第8章 假设检验(修改)

第8章假设检验了解假设检验的基本思想掌握假设检验的步骤对实际问题作假设检验学习目标：8.1假设检验的基本问题8.1.1假设检验问题的提出8.1.2假设的表达式8.1.3两类错误8.1.4假设检验的流程假设检验问题的提出现实生活中，我们经常作出的论断：上海2006年毕业生首月平均工资2317元我们学校去年的cet-4合格率为98%上月参与购买彩票的彩民中，80%以上的中奖额在100元以下？上述内容都是关于总体参数的一种陈述；如果根据样本资料得到的样本指标与它不符，是否能够说明假设是错误的假设检验问题的提出假设假设检验的例子[例8.1]可口可乐公司生产的雪碧饮料标签说明其容量为250ml，标准差4ml。现在从市场上随机抽取50瓶，发现饮料平均容量为248ml。能否据此判定可口可乐公司的产品有欺诈行为？问题8.1的分析产品的标签意味着产品总体的平均数为μ=250ml，总体的标准差σ=4ml。调查的样本平均数为=248ml2ml的差距原因可能源于抽样误差厂商不诚信那么，如何区别这两种原因呢？统计上就可以对其进行假设检验假设检验—假定来源于第一种原因因为抽样误差是我们能够计算和控制的，因此假设样本平均数与总体平均数的差距完全是由于抽样误差引起的；根据抽样推断的理论，给定概率保证度，可以确定z的大小，使得下面的式子可以接受：例如，当概率保证度为99%时，zα/2=2.58。小概率事件：在一次试验中，几乎不可能发生的事件。例题的检验与结论由已知，说明，经过一次抽样(试验)，小概率事件发生了，这违背了小概率事件的原理。问题出现在哪里？假设不成立，即2ml的差距不仅仅是由于抽样误差引起的，很有可能(99%)是厂商的缺斤少两。假设检验的基本思想事先对总体参数或分布形式作出某种假设，然后利用样本信息来判断原假设是否成立采用逻辑上的反证法，依据统计上的小概率原理小概率原理：如果对总体的某种假设是真实的，那么不利于或不能支持这一假设的事件A（小概率事件）在一次试验中几乎不可能发生的；如果在一次试验中A竟然发生了，就有理由怀疑该假设的真实性，拒绝这一假设。假设的表达形式原假设什么是原假设？(nullhypothesis)待检验的假设，又称“0假设”研究者想收集证据予以反对的假设3. 总是有等号,或4. 表示为H0，如：H0：

某一数值例如,H0：

250ml什么是备择假设？(alternativehypothesis)与原假设对立的假设，也称“研究假设”研究者想收集证据予以支持的假设总是有不等号:

,

或表示为H1H1：

<某一数值，或某一数值例如,H1：

<250ml，或250ml备择假设假设检验的流程提出假设确定适当的检验统计量规定显著性水平计算检验统计量的值；作出统计决策假设检验的流程11提出有关总体参数的假设：一般包含两部分：原假设H0和备择假设H1根据问题的不同，假设提出的形式有所不同：对前面的例题分别提出不同的假设:目的不同

双侧检验：H0：μ=μ0

，H1：μ≠μ0单侧检验：H0：μ≥μ0

，H1：μ＜μ0

H0：μ≤μ0

，H1：μ＞μ0双侧检验与单侧检验

(假设的形式)假设研究的问题双侧检验左侧检验右侧检验H0m=m0m

m0m

m0H1m≠m0m<m0m>m0双侧检验

(原假设与备择假设的确定)概念：属于决策中的假设检验，不论是拒绝H0还是不拒绝H0，都必需采取相应的行动措施例如，某种零件的尺寸，要求其平均长度为10cm，大于或小于10cm均属于不合格我们想要证明(检验)大于或小于这两种可能性中的任何一种是否成立因此，建立的原假设与备择假设应为

H0:

=10H1:

10双侧检验

(显著性水平与拒绝域)抽样分布H0值临界值临界值a/2a/2

样本统计量拒绝域拒绝域1-置信水平单侧检验：左侧检验

(显著性水平与拒绝域)H0值临界值a样本统计量拒绝域抽样分布1-置信水平H0：μ≥μ0

，H1：μ＜μ0假设检验的流程22设计检验统计量设计要求：所设计的检验统计量应该与总体参数有关当H0为真时，该统计量的真实分布已知假设检验的流程3，43给定显著性水平和相应的临界值显著性水平α的含义：

H0为真时，拒绝H0的概率α通常的取值α所确定的H0的接收域和拒绝域C

相同的α对于单尾检验和双尾检验确定的区域不同4根据样本数据计算统计量，并做出决策假设检验中的两类错误假设检验的两类错误和检验规则检验决策H0为真H0非真

拒绝H0

第I类错误（α）正确 接受H0正确第II类错误（β） I类错误——弃真错误，发生的概率为αII类错误——取伪错误，发生的概率为β审判被告原假设：被告无罪，备择假设：被告有罪。法庭可能犯的第Ⅰ类错误是：被告无罪但判他有罪，即冤枉了好人；法庭可能犯的第Ⅱ类错误是：被告有罪但判他无罪，即放过了坏人。为了减少冤枉好人的概率，应尽可能接受原假设，判被告无罪，这可能增大了放过坏人的概率。US法庭采用无罪推定的审判准则真实情况:样本来自μ=μ0的总体真实情况:样本来自μ=μ1的总体接受H0:μ=μ0拒绝H0判断正确判断错误(II)判断错误(I)判断正确8.2一个总体参数的检验8.2.1检验统计量的确定8.2.2总体均值的检验8.2.3总体比例的检验8.2.4总体方差的检验检验统计量的确定假设检验最关键的步骤：设计合适的检验统计量，其一般形式：检验统计量的设计，主要考虑下面的因素：1样本容量2总体标准差是否已知一个总体参数的检验Z检验（单尾和双尾）t检验（单尾和双尾）Z检验（单尾和双尾）

2检验（单尾和双尾）均值一个总体比例方差总体均值检验总体均值的检验

(检验统计量)总体是否已知？用样本标准差S代替t检验小样本量n否是z检验

z检验大总体均值的检验

(2

已知或2未知大样本)1. 假定条件总体服从正态分布若不服从正态分布,可用正态分布来近似(n30)使用Z-统计量2

已知：2

未知：2

已知均值的检验

(例题分析)【例】某机床厂加工一种零件，根据经验知道，该厂加工零件的椭圆度近似服从正态分布，其总体均值为0=0.081mm，总体标准差为=0.025

。今换一种新机床进行加工，抽取n=200个零件进行检验，得到的椭圆度为0.076mm。试问新机床加工零件的椭圆度的均值与以前有无显著差异？（＝0.05）2

已知均值的检验

(例题分析)H0:

=0.081H1:

0.081

=

0.05n

=

200临界值:检验统计量:Z01.96-1.96.025拒绝H0拒绝H0.025决策:结论:

在

=0.05的水平上拒绝H0有证据表明新机床加工的零件的椭圆度与以前有显著差异2

已知均值的检验

(小样本例题分析)【例】根据过去大量资料，某厂生产的灯泡的使用寿命服从正态分布N~(1020，1002)。现从最近生产的一批产品中随机抽取16只，测得样本平均寿命为1080小时。试在0.05的显著性水平下判断这批产品的使用寿命是否有显著提高？(＝0.05)2

已知均值的检验

(小样本例题分析)H0:

1020H1:>1020

=

0.05n

=

16临界值(s):检验统计量:在

=0.05的水平上拒绝H0有证据表明这批灯泡的使用寿命有显著提高决策:结论:Z0拒绝域0.051.6452

未知大样本均值的检验

(例题分析)【例】某电子元件批量生产的质量标准为平均使用寿命1200小时。某厂宣称他们采用一种新工艺生产的元件质量大大超过规定标准。为了进行验证，随机抽取了100件作为样本，测得平均使用寿命1245小时，标准差300小时。能否说该厂生产的电子元件质量显著地高于规定标准？(＝0.05)单侧检验2

未知大样本均值的检验

(例题分析)H0:1200H1:>1200

=

0.05n=

100临界值(s):检验统计量:在

=0.05的水平上不拒绝H0不能认为该厂生产的元件寿命显著地高于1200小时决策:结论:Z0拒绝域0.051.645总体均值的检验

(2未知小样本)1. 假定条件总体为正态分布2未知，且小样本2. 使用t

统计量2

未知小样本均值的检验

(例题分析)【例】某机器制造出的肥皂厚度为5cm，今欲了解机器性能是否良好，随机抽取10块肥皂为样本，测得平均厚度为5.3cm，标准差为0.3cm，试以0.05的显著性水平检验机器性能良好的假设。2

未知小样本均值的检验

(例题分析)H0:=5H1:

5

=0.05df=10-1=9临界值(s):检验统计量:在

=0.05的水平上拒绝H0说明该机器的性能不好

决策：结论：t02.262-2.262.025拒绝H0拒绝H0.0252

未知小样本均值的检验

(例题分析)

【例】一个汽车轮胎制造商声称，某一等级的轮胎的平均寿命在一定的汽车重量和正常行驶条件下大于40000公里，对一个由20个轮胎组成的随机样本作了试验，测得平均值为41000公里，标准差为5000公里。已知轮胎寿命的公里数服从正态分布，我们能否根据这些数据作出结论，该制造商的产品同他所说的标准相符？(

=0.05)均值的单尾t检验

(计算结果)H0:

40000H1:

<40000

=0.05df=20-1=19临界值(s):检验统计量:

在

=0.05的水平上不拒绝H0不能认为制造商的产品同他所说的标准不相符决策:

结论:

-1.7291t0拒绝域.05总体比例的检验

(Z

检验)一个总体比例检验假定条件有两类结果总体服从二项分布可用正态分布来近似比例检验的Z统计量0为假设的总体比例一个总体比例的检验

(例题分析)【例】一项统计结果声称，某市老年人口（年龄在65岁以上）的比重为14.7%，该市老年人口研究会为了检验该项统计是否可靠，随机抽选了400名居民，发现其中有57人年龄在65岁以上。调查结果是否支持该市老年人口比重为14.7%的看法？(=0.05)一个总体比例的检验

(例题分析)H0:

=14.7%H1:

14.7%

=0.05n

=400临界值(s):检验统计量:在

=0.05的水平上不拒绝H0该市老年人口比重为14.7%决策:结论:Z01.96-1.96.025拒绝H0拒绝H0.025总体方差的检验

(2检验)方差的卡方(2)

检验检验一个总体的方差或标准差假设总体近似服从正态分布检验统计量样本方差假设的总体方差方差的卡方(2)

检验

(例题分析)【例】某厂商生产出一种新型的饮料装瓶机器，按设计要求，该机器装一瓶一升(1000cm3)的饮料误差上下不超过1cm3。如果达到设计要求，表明机器的稳定性非常好。现从该机器装完的产品中随机抽取25瓶，分别进行测定(用样本减1000cm3)，得到如下结果。检验该机器的性能是否达到设计要求

(=0.05)0.3-0.4-0.71.4-0.6-0.3-1.50.6-0.91.3-1.30.71-0.50-0.60.7-1.5-0.2-1.9-0.51-0.2-0.61.1绿色健康饮品绿色健康饮品方差的卡方(2)

检验

(例题分析)H0:

2=1H1:

2

1

=0.05df=

25-1=24临界值(s):统计量:

在

=0.05的水平上不拒绝H0不能认为该机器的性能未达到设计要求

2039.3612.40/2=.05决策:结论:8.3两个总体参数的检验8.3.1检验统计量的确定8.3.2两个总体均值之差的检验两个正态总体参数的检验两个总体的检验Z

检验(大样本)t

检验(小样本)t

检验(小样本)Z检验F

检验均值比例方差独立样本总体均值之差的检验两个总体均值之差的检验

(12、22

已知)1. 假定条件两个样本是独立的随机样本两个总体都是正态分布若不是正态分布,可以用正态分布来近似(n130和n230)检验统计量为两个总体均值之差的检验

(假设的形式)假设研究的问题没有差异有差异均值1均值2均值1<均值2均值1均值2均值1>均值2H0

1–2=0

1–20

1–20H1

1–20

1–2<0

1–2>0两个总体均值之差的检验

(例题分析)

双侧检验！【例】有两种方法可用于制造某种以抗拉强度为重要特征的产品。根据以往的资料得知，第一种方法生产出的产品其抗拉强度的标准差为8公斤，第二种方法的标准差为10公斤。从两种方法生产的产品中各抽取一个随机样本，样本量分别为n1=32，n2=40，测得x1=50公斤，x2=44公斤。问这两种方法生产的产品平均抗拉强度是否有显著差别？(=0.05)两个总体均值之差的检验

(例题分析)H0:

1-2=0H1:1-2

0

=

0.05n1