第14次课第7章弹性薄板弯曲

第九章弹性薄板的弯曲问题几何模型几何特征1.板(平板)2.板面(上、下)3.板边4.板厚5.中面6.薄板:

9.1基本概念与基本假设载荷特征薄板受载荷时,总可以把每一个荷载分解为在中面之内的纵向荷载和垂直于中面的横向荷载。前者可以按平面应力问题考虑，后者按薄板弯曲问题进行计算。Kirchihoff直法线假设：

变形前与中面垂直的直线段，变形后仍保持直线段并与中面垂直。由此假设可知：在yz,xz平面内无角变形，即不考的竖向平面内的剪切变形。

小挠度薄板弯曲理论是以下面的三个假设为基础的：yz平面xz平面γyz=

0γxz=

0所以有从而有由物理方程但容许和不等于零，以满足平衡方程的需要。因为由几何方程得因为所以即中面内的竖直位移函数w|z=0=w(x,y)

称为挠度函数。2.中面弯曲时，中面内的各点没有平行于中面的位移，只有垂直位移。

在物理方程中3.不计垂直于中面的正应变，即不考虑板的压缩。则，因为是薄板所以仍忽略的大小，但建立边界平衡时,要考虑的大小。该薄板的本构方程与平面应力问题的本构方程相同。所以小挠度薄板弯曲的问题属于弹性力学平面问题因为不计引起的变形，所以本构方程为

薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解的，即取挠度w(x,y)为基本未知函数。因此，要用w(x,y)来表示其他物理量，来建立所谓的弹性曲面微分方程。9.2弹性曲面的基本微分方程分别对z

进行积分后得再由（2）式得由上节中的（1）式，位移函数:AMA’M’OZuxzθZw=w(x,y)把上式代入物理方程，可得用w表示的应力分量表达式。得用w

表示的应变分量表达式:由几何方程几何方程:得本构方程:由下面求用w表示的τzy及τzx的表达式，由平衡方程得将上式对z

积分后,利用薄板在下面和上面的边界条件可得以下表达式平衡方程:下面来推导用w

表示的σz

的表达式，如果体力分量fz=0，可得下面平衡方程式：和上面的推导方法相同，利用边界条件可得σz的表达式现在导出用w

表示的平衡微分方程,在薄板的上面有边界条件此即薄板的弹性曲面微分方程，其中称为薄板的弯曲刚度。或其中q是薄板每单位面积内的横向荷载，包括横向面力及横向体力。将σz

的表达式代入上述边界条件可得弹性曲面平衡微分方程几何方程：本构关系：以

w(x,y)为未知函数，则有位移表达式9.3薄板横截面上的内力σx,

σy,τxy

为

z

的奇函数，因此它们在薄板全厚度上的代数和为零，只能在截面上分别形成弯矩Mx,My

及扭矩Mxy。而剪应力τxz，τyz

将分别形成横剪力Qx，Qy。内力(广义应力):联合上节推导的应力分量表达式可得xzy广义应变

y方向曲率x方向曲率扭率广义应力与广义应变的关系应力与广义应变（广义应力）的关系以上的内力，都是作用在薄板每单位宽度上的内力,因此弯矩和扭矩的量纲都是[力]，横向剪力的量纲是。在薄板弯曲问题中，一定荷载所引起的弯曲应力和剪应力在数值上最大,因而是主要应力；横向应力在数值上较小，是次要应力；厚向应力在数值上更小，是更次要的应力。

σx

σy

τxy

τxz,τyzσzdxdy如右图所示,由于在六个平衡方程中自动满足,其余三个平衡方程为:内力的平衡薄板的平衡方程即dxdy消去Qx

、Qy把弯矩和扭矩的表达式代入得上式就是用第二种方法推得的薄板弯曲微分方程或挠度方程。9.4薄板弯曲问题的边界条件基本方程为四阶偏微分方程矩形薄板，每个边界必须给出两个边界条件。自由边：固支边：简支边：如右图所示边界条件：xyBADCx=0y=0y=bx=aba固支边简支边自由边自由边：7.5薄板弯曲问题解例本节首先通过介绍简支矩形薄板的纳维解法，来理解一下求解薄板弯曲问题的思路。四边简支的矩形薄板，当无支座沉陷时，边界条件如下：简支板中面支座挠度取为如下双三角级数：现在将q

展开成与上式左边相同的形式，即代入弹性曲面微分方程可得下式：(c)两边同乘以、后从0到a对x积分，从0到b对y积分,并