万有引力知识与题型汇总

知识与题型汇总基本关系（考点）类型题纵观：类型一：万有引力定律类型二：宇宙速度类型三：人造地球卫星（同步、极轨、变轨）请说出下面各题说涉及的考点同步卫星地球同步卫星与其他地球卫星的运行原理一样，都是靠地球的万有引力充当向心力，但地球同步卫星与其他卫星相比，具有以下几个特点：[名师点睛](1)无论卫星沿什么轨道运动，地心一定处于卫星轨道所在的平面上。例题

(2)所有国家发射的同步卫星均在同一圆轨道上的不同位置绕地球做匀速圆周运动，且始终相对地面静止，好像悬挂在天上一般。比较：赤道上的物体、近地卫星、同步卫星周期、角速度、向心加速、线速度的大小。答案：周期：T赤=T同>T近角速度：ω赤=ω同<ω近向心加速度：a近>a同>a赤线速度：v近>v同>v赤例专题归纳整合专题1处理天体运动的基本思路专题2人造卫星相关问题4．人造卫星的超重与失重(1)人造卫星在发射升空时，有一段加速运动；在返回地面时，有一段减速运动，这两个过程加速度方向均向上，因而都是超重状态．(2)人造卫星在沿圆轨道运行时，由于万有引力提供向心力，所以处于完全失重状态，在这种情况下凡是与重力有关的力学现象都会停止发生，因此，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能使用．同理，与重力有关的实验也将无法进行．(2010年高考江苏卷改编)2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图6－1所示．关于航天飞机的运动，下列说法中正确的是(

)图6－1例A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度B．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于在轨道Ⅰ上经过A的速度C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度【答案】

ABC人造卫星离地面距离等于地球半径R，卫星以速度v沿圆轨道运动，设地面的重力加速度为g，则有()A．V=√4gR

B．V=√2gR

C．V=√gRD．V=√gR/2

D例1990年3月，紫金山天文台将1965年9月20日发现的一颗小行星命名为吴健雄星，直径为32km，如果该行星的密度与地球相同，则对该小行星来说，其上物体的第一宇宙速度约为多少?(已知地球半径为6400km，地球上第一宇宙速度为7.9km/s)

解：由于"吴健雄星"的密度与地球的密度相近，所以有M地/(4πr3地/3)=M吴/(4πr3吴/3)

即M吴=M地(r吴/r地)3

代入环绕速度公式得v=√GM吴/r吴=√GM地r吴2/r地3=r吴v1/r地=20m/s例火星的半径为地球半径的一半，火星的质量为地球质量的1／9．问：

(1)火星上的重力加速度是地球上的重力加速度的几倍?(2)若要在火星上发射一颗人造卫星，那么该卫星环绕火星的第一宇宙速度是多少?例美国“新地平线”号探测器，已于美国东部时间2006年1月17日13时(北京时间18日1时)借助“宇宙神—5”重型火箭，从佛罗里达州卡纳维拉尔角肯尼迪航天中心发射升空，开始长达9年的飞向冥王星的太空之旅．拥有3级发动机的“宇宙神—5”重型火箭将以每小时5.76万公里的惊人速度把“新地平线”号送离地球，这个冥王星探测器将成为人类有史以来发射的速度最高的飞行器，这一速度(

)例A．大于第一宇宙速度B．大于第二宇宙速度C．大于第三宇宙速度D．小于并接近于第三宇宙速度解析：选ABD.此发射速度脱离了地球的束缚，但没有脱离太阳的束缚，故此速度介于第二宇宙速度和第三宇宙速度之间．所以A、B、D正确．特别提醒：(1)在处理卫星的v、ω、T与半径r的关系问题时，常用公式“gR2＝GM”来替换出地球的质量M，会使问题解决起来更方便．(2)由于卫星在轨道上运动时，它受到的万有引力全部提供了向心力，产生了向心加速度，因此卫星及卫星上任何物体都处于完全失重状态．(2011年高考广东卷)已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G.有关同步卫星，下列表述正确的是(

)例课堂互动讲练某人在一星球上以速率v竖直上抛一物体，经时间t物体以速率v落回手中，已知该星球的半径为R，求该星球上的第一宇宙速度．类型一第一宇宙速度的求解例1【思路点拨】第一宇宙速度是环绕星球表面运行的速度，即对应的轨道半径为该星球的半径，且重力就等于星球对其的万有引力．A．0.4km/s

B．1.8km/sC．11km/sD．36km/s人造地球卫星绕地球做圆周运动的线速度可以是()①11.2km/s②7.9km/s③6km/s④16.7km/sA．①②B．②③

C．③④D．①④B例在地面上某一高度运行的人造卫星，下列说法中正确的是()A．该卫星在轨道上的运行速度大于第一宇宙速度B．该卫星在轨道上的运行速度小于第一宇宙速度C．发射该卫星时的发射速度大于第一宇宙速度D．发送该卫星时的发射速度小于第一宇宙速度BC例宇宙飞船在半径为R1的轨道上运行，变轨后的半径为R2，R1＞R2，宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，则变轨后宇宙飞船的(

)A．线速度变小B．角速度变小C．周期变大

D．向心加速度变大类型二人造地球卫星的ω、v、T、a与r的关系例2【答案】

D变式训练2

(2011年高考山东卷)甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道．以下判断正确的是(

)A．甲的周期大于乙的周期B．乙的速度大于第一宇宙速度C．甲的加速度小于乙的加速度D．甲在运行时能经过北极的正上方已知地球的半径为R＝6400km，地球表面附近的重力加速度g取9.8m/s2，若发射一颗地球的同步卫星，使它在赤道上空运转，其高度和线速度应为多大？类型三地球同步卫星例3【答案】

3.6×107m

3.1×103m/s【方法总结】

(1)赤道上的物体随地球自转所做的圆周运动和卫星不同．(2)同步卫星和赤道上随地球自转的物体具有相同的角速度和周期．变式训练3同步卫星离地心距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球的半径为R，则下列比值正确的是(

)[思路点拨]先推导行星上的第一宇宙速度与地球上的第一宇宙速度的关系，再利用地球上的第一宇宙速度求解此行星上的第一宇宙速度。[答案]

A对于任何天体，计算其近地卫星环绕速度时，都是根据万有引力提供向心力，近地卫星的轨道半径等于天体的半径，然后利用牛顿第二定律列式计算。[思路点拨]同步卫星与一般的卫星遵循同样的规律，所以解决一般卫星问题的思路、公式均可运用在同步卫星问题的解答中。同步卫星同时又具备自身的特殊性，即有确定的周期、角速度、加速度、线速度、高度、轨道半径、轨道平面。[答案]

BD所有的地球同步卫星的轨道都与赤道为同心圆，且都在同一轨道上，卫星的运动周期、角速度与地球自转的周期、角速度相同。解析：第一宇宙速度是近地卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度，其运行周期约85分钟，该同学认为卫星的周期为24h，因此得出错误的结果，故D正确。答案：D2．(对应要点二)如图6－5－3所示的三颗人造地球卫星，则下列说法正确的是 (

)A．卫星可能的轨道为a、b、cB．卫星可能的轨道为a、cC．同步卫星可能的轨道为a、cD．同步卫星可能的轨道为a图6－5－3解析：卫星的轨道平面可以在赤道平面内，也可以和赤道平面垂直，还可以和赤道平面成任一角度。但是由于地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球运动的向心力，所以，地心必须是卫星圆轨道的圆心，因此卫星可能的轨道一定不会是b。同步卫星只能位于赤道的正上方，所以同步卫星可能的轨道为a。综上所述，正确选项为BD。答案：BD3．(对应要点二)(2012·北京高考)关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是 (

)A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具

有相同的周期B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具

有相同的速率C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半

径有可能不同D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平

面一定会重合答案：B4．(对应要点三)同步卫星在赤道上空同步轨道上定位以后，由于受到太阳、月球及其他天体的引力作用影响，会产生漂移运动而偏离原来的位置，若偏离达到一定程度，就要发动卫星上的小发动机进行修正。如图6－5－4所示中A为离地面36000km的同步轨道，B和C为两个已经偏离轨道但仍在赤道平面内运行的同步卫星，要使它们回到同步轨道上应 (

)图6－5－4A．开动B的小发动机向前喷气，使B适当减速B．开动B的小发动机向后喷气，使B适当加速C．开动C的小发动机向前喷气，使C适当减速D．开动C的小发动机向后喷气，使C适当加速解析：当卫星速度突然变大时，由于万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动而使运动半径变大，半径变大过程中速度又变小，当在半径较大的轨道上万有引力又恰好等于向心力时，卫星就能以较小的速度在较大的轨道上做匀速圆周运动，反之当卫星速度突然变小时，将由于万有引力大于向心力使卫星做向心运动而半径变小，最后在半径较小轨道上以较大速度做匀速圆周运动，因此题中两卫星轨道修正办法是使B减速，而使C加速，故A、D正确。答案：AD(1)第一宇宙速度是所有绕地球做匀速圆周运动的卫星的最大速度，也是最小发射速度。

(2)所有人造地球卫星的圆形轨道的圆心均与地心重合。对于同一卫星，轨道半径越大，动能越小，但动能和势能的总和越大，总能量越大。

(3)同步卫星的轨道平面与地球赤道平面重合，且其周期、角速度、线速度、高度、转动方向均是固定的。例3．若已知某行星绕太阳公转的半径为r，公转的周期为T，万有引力常量为G，则由此可求出（）

A．某行星的质量B．太阳的质量

C．某行星的密度D．太阳的密度B练习．一颗人造地球卫星在离地面高度等于地球半径的圆形轨道上运行，其运行速度是地球第一宇宙速度的

倍.此处的重力加速度g＇=

.（已知地球表面处重力加速度为g0）0.25g0练习、

从地球上发射的两颗人造地球卫星A和B，绕地球做匀速圆周运动的半径之比为RA∶RB=4∶1，求它们的线速度之比和运动周期之比。【分析解答】卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有GMm/R2=mv2/Rv2=GM/R∝1/R∴vA/vB=1/2GMm/R2=m4π2R/T2∴T2∝R3（开普勒第三定律）∴TA/TB=8:1

例4、假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则（）根据公式v=ωr，可知卫星的线速度将增大到原来的2倍根据公式F=mv2/r，可知卫星所需的向心力将减少到原来的1/2根据公式F=GMm/r2，可知地球提供的向心力将减少到原来的1/4根据上述B和C中给出的公式，可知卫星运动的线速度将减少到原来的CD04年江苏高考4

若人造卫星绕地球作匀速圆周运动，则下列说法正确的是（）A.卫星的轨道半径越大，它的运行速度越大B.卫星的轨道半径越大，它的运行速度越小C.卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越大D.卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越小BD例5．一宇宙飞船在离地面h的轨道上做匀速圆周运动，质量为m的物块用弹簧秤挂起，相对于飞船静止，则此物块所受的合外力的大小为

.（已知地球半径为R，地面的重力加速度为g）练习．月球表面重力加速度为地球表面的1/6，一位在地球表面最多能举起质量为120kg的杠铃的运动员，在月球上最多能举起（）

A．120kg的杠铃B．720kg的杠铃

C．重力600N的杠铃D．重力720N的杠铃B例6．若某行星半径是R，平均密度是ρ，已知引力常量是G，那么在该行星表面附近运动的人造卫星的线速度大小是

.

练习．如果发现一颗小行星，它离太阳的距离是地球离太阳距离的8倍，那么它绕太阳一周的时间应是

年.例7．三颗人造地球卫星A、B、C绕地球作匀速圆周运动，如图所示，已知MA=MB<MC，则三个卫星（）

A．线速度关系为vA>vB=vC

B．周期关系为TA<TB=TC

C．向心力大小关系为FA=FB<FC

D．半径与周期关系为CAB地球ABD练习、人造地球卫星在绕地球运行的过程中，由于高空稀薄空气的阻力影响，将很缓慢地逐渐向地球靠近，在这个过程，卫星的()(A)机械能逐渐减小(B)动能逐渐减小

(C)运行周期逐渐减小(D)加速度逐渐减小AC例8．如图所示，有A、B两颗行星绕同一颗恒星M做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则（）

A．经过时间t=T1+T2两行星再次相距最近

B．经过时间t=T1T2/(T2-T1)，两行星再次相距最近

C．经过时间t=(T1+T2)/2，两行星相距最远

D．经过时间t=T1T2/2(T2-T1)，两行星相距最远MAB解：经过时间t1，

B转n转，两行星再次相距最近，则A比B多转1转t1=nT2=（n+1）T1n=T1/(T2-T1)，∴t1=T1T2/(T2-T1)，经过时间t2，

B转m转，两行星再次相距最远，则A比B多转1/2转t2=mT2=（m+1/2）T1m=T1/2(T2-T1)∴t2=T1T2/2(T2-T1)BD例10．物体在一行星表面自由落下，第1s内下落了9.8m，若该行星的半径为地球半径的一半，那么它的质量是地球的

倍.解：h=1/2×g't2

∴g'=19.6m/s2=2gmg'=GmM'/r2

mg=GmM/R2

GM'/r2=2×GM/R2∴M'/M=2r2/R2=2×1/4=1/21/2例11．一物体在地球表面重16N，它在以5m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重为9N，则此火箭离开地球表面的距离是地球半径的（

）

A．1倍B．2倍

C．3倍D．4倍解：

G=mg=16NF-mg'=mamg'=F-ma=9-1/2mg=9–8=1N∴g'=1/16×gGM/(R+H)2=1/16×GM/R2∴H=3RC例12．地球绕太阳公转周期为T1，轨道半径为R1，月球绕地球公转的周期为T2，轨道半径为R2，则太阳的质量是地球质量的多少倍.解：

例13．地核的体积约为整个地球体积的16%，地核的质量约为地球质量的34%，求地核的平均密度为多少

(G取6.67×10－11N·m2/kg2，地球半径R=6.4×106m，结果取两位有效数字)解：GmM球/R球2=mgM球=gR球2/Gρ球=M球/V球=3M球/(4πR球3)=3g/(4πR球G)=30/(4π×6.4×106×6.67×10-11)=5.6×103kg/m3∴ρ核=M核/V核=0.34M球/0.16V球

=17/8×ρ球

=1.2×104kg/m3例14．某行星上一昼夜的时间为T=6h，在该行星赤道处用弹簧秤测得一物体的重力大小比在该行星两极处小10%，则该行星的平均密度是多大？（G取6.67×10－11N·m2/kg2）解：由题意可知赤道处所需的向心力为重力的10%2003年江苏高考14、

（12分）据美联社2002年10月7日报道，天文学家在太阳系的9大行星之外，又发现了一颗比地球小得多的新行星，而且还测得它绕太阳公转的周期约为288年.若把它和地球绕太阳公转的轨道都看作圆，问它与太阳的距离约是地球与太阳距离的多少倍.（最后结果可用根式表示）

解：设太阳的质量为M；地球的质量为m0,绕太阳公转的周期为T0，太阳的距离为R0，公转角速度为ω0；新行星的质量为m，绕太阳公转的周期为T，与太阳的距离为R，公转角速度为ω，根据万有引力定律和牛顿定律，得由以上各式得已知T=288年，T0=1年得1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴键雄星，该小行星的半径为16km。若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同。已知地球半径R=6400km，地球表面重力加速度为g。这个小行星表面的重力加速度为（）

A．400g B．g/400 C．20g D．g/2004年北京20解：设小行星和地球的质量、半径分别为m吴、M地、r吴、R地密度相同ρ吴=ρ地m吴/r吴3=M地/R地3由万有引力定律g吴=Gm吴／r吴2

g地=GM地／R地2g吴/g地=m吴R地2／M地r吴2=r吴／R地=1/400B3.发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图6－5－2所示。当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是 (

)图6－5－2A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率

B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度

C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大小大于它在轨道2上经过Q点时的加速度大小

D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度大小等于它在轨道3上经过P点时的加速度大小

[思路点拨]

解答本题时应注意以下两点：

(1)卫星在不同圆形轨道上做匀速圆周运动的速率、角速度与轨道半径的关系。

(2)卫星受到的万有引力为卫星的合外力，产生卫星的加速度。[答案]

BD例17．如图所示，某次发射同步卫星时，先进入一个近地的圆轨道，然后在P点点火加速，进入椭圆形转移轨道（该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P，远地点为同步轨道上的Q），到达远地点时再次自动点火加速，进入同步轨道。设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在P点短时间加速后的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在Q点短时间加速后进入同步轨道后的速率为v4。试比较v1、v2、v3、v4的大小，并用大于号将它们排列起来

。v4v3v1v2QP解：v4v3v1v2QP根据题意在P、Q两点点火加速过程中，卫星速度将增大，所以有v2＞v1、v4＞v3，而v1、v4是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的线速度，由于它们对应的轨道半径

r1＜r4，所以v1＞v4。卫星沿椭圆轨道由P→Q运行时，由于只有重力做负功，卫星机械能守恒，其重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，因此有v2＞v3把以上不等式连接起来，可得到结论：

v2＞v1＞v4＞v3例9．宇宙飞船要与轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站（）

A．只能从较低轨道上加速

B．只能从较高轨道上加速

C．只能从空间站同一高度轨道上加速

D．无论从什么轨道上加速都可以A练习．地球的质量约为月球的81倍，一飞行器在地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，这飞行器距地心的距离与距月心的距离之比为

.9∶1例16.“神舟三号”顺利发射升空后，在离地面340km的圆轨道上运行了108圈。运行中需要多次进行“轨道维持”。所谓“轨道维持”就是通过控制飞船上发动机的点火时间和推力的大小方向，使飞船能保持在预定轨道上稳定运行。如果不进行轨道维持，由于飞船受轨道上稀薄空气的摩擦阻力，轨道高度会逐渐降低，在这种情况下飞船的动能、重力势能和机械能变化情况将会是（）

A.动能、重力势能和机械能都逐渐减小

B.重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能不变

C.重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，机械能不变

D.重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小解：由于阻力很小，轨道高度的变化很慢，卫星运行的每一圈仍可认为是匀速圆周运动。由于摩擦阻力做负功，根据功能原理，卫星的机械能减小；由于重力做正功，卫星的重力势能减小；由可知，卫星动能将增大。答案选DD练习.发射同步卫星的一种方法是:先用火箭将星体送入一近地轨道运行,然后再适时开动星载火箭,将其通过椭圆形过渡轨道,最后送上与地球自转同步运行的圆形轨道,那么变轨后与变轨前相比,卫星的(

)A.机械能增大,动能增大;B.机械能增大,动能减小;C.机械能减小,动能减小;D.机械能减小,动能增大。B04年浙江23(16分)在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。火星可视为半径为r0的均匀球体。解：

以g′表示火星表面附近的重力加速度，M表示火星的质量，m表示火星的卫星的质量，m′表示火星表面处某一物体的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律，有设v表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，它的竖直分量为v1，水平分量仍为v0，有由以上各式解得

解析：根据题意，星体能绕其旋转，它绕“黑洞”作圆周运动的向心力，显然是万有引力提供的，据万有引力定律，可知“黑洞”是一个有质量的天体。【例18】天文学家根据天文观察宣布了下列研究成果：银河系中可能存在一个大“黑洞”，距“黑洞”60亿千米的星体以2000km/s的速度绕其旋转；接近“黑洞”的所有物质即使速度等于光速也被“黑洞”吸人，试计算“黑洞”的最大半径。设黑洞和转动星体的质量分别为M和m，两者距离为R，利用万有引力定律和向心力公式列式：GMm／R2＝mv2／R，得到GM＝v2R，题中还告诉一个信息：即使是等于光速的物体也被“黑洞”吸入，据此信息，可以设想速度等于光速的物体恰好未被“黑洞”吸入，可类比近地卫星绕地球作圆周运动，设“黑洞”半径为r,用类比方法得到G·M＝c