答案-习题-第二章2离散时间信号与系统频域分析

(n1

(nx(n)an(|a|1(5)x(n) 21

(6)x(n) 21

u(n

x(n) 2

(8)x(n)n

,(nz变换的定X(z)(n)zn由zX(z)(n1)znz由zX(z) (n1)znzzz由z

n n

X(z)

aazaz

a

1 1

az1

1az

za

z0,zz变换的定义可知

1n X(z) 1()u(n () n12

1即z2

n0 1 z2z2

z由z

X(z)

()nu(n1)zn

()nzn2nzn

1

22z1z22

由z 1

1 X(z)

n

()

u(n)znn

()2

(2zn

122z1z22

由zX(z)1dX

(n)zn1(zn1)

,|z|

zX(z)lnzln(1z) 1X(z)dX(z)的收敛域相同X(z)的收敛域为|z|(1)x(n)RN(n),N (2)x(n)e

x(n)x(n)

x(n)x(n)anez变换的定X(z)RN(n)znz

11z变换的定 X(z)ej0nu(n)znej0nzn

1j

1e0

zz变换的定 X(z)sin(0n)u(n)znsin(0n)zn 001(ejnejn)zn1 002 2j1ej0 1ej012

(ej0ej01(ej0ej0)z1z2z1sin 012z1cos0

zz变换的定 X(z) cos(n)u(n)zn cos(n)zn 001(ejnejn)zn1 002

21ej0

1ej01

2(e

ej0 1(ej0ej0)z11z1 012z1cos0

zz变换的定 X(z)anu(n)zn

anzn z

1z变换的定 X(z)anej0nu(n)znanej0nzn

1jz

1ae0X(z)，试分别用留数定理法、部分分式法以及长除法求逆Z

X(z)

11z12212

z2

X(z)

11z

z2

X(z)12z

z

X(z)12z

z

z4

z4x(n)1 zn1dz,cz12jc11z 2当n0时， zn11zn在c外有z1一个单极点1

z 1 2 x(n)

zn

nRes z 当n0

221

zn1 znc1 z1 212x(n) 2

u(n1X(z) 1 z

zz 1因为z 所以x(n) u(n2长除法

2zz222z4z28z31z1112

12z4z2X(z)2z

()11

1所以x(n) u(n2x(n1 zn1dz,cz12jc11z 2当n0时， zn11zn在c内有z1一个单极点1

z 1 2 n 1x(n)Resz

1122

2

,n当n0时， zn1

znc1 z1 212x(n) 2

X(z) 11z

zz因为z

1所以x(n)

2长除法z1z1x(n 11z11z z11

12

z1z21z11z 1z21z 1X(z) z1 1

z2 n02

2x(n) 2

1

x(n) 2

x(n vX(zzn1dzc为z12 当n0时，X 在c外有一个单极点z2x(n)Res[X

z

Res[X

z31

5 12222,(n 当n0X

31 5 1nx(n) u(n22 2 2

X z

z z z2 1 1 1 1zz z z 2 2 2 2 31 5 1nX(z) ，x(n) u(n 2 长除法1z21

8z4z232z316z418z18z8z32z34z24z232z3iix(n),n…08--…x(n1 zn1dz,设cz2内的逆时针方向闭合曲2jc11z21 z 当n0时 1 z2

在c内有z 两个极2z x(n)Res[X 1Res[Xz 31

5 1 22 2 2 当n01

zn1z2znc x(n)

z2 31 5 1nx(n) 22 2 2 X(z)111z

211

211 31 5 1n因为z 所以x(n) 2 长除法z12

2，因x(n)是右边序列，所以要按11z

1z3 1 12z12z4

z2z11z42z11z81z21z 1z2 z 11z3 z 1x(n),n…01-1418…1 1 设：x(n)a b x(0)x(1)求出系数a3、b 31 5 1n 22 2 211z已知X(z) 13z11z (1)

z (2)4

z (3)2

z 11z 11zX(z)

3z1

z 11z111z1 242 4 1 1n因为收敛域z 4 u(n 4 11zX(z)

1

1z1 z

482424 1 1nz2x(n4234 211z2X(z)

3z1

z2

1

1

2 4 1 14

z2x(n4234 X(z) 11z 1 z1z2 z11z22 z12x(n) 2jc

5 5z 令FzXz

1 z112z1

z2 2n0c内无极点xn0z1z2，那么 x(n)

Res[F 2

Res[F(z), 5z z1 5z z1 21zzz2 z0 zz 2 21 22nu(n2 当收敛域12FzXzzn1

z 时，这是一个双边序列，令5z z1z 2 n0cz2 1x(n)Res[F ] 2n0c01,0是一个nc外极点留数，c2x(n)Res[F(z),2]22nu(n1最后得到：x(n) 2

u(n)22nu(n 1 当收敛域z2时，这是一个因果右序列，令FzXzzn1 5z 1 z z 2 21

1x(n)Res[F 2 221 最后得到x(n) 22n2 x(nanu(n0a1Z (2)

(n

(n1)(nX(z)ZTanu(n)anu(n)zn ,z1 1

ZTanu(n)anzn

anzn ,z1

ZTnx(n)

X(z) ,za 1az12ZTn1x(n)n1an12

1naz

n a1z2az1n112

az1 az1az1 1az1

,zaz

n1az n1 az 2!1az1 aza12z1

az a2 3,z 1ZTn1n2x(n)

n1n2anza1z3 n3n1n2

az a1z3 1n12!az 2!1 a1z32!1 a1z3 2!1az12 ,z1az1已知信号y(n)与两个信号x1n)x2(n)的关系为:其

y(n)x1(n3)x2(n1)x(n)1

1 2

，x2(n)3 Zy(nZ变换Y(z1∵x(n) ∵21x2(n) 3x(n3)

z1x(n)

112(z1)

z1

11 31x2(n1)1 3∵y(n)x1(n3)x2(nY(z)Zx1(n3)Zx2(n

z

11z111

(z3)(z1 已知线性时不变系统的单位冲激响应为h(nanu(n)0a1x(nbnu(n0b1y(n y(n)x(n)b>ay(nh(m)x(n =amu(m)bnmu(nm)=ambnmu(nm)= b

ab<ay(nx(m)h(n

anmu(nm)bmu(m) a y(nabanabbnZ1Y(z)X(z)H(z)1

1bz1abab,zmaxa,by(n)

an

a a 求x(n)R5(n)的离散时

X(ej)~解：根 X(e

)DTFTRN

jN jN jN1ejN e j j j1

e e2e ejN1sinN2sin2 2 将N=5代入上式 ej2sin X(ej)

sin

2 025 025w(nn0 (2)anRN

eancos(

e(aj0anu(n)，0a0X(z)Zx(n)Z(nn)0zX(ej)X(zz

e 1aNX(z)ZaR(n)

11aNejX )X(z)|z 1aeX(z)Zeanu(n)

11eaX(ej)X(z)

ze

1eaejX(z)Ze(j0)nu(n)

1e(j0)X(ej)X(z)

ze

1eej(0X(z)Zeancos(wn)u(n)

1z1eacos0 12z1eacoswe2a0X(ej)X(z)

1ejwacos00ze 12ejwacoswej20

X(e a

1ae已知X(ej)DTFT[x(n)]，试求下列序列的离散时 变

x(nn0x

x2n2

y(nx(n)n0，n

(9) (10)y(nx(n2)n nFT[x(nn0)]x(nn0)e令n=nn0n=nn0FT[x(nn0)]

x(n)ejnn0ejn0X(eFT[x(n)]x(n)e令n=-n,FT[x(n)]

x(n)ejnX(e FT[x(n)]x(n)ejnx(n)ejnX(e

FT[x(n)]x(n)ejnx(n)ejn 令n=-n, FT[x(n)]x(n)ejn

X(e FT[x2(n)]1X(ejw）X(ejw）=1X(e ejww

2X(ejw)x(n)ejdX(ejw) j

nx(n)ejwnjFT dX(ejwFTnx(n)

dX(ejw∵FTnx(n)j 令nx(nFTn2x(n) dY(ejw d2X(ejw

FTny(n)

FTy(n)x(n)e11

x(n)1nx(n)en2 1

n

1X(ejw)X(ejw)2 FTx(2n)x(2n)e令n=2n,则FT[x(2n)] n取偶

j 22n2 j

j2w X(e2)X(e 2 2FTy(n) 2令n1nn,2FTy(n)x(n)ej2nX(ej2wn=-X(ej)X(ej0 (2)X(ej(3)

X(ej

(4)

jX(e)

ReX(ejx 图 解：(1)X(ej0x(n)ej0nx(n X(ej)

x(n)ejn1nx(n)44

X(ej)d

X(ej)ej0d2x(0)4

X(ej)2d

x(n)2∵X(ej)

x(n)edX(ej

(jn)x(n)edX(ejDTFT(jn)x(n)

|(jn)x(n)n2x22(901636144

ee

x(n)1x(n) x1n),x2n)是因果稳定序列，试证明 X(ej)X(ej)d X(ej)d X(ej)d2 2 证明设y(n)x1(n)x2 则Y(z)X1(z)X2Y(ej)X1(ej)X2(ej X(ej)X(ej)e

Y(ej)ejndy(n)x(n)x2 X(ej)X(ej2 x(n)x(n) nx(k)x(nk

x(0)x

k

x1(n)2X1(e x(n)1 X(ej)ejnd x(0) x(0)

X(ej1X(ej 2 X(ej)X(ej2 { X )d{

1X(ej2 2 || ||c(1)HLP ) ||c

HHP ) c 求滤波器分别对应的单位冲激响应hLP(n)hHP(n。 (n)

(ej)ejnd

wcejndsincc(n)h

(ej)e

2 2 1ejnd1wce2 2sin，x(n)为实偶函

x(nX(ejw）x(n)ex(n)为实偶函数X(ejw）x(n)e X(ejw）x(n)ejnx(n)ej()nX(e 上式说x(n)是实序列，X(ejw）具有共轭对 X(ejw）x(n)ejnx(n)(coswnjsin x(n)sinwn该式说X(ejw）是实函数，且是w的偶函总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的变换X(ejw）是实、偶函数x(n上面已推出，由于x(n)是实序列，X(ejw）具有共轭对称性X(ejw）X(e X(ejw）x(n)ejnx(n)(coswnjsin x(n)coswn因此X(ejw）jx(nsin说明X(ejw）是纯虚函数，且是w的奇函x(nanu(n0a1x(nx(n 间变换eFT[x(n)]

jw 1ae ReX(e Re[1aej1aej 1acos1a22acosFT[x(n)] jw 1ae jImX(e j

j 1ae

aej1aej 1a22acos

rxx(n)x(n)x(n试用x(n)的Z变换X(z)和 变换X(ej)分别表示自相关函数的Z变换Rxx(z)和傅变换Rxx(ej)。 Rxx(z)x(n)x(nm)zmx(n)x(nm)zn Rxx(z)x(n)x(m')zm'n m'

x(m')zm'X(z1)X(zm'rxx(mx(n)x(nm)x(mRxx(z)X(z1)X(z R(ejw) z

X(ejw)X(ejwx(n)是实X(ejwX*(ejwRxx(ejw)

X(ejw)y(n)0.9y(n1)0.05u(n),y(n)0,ny(n)0.9y(n1)0.05u(n),y(1)1,y(n)0,n解：（1）Y(z)0.9Y(z)z1 1zY(z) (1z1)(1F(z)Y(z)zn1 (1z1)(10.9z

zn1 (z1)(z

n0y(n)Res[F(z),0.9]Res[F0.050.9n10.050.50.9n1 n0,y(n) 最后得y(n)(0.50.9n1 Y(z)0.9z1[Y(z)

k

1zY(z)0.9z1[Y(z)y(1)z] 1zY(z)0.9z1Y(z)0.9 0.950.9zY(z)(1z1)(10.9z 1z0.950.9zF(z)Y(z)zn1(1z1)(10.9z1)z

0.95z0.9(z1)(z

n0y(n)Res[F(z),0.9]Res[F(z),1](0.450.9ny(n0.450.9n0.5)u(n(ny(n)2rcosy(n1)r2y(n2)解：取0<a<1,0<r<1,=常数Y(z)2rY(z)z1cosr2Y(z)z2 1az 于是Y(z) 1

12rcosz1r2

(za)(zz)(zz z1rejzrej2zmax(ran0,y(n0y(n) Y(z)zn1dz,cazz2jF(z)Y(z)zn1

1z zn1

2(za)(zz1)(zz2 (za)(zz1)(zz2y(n)Res[F(z),a]Res[F(z),z1]Res[F(z),z2an z z (az1)(az2 (z2a)(z2z1(reja)(rej)n2(reja)(rej)n2j2rsinan2j2rsin(reja)(reja)H(z) z

0.5y(n)y(n1)y(n2)x(n求系统函数H(z)若系统是因果的，H(z)的收敛域，并求出单位冲激响应h(n)若系统是稳定的，H(z)的收敛域，并求出单位冲激响应h(n)对题中给出的差分方程的两边作Z变换Y(z)z1Y(z)z2Y(z)z1XY z 所以H(z) 2X 1 (zaX 1

51.62，z，za20.51 50.62H(z) (za1)(