x-d/2)]t(x,y)=*若右边园孔上加p位相板,则x0dlxyy利用卷积性质求卷积的例子P411.12若要求写出解析运算式:f(x)=?+?写成tri(x)的平移式h(x)=?+?写成d(x)的平移式利用卷积的线性性质利用d函数的卷积性质利用卷积的平移性质*=+=f(x)xAa-a0h(x)ka-ax000-a-2a

2aa0

-2a

2ax2Ak§1-4相关correlation

信息处理中的重要运算

一、互相关crosscorrelation考虑两个复函数f(x)与g(x),定义：作变量替换x-x=x’,则(2)(1)和(2)两个定义式是完全等价的.为函数f(x)与g(x)的互相关函数.(1)互相关是两个函数间存在相似性的量度.§1-4相关correlation

一、互相关crosscorrelation(续)

与卷积的关系由(1)式易见：(3)

1.当且仅当g*(-x)=g(x)[g(x)是厄米的],相关才和卷积相同.一般情况下,相关运算与卷积运算的区别: g(x)要取复共轭 运算时g(x)不需折叠rfg(x)=rgf*(-x)(4)由(3)式直接推论得:2.互相关不满足交换律rfg(x)=f(x)★g(x)≠g(x)★f(x)=rgf

(x)相关计算要严格注意两个函数的顺序,以及哪个函数取复共轭.§1-4相关correlation

二、自相关auto-correlation

或:由(4)式立即可得:rff(x)=rff*(-x)复函数的自相关函数是厄米函数(实部为偶函数,虚部为奇函数)实函数的自相关为实偶函数当f(x)=g(x)时,互相关变为复函数f(x)的自相关,定义为§1-4相关correlation

二、自相关auto-correlation重要性质由(3)式:若f(x)是实偶函数,

则:rff(x)=f(x)*

f(x),其自相关就是自卷积对于非零复函数f(x),rff(0)>0为实值|rff(x)|<

rff(0)证明:阅读书上P18§1-6傅里叶级数

一、三角傅里叶级数满足狄氏条件的函数g(x)具有有限周期t,可以在(-,+)展为三角傅里叶级数:展开系数零频分量,基频,谐频,频谱等概念，奇、偶函数的三角级数展开P25例1：周期为t=1/f0的矩形波函数取A=1，f0=1§1-6傅里叶级数

指数傅里叶级数满足狄氏条件的函数g(x)具有有限周期t,可以在(-,+)展为指数傅里叶级数:展开系数零频分量,基频,谐频,频谱等概念指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表示方式，一种系数可由另一种系数导出。§1-6傅里叶级数

指数傅里叶级数P25

例1:矩形波的频谱

幅值为A,

宽度为t/2,周期为t

的矩形波:零频分量,基频,谐频,频谱n(f0)A/2320cn1练习:P40:1.7 P41:1.12,1.13P42 1.17,1.18(1)§1-7傅里叶变换FourierTransform

一、定义函数g(x)在(-∞,+∞)上满足狄氏条件(绝对可积,有有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点),定义函数为函数g(x)的傅里叶变换,记作: G(f)=

{g(x)}=F.T.[g(x)],由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换:记作: g(x)=

-1{G(f)}.显然-1{g(x)}=g(x)F.T.F.T.-1综合可写:

g(x)G(f)g(x):原函数,

G(f):像函数或频谱函数§1-7傅里叶变换FourierTransform

一、定义x和f称为一对共轭变量,g(x)和G(f)称为傅里叶变换对描述了各频率分量的相对幅值和相移.G(f)一般是复函数,G(f)=A(f)ejf

(f)振幅谱位相谱推广到二维情形:§1-7傅里叶变换FourierTransform

二、广义F.T.对于某些不符合狄氏条件的函数,求F.T.的方法.例:g(x,y)=1,在(-,+)不可积某个可变换函数组成的系列不符合狄氏条件的函数,其变换式的极限原来函数的广义F.T.可定义:g(x,y)=lim

rect(x/t)rect(y/t)

t

则{g(x,y)}=lim{rect(x/t)rect(y/t)}

t

{1}=d(fx,fy){rect(x/t)}=tsinc(tf)§1-7傅里叶变换FourierTransform

共轭函数的

F.T.

若g(x)G(f),g*(x)?F.T.F.T.相似性:{g(x)}=g(-x)以上性质可以用来求函数的F.T.

{d(fx,fy)}=1§1-7傅里叶变换FourierTransform

四、F.T.定理--F.T.的基本性质1.线性定理Linearity

设g(x,y)G(fx,fy),h(x,y)H(fx,fy),F.T.F.T.2.空间缩放Scaling{ag(x,y)+b

h(x,y)}=aG(fx,fy)+b

H(fx,fy)F.T.是线性变换§1-7傅里叶变换FourierTransform

空间缩放注意空域坐标(x,y)的扩展(a,b<1),导致频域中坐标(fx,fy)的压缩及频谱幅度的变化.反之亦然.g(x)x01/2-1/21g(ax)a=2x01/4-1/41fG(f)01-11f02-21/2空域压缩F.T.F.T.频域扩展§1-7傅里叶变换FourierTransform

四、F.T.定理3.平移定理Shifting

设g(x,y)G(fx,fy),F.T.{g(x,y)exp[j2p(fax+fby)]}=G(fx-

fa,fy-fb)推论:由{1}=d(fx,fy){exp[j2p(fax+fby)]}=d(fx-

fa,fy-fb)复指函数的F.T.是移位的d函数{g(x-a,y-b)}=

G(fx,fy)exp[-j2p(fxa+fyb)]{d(x-a,y-b)}=

exp[-j2p(fxa+fyb)]§1-7傅里叶变换FourierTransform

四、F.T.定理4.帕色伐(Parsval)定理|G(f)|2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔的能量或功率)

设g(x,y)G(fx,fy),F.T.Parsval定理说明,信号的能量由其频谱曲线下面积给出.或者说等于各频率分量的能量之和—能量守恒§1-7傅里叶变换FourierTransform

四、F.T.定理5.卷积定理空域中两个函数的卷积,其F.T.是各自F.T.的乘积.{g(x,y)*

h(x,y)}=

G(fx,fy).

H(fx,fy)

设g(x,y)G(fx,fy),h(x,y)H(fx,fy),F.T.F.T.{g(x,y).

h(x,y)}=

G(fx,fy)*

H(fx,fy)空域中两个函数的乘积,其F.T.是各自F.T.的卷积.将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用.亦可用于求复杂函数的F.T.§1-7傅里叶变换FourierTransform

利用卷积定理的例子2.{tri(x)}={rect(x)*rect(x)}={rect(x)}•{rect(x)}=sinc(f)•sinc(f)=sinc2(f)rect(x)x01/2-1/21rect(x)x01/2-1/21*tri(x)x01-11xsinc2(x)01-11F.T.fsinc(f)01-11F.T.fsinc(f)01-11F.T.

{tri(x)}=sinc2(f)§1-7傅里叶变换FourierTransform

练习:P43,1.25(1)§1-7傅里叶变换FourierTransform

练习:P43,1.25(1)画图说明2.Acos(2pf0x)x0A*F.T.F.T.F.T.cos(2pf0x)x01Acos2(2pf0x)xf0-f0f0f0-f0f0f0§1-7傅里叶变换FourierTransform

四、F.T.定理6.自相关定理自相关与功率谱的关系:证明提示:

利用卷积定理、相关定义和共轭函数的F.T.

设g(x,y)G(fx,fy),F.T.反过来有:{g(x,y)★

g(x,y)}=|G(fx,fy)|2{|g(x,y)|2}=

G(fx,fy)★G(fx,fy)7.F.T.积分定理在函数g的各连续点上,-1{g(x,y)}=-1

{g(x,y)}=g(x,y)§1-7傅里叶变换FourierTransform

例:P43,1.28(1)利用相似性求傅里叶逆变换:相似性:{g(x)}=g(-x)h(x)H(f)h(-x)F.T.F.T.-1画图§1-7傅里叶变换FourierTransform

五、可分离变量