第5篇ch12代数系统ch13群ch14环与域

第五篇代数系统第12章代数系统(结构)

1521代数系统的引入定义12-1.1如果

为An到B的一个函数，则称

为集合A上的n元运算（operater）。如果BA，则称该n元运算在A上封闭。定义12-1.2一个非空集合A到连同若干个定义在该集合上的运算

f1,f2,…,fk

所组成的系统称为一个代数系统（代数结构），记为<A,f1,f2,…,fk>

。定义12-1.2‘代数结构是由以下三个部分组成的数学结构：（1）非空集合S，称为代数结构的载体。（2）载体S上的若干运算。（3）一组刻划载体上各运算所满足性质的公理。代数结构常用一个多元序组<S，，，…>来表示,其中S是载体,,，…为各种运算。有时为了强调S有某些元素地位特殊,也可将它们列入这种多元序组的末尾。12-2运算及其性质定义12-2.1~6

设和为集合A上的二元运算:

若xy(x,yA→xyA),则称在A上封闭。若xy(x,yA→xy=yx),则称满足交换律。若xyz(x,y,zA→x(yz)=(xy)z),则称满足结合律。若xyz(x,y,zA→x(yz)=(xy)(xz))

，则称对满足分配律。若xy(x,yA→x(xy)=x,x(xy)=x)

，则称和满足吸收律。若x

(xA→xx=x)

，则称满足等幂律。

定义12-2.7

设为集合A上的二元运算:

若elx(el,xA→elx=x),则称el为A中的左幺元。若erx(er,xA→xer=x),则称er为A中的右幺元。若ex(e,xA→ex=xe=x),则称e为A中的幺元。

定理12-2.1

代数结构<A，>有关于运算的幺元e，当且仅当它同时有关于运算的左幺元el和右幺元er

。并且其所含幺元是唯一的,即el=er=e

。

证明：先证左幺元el=右幺元er=e

el=eler

=er=e

再证幺元e是唯一的设还有一个幺元e’A,则

e’=

e’

e=

e

定义12-2.8如果

lA，满足:对一切xA，都有

lx=l则称元素l

为左零元。如果rA，满足:对一切xA，都有

xr＝r则称元素r

为右零元。如果A且对任意xA，都有

x＝x＝则称元素为代数结构<A，>(关于运算)的零元(zero)。

定理12-2.2

代数结构<A，>有关于运算的零元

，当且仅当它同时有关于

运算的左零元l和右零元r

。并且其所含零元是唯一的,即l=r=

。定理12-2.3

如果代数结构<A，>有关于运算的零元

和幺元e

，且集合A中元素个数大于2，则≠e

。

证明：用反证法：

反设幺元e

=零元

，则对于任意xA

，必有

x

=

e

x=

x

==

e

于是，推出A中所有元素都是相同的，矛盾。

证明：先证左零元l=右零元r=

l=l

r=r=

再证零元是唯一的设还有一个幺元

’A,则

’=’

=

定义12-2.9设代数结构<A，，e>中

为二元运算，e为么元，a,b

为A中元素,若ba＝e，那么称b为a的左逆元，a为b的右逆元。若ab＝ba＝e，那么称a(b)为b(a)的逆元（inverseelements）。

x的逆元通常记为x-1;但当运算被称为“加法运算”（记为+）时，x的逆元可记为-x

。

一般地，一个元素的左逆元不一定等于它的右逆元。一个元素可以有左逆元不一定有右逆元。甚至一个元素的左（右）逆元不一定是唯一的。

定理12-2.4

设<A,>有么元e，且运算满足结合律,那么当A中元素x有左逆元l及右逆元r时,l=r,它们就是x的逆元。并且每个元素的逆元都是唯一的。

证明：先证左逆元=右逆元

设a,b,c，且b是a的左逆元，c是b的左逆元。因为：（ba）b

=eb=b所以：

e=cb=

c(（ba）b

)

=

(c（ba）

)

b=

(（cb）a

)

b=

(（e）a

)

b=ab(b也是a的右逆元)

再证逆元是唯一的

设a有两个逆元b1和b2，则有

b1=b1

e=

b1

（a

b2

）

=

（

b1

a）

b2=

e

b2=b2

P183~184页例题10、11、12

二元运算的性质可以根据运算表表现出来：

1）运算具有封闭性，当且仅当运算表中的每个元素都属于A。

2）运算具有可交换性，当且仅当运算表关于主对角线是对称的。

3）运算具有等幂性，当且仅当运算表的主对角线上的每一元素与它所在行（列）的表头元素相同。

4）A中关于运算具有零元，当且仅当该元素所对应的行和列中的元素都与该元素相同。

5）A中关于运算具有幺元，当且仅当该元素所对应的行和列依次与运算表的行和列相一致。

6）设A中关于运算具有幺元，a和b互逆，当且仅当位于a所在行和b所在列的元素及b所在行和a所在列的元素都是幺元。

第13章群论13-1半群与幺半群定义13-1.1如果集合S上的二元运算

是封闭的，则称代数结构<S，>为广群。定义13-1.2如果集合S上的二元运算

是封闭的并且满足结合律，则称代数结构<S，>为半群（semigroups）。

定理13-1.1

设<S,>为一半群,BS且在B上封闭，那么<B,>也是一个半群，称为<S,>的子半群。

证明思路：结合律在B上仍成立。

例题3：乘法运算在某些集合上构成<R,×>的子半群。定理13-1.2设代数结构<S，>为一个半群，如果S是一个有限集合，则必有aS

，使得aa=a。

证明思路:因<S,>是半群,对于任意bS，由于的封闭性可知

b

bS记b2=b

bb2

b=b

b2S记b3=b2

b=b

b2………

b,b2,b3,…,bi,…,bq,…,bj(最多有|S|个不同元素)

因S是一个有限集合，所以必存在j>i，使得

bi

=

bj

令

p=j-i

即

j=p+i

代入上式：bi

=

bp

bi

所以，bq

=

bp

bq

i≤q

因为p≥1所以总可以找到k≥1，使得kp≥i,

对于bkp

S，就有

bkp

=

bp

bkp

=

bp

(bp

bkp

)

=

b2p

bkp

=

b2p(bp

bkp

)

=...=

bkp

bkp

p=j-i

定理13-1.3设<S,,e>是一个独异点,则在关于运算的运算表中任何两行或两列都是不相同的。定义13-1.3设代数结构<S,>为半群，若<S,>含有关于

运算的么元,则称它为独异点(monoid)，或含么半群。

证明:因S

中关于运算的幺元是e，因为对于任意的元素a,bS，且a≠b时，总有

ea=a≠b=eb

和

a

e

=a≠b=b

e

所以，在的运算表中不可能有两行或两列是相同的。

例题4:因设I是整数集合，m是任意正整数，Zm是由模m的同余类组成的同余类集，在上定义两个二元运算+m和×m分别如下：对于任意的[i]，[j]Zm

[i]+m[j]=[(i+j)(modm)][i]×m[j]=[(i×j)(modm)]

试证明在这两个二元运算的运算表中任何两行或两列都是不相同的。证明：考察代数结构<Zm

,+m>和<Zm

,×m>

，先分三步证明<Zm

,+m>是独异点，再利用定理5-3.3的结论：

1）根据运算定义，证明两个运算在Zm上封闭；

2）根据运算定义，证明两个运算满足结合律；

3）根据运算定义，证明[0]是<Zm

,+m>的幺元，[1]是<Zm

,×m>的幺元。

本例题的实例见表16-1.2和表16-1.3

定理13-1.4设<S,,e>是一个独异点,如果对于任意a,bS

，且a,b均有逆元，则

a)

(a-1)-1=a

b)

(ab)-1有逆元，且(ab)-1

=b-1

a-1

。

证明:

a)

因a-1和a为互为逆元，直接得到结论。

b)

必须证明两种情况：

(ab)[b-1

a-1

]=e

和[b-1

a-1

]

(ab)=e利用结合律容易得出。13-2.2群与子群定义13-2.1

称代数结构<G,>为群(groups),如果（1）<G，>中运算是封闭的。（2）<G，>中运算是可结合的。（3）<G，>中有么元e.

（4）<G，>中每一元素x都有逆元x-1。例题1R={0°,60°,120°,180°,240°,300°},是R上的二元运算，a

b表示先旋转a再旋转b的角度，如表5-4.1所示。验证代数结构<R,>为群。

解题思路：验证<R,>

（1）运算封闭；（2）运算是可结合的；（3）有么元0°;（4）每一元素x都有逆元x-1。定义13-2.2

设<G,>为一群。若

G为有限集，则称<G,>为有限群（finitegroup）,此时G的元素个数也称G的阶(order),记为|G|；否则，称<G,>为无限群（infinitegroup）。定理13-2.1

设<G，>为群，那麽当G

{e}时,G无零元。

证明:因当群的阶为1时，它的唯一元素是视作幺元e

。设|G|>1

且群有零元。那么群中任何元素xG，都有

x

=

x

=≠

e，所以，零元就不存在，与<G，>是群的假设矛盾。

代数结构小结封闭

<G,>广群半群独异点群结合含幺可逆<G,>广群半群独异点群定理13-2.2

设<G，>为群，对于a,bG，必存在xG

，使得关于x的方程ax＝b，xa＝b都有唯一解．

证明:1）先证解存在性

设a的逆元a-1，令

x=

a-1

b

（构造一个解）

ax＝a

（a-1

b

）＝（aa-1

）

b

＝e

b＝

b2）再证解唯一性若另有解x1满足ax1

＝b，则

a-1

（ax1）＝a-1

b

x1＝a-1

b

验证确实是解定理13-2.3

设<G，>为群，那麽，对任意a,x,yS

ax=ay蕴涵x=y

xa=ya蕴涵x=y

G的所有元素都是可约的．因此，群中消去律成立。

证明:设ax＝ac,且a的逆元a-1，则有

a-1（a

b

）＝a-1（a

c

）

e

b＝

e

c

b＝

c

同理可证第二式。

定义13-2.3

设S是一个非空集合，从集合S到S的一个双射称为S的一个置换。设S={a,b,c,d}f:SSf(a)=b;f(b)=d;f(c)=a;f(d)=c表示成如下形式：abcdbdac源象定理13-2.4

设<G，>为群，那麽，运算表中的每一行或每一列都是群G的元素的置换。

证明:先证G中每一个元素只出现一次

用反证法：设a对应行有两个元素b1、b2对应的都是c,即

a

b1＝ab2＝

c,且b1≠

b2

由可约性得b1＝

b2

与假设矛盾。

再证G中每一个元素必出现一次对于元素aG的那一行，设b是G中的任意一个元素，由于b=

a（a-1

b）

，所以b必定出现在对应于a的那一行。

再由运算表中任何两行或两列都是不相同的。得出要证的结论。对列的证明过程类似。

定理13-2.5在群<G，>中，除幺元e之外，不可能有任何别的等幂元。定义13-2.4设<G，>为群，如果存在aG，有aa=a

，则称

a为等幂元。

证明:因为ee=e

，所以e是等幂元。现设aG，a≠e且aa=a

则有

a=ea=(a-1a)a=a-1(aa)=a-1a=e

与假设a≠e且矛盾。定义13-2.5

设<G，>为群。如果<S，>为G的子代数，且<S，>为一群，则称<S，>为G的子群(subgroups)。定理13-2.6

设<G,>为群，<S,>为G的子群，那么，<G,>中的幺元e必定也是<S,>中的幺元。证明:设<G,>中的幺元为e1

，对于任意一个元素

xSG,必有

e1

x=x=ex

则有e1=e

定义13-2.6

设<G,>为群，<S,>为G的子群，如果，S

={e}或S

={G}，那么称<S,>为<G,>的平凡子群。例题3<I,+>是一个群，设IR={x|x=2n,nI}，证明<IR,+>是<I,+>的一个子群。证明:(1)对于任意两个元素

x，yIR

I,证+运算在IR上封闭。

(2)证+运算在IR上满足结合律。

(3)<IR,+>在IR上有幺元0。

(4)对于任意一个元素

xIR上必有逆元-x

。定理13-2.7

设<G,>为群，B为G的非空子集，如果B是一个有限集,那么,只要运算在B上封闭,<B,>必定是<G,>的子群。证明:设任意元素bB，若在B上封闭，则元素

b2=bb,b3=b2b,b4=b3b,...,都在B中。由于是有限集，所以必存在正整数i和j(i<j)，使得

bi=bj

必有bi=bi

bj-i

即bj-i

是<G,>中的幺元。且该幺元也在子集B中。如果j-i>1，则由bj-i

=bbj-I-1可知bj-I-1是b的逆元，且bj-I-1B

；如果j-I=1，则由bi=bib可知b是幺元，而幺元是以自身为逆元的。因此，<B,>必定是<G,>的子群。定理13-2.8

设<G,△>为群,S为G的非空子集,如果对于任意元素a,bS有a△b-1S,那么,<S,△>必定是<G,△>的子群。分四步证明:1）先证G中的幺元e也是S中的幺元对任意元素aSG,

e=a△

a-1S

且a△e=e△a=a，即e也是S中的幺元。

2）再证S中的每一个元素都有逆元对任意元素aS中，因为eS，

所以e△a-1S，即a-1S。

3）最后证明△在S中是封闭的对任意元素a,bS,b-1S,而b=(b-1)-1

所以a△b=a△=(b-1)-1S。

4）结合律是保持的定义13-3.1

设<G,>为一群,若

运算满足交换律,则称G为交换群或阿贝尔群(Abelgroup)。阿贝尔群又称加群，常表示为<G，+>

（这里的+

不是数加，而泛指可交换二元运算）。加群的幺元常用0来表示，元素x的逆元常用-x来表示。13-3阿贝尔群和循环群定理13-3.1

设<G,>为一群,<G,>是阿贝尔群的充要条件是对任意的a,bG，有

（ab）（ab）=（aa）（bb）

证明:1）先证充分性从条件“（ab）（ab）=（aa）（bb）”出发，推出“<G,>是阿贝尔群”的结论：对于元素a,bG，有(ab)(ab)=(aa)(bb)

因为

右端=a(ab)b=(aa)(bb)=(ab)(ab)

=a(ba)b

即

a(ab)b=a(ba)b

由可约性得，用a-1左上式，再用b-1右上式，

(ab)=(ba)

2）再证必要性从“<G,>是阿贝尔群”的结论出发

，推出

“(ab)(ab)=(aa)(bb)”条件：略

定义13-3.2

设<G,>为群，如果在G中存在元素a,使G以{a}为生成集，G的任何元素都可表示为a

的幂（约定e=a0）,称<G,>为循环群(cyclicgroup)，这时a称为循环群G的生成元（generater）。定理13-3.2

设任何一个循环群必定是阿贝尔群。

证明思路:循环群是阿贝尔群设<G,>是一个循环群，a是该群的生成元，则对于任意的x,yG

，必有r,sI，使得

x=ar

和y=as

而且xy=aras=ar+s=as+r=aras=yx因此，运算可交换，是阿贝尔群。

定义13-3.3设<G,>为群，aG，如果an=

e,

且n为满足此式的最小正整数,则称a的阶(order)为n，如果上述n不存在时,则称a有无限阶.定理13-3.3设<G,>为循环群，aG是该群的生成元，如果G的阶数是n

，即|G|=n

，则an=e,且

G={a,a2,a3,...,an-2,an-1,an=e}其中，e是群<G,>的幺元。n是使的最小正整数。

证明思路:先证a的阶为n

设对于某个正整数m,m<n,有am=e。那么，由于

<G,>是一个循环群，所以对于G中任意的元素都能写为ak(kI),而且mq+r,其中q是某个整数,0≤r<m,则有

ak=amq+r

=(am)qar

=(e)qar

=ar因此，G中每一元素都可写成ar，G中最多有m个元素。与|G|=n矛盾。所以am=e是不可能的。再用反证法证明a

，a2

，...

，an互不相同。设ai=aj，其中1≤i<j≤n

，就有aj-i

=e

，而且1≤j-i<n

，这已经有上面证明是不可能的。

13-4陪集和拉格朗日定理

定义13-4.2

设<H，>为<G，>的子群，那么对任一aG，称{a}H为H的左陪集(leftcoset),记为aH;称H{a}为H的右陪集(rightcoset),Ha

。

定义13-4.1

设<G,>为群,A,BP(G),且A≠0，记

AB={ab

aA,bB}和A-1={a-1aA}

分别称为A，B的积和逆。

定理13-4.1(拉格朗日定理)

设<H，>为<G，>的子群，a,bG，那么（a)R={<a,b>|aG,bG且a-1bH}是G中的一个等价关系。对于aG

，若记[a]R={x|xG且<a,x>R}，则[a]R=aH(b)设<H，>为有限群<G，>的子群，|G|=n,|H|=m,那么H阶的整除G的阶m|n

。

证明思路:先证（a）

对于任意aG，必有a-1G，使得aa-1=eH，所以<a,a-1>R。关系R是自反的。若<a,b>R。则ab-1H，因为H是G的子群，故(a-1b)-1=b-1aH

所以，<b,a>R。关系R是对称的。若<a,b>R,<b,c>R。则a-1bH,b-1cH，所以a-1bb-1c=a-1cH，<a,c>R,关系R是传递的。证明了关系R是对称的。是等价关系。对于aG,有b[a]R当且仅当<a,b>R,即当且仅当a-1bH,而a-1bH就是baH。因此[a]R=aH。

再证(b)

由于R是G中的一个等价关系，所以必定将G划分成不同的等价类[a1]R，[a2]R，...，[ak]R，使得

kkG=

∪[ai]R

=

∪aiH

i=1i=1

又因为H中任意两个不同的元素h1,h2,aG，必有ah1≠ah2，所以|aiH|=m,i=1,2,…,k。因此

kkn=|G|=|∪aiH|

=∑|aiH|=

mk

i=1i=1

所以H阶的整除G的阶m|n

。

推论1

任何指数阶的群不可能有非平凡子群。

推论2

设<G,>为n阶有限群，那么对于对于任意aG,a的阶必是n的因子且必有an=e,这里e是群<G,>的幺元。如果n为质数，则<G,>必是循环群。

13-5同态与同构定义13-5.1

设<A,★>和<B,>是两个代数系统，★和分别是A和B上的二元运算，f是从A到B的一个映射，使得对任意a1,a2A，有

f(a1★a2)=f(a1)f(a2)（先算后映=先映后算）

则称f为由代数结构<A,★>到<B,>的同态映射（homomorphism），称代数结构<A,★>同态于<B,>，记为A~B

。<f(A),>称为<A,★>的一个同态象（imageunderhomomorphism）。其中

f(A)={x|x=f(a),aA}B图16-5.1同态映射示意图

a★cb★cacb<A,★><B,>，

f(a)=f(b)

f(c)f(A)<B,>f(a)f(c)=f(b)f(c)先算后映=先映后算定义13-5.2、3

设f是由<A,★>到<B,>的一个同态，当同态f为单射时，又称f为单一同态；当f为满射时，又称f为满同态；当f为双射时，又称f为同构映射，或同构（isomorphism）。当两个代数结构间存在同构映射时，也称这两个代数结构同构。当f为<A,★>到<A,>的同态（同构）时,称f为A的自同态（自同构）。

定理13-5.2设f是由<A,★>到<B,>的一个同态。（a）如果<A,★>是半群，那么在f作用下，同态象<f(A),>也是半群。（b）如果<A,★>是独异点，那么在f作用下，同态象<f(A),>也是独异点。（c）如果<A,★>是群，那么在f作用下，同态象<f(A),>也是群。

证明思路:先证（a）：<f(A),>是半群

.证运算在f(A)上封闭

设<A,★>是半群，<B,>是一个代数结构，如果f是由<A,★>到<B,>的一个同态。则f(A)

B。对于任意的a，bf(A)

，必有x,yA

，使得

f(x)=a,f(y)=b在A中必有z=x★y,所以

ab=f(x)f(y)=f(x★y)=f(z)f(A).证在f(A)上满足结合律对于任意的a,b,cf(A),必有x,y,zA,使得

f(x)=a,f(y)=b,f(z)=c

因为在A上是可结合的，所以

a(bc)=f(x)(f(y)f(z))=f(x)f(y★z)=f(x★(y★z))=f((x★y)★z)

=f(x★y)

f(z)

=(f(x)f(y))f(z)=(ab)c

证明了<f(A),>

是半群。

再证（b）：<f(A),>是独异点设<A,★>是独异点,e是A中的幺元,那么f(e)是f(A)中的幺元。因对于任意的af(A),必有xA,使得

f(x)=a

所以af(e)=f(x)f(e)=f(x★e)=f(x)=a=f(e★x)=f(e)f(x)=f(e)a

因此f(e)是<f(A),>中的幺元，<f(A),>是独异点。

最后证（c）：<f(A),>是群设<A,★>是群,对于任意的af(A),必有xA,使得

f(x)=a

因为<A,★>是群,所以对于任意的xA,都有逆元x-1A，且f(x-1)f(A),而

f(x)f(x-1)=f(x★x-1)=f(e)=f(x-1★x)=f(x-1)f(x)

所以，f(x-1)是f(x)的逆元。即

f(x-1)=[f(x)]-1

因此<f(A),>中的任意元素都有逆元,<f(A),>是群。

综合上述(a)、(b)、(c)三步，定理证毕定义13-5.4

如果f为代数结构<G,★>到<G’,>的一个同态映射，G’中有么元e’，那么称下列集合为f的同态核（kernelofhomomorphism），记为K(f)。

K(f)={xxG∧f(x)＝e’}定理13-5.3

设f为群<G,★>到群<G’,>的同态映射，那么f的同态核K是G的子群。证明思路:先证★运算在K上封闭

e’=f(e),设k1,k2K,则

f(k1★k2)=f(k1)f(k2)=e’e’=e’

故k1★k2K，★运算在K上封闭。再证K中的元素有逆元而对任意的kK,f(k-1)=[f(k)]-1=e’-1=e’

定义13-5.5设R为代数结构<A,★>的载体A上的等价关系，如果对S中任何元素a1,a2

，b1,b2

<a1,a2>R,<b1,b2>R蕴涵<a1★b1,a2★b2>R则称R为A上关于二元运算★的同余关系(congruencerelations)。由这个将集合划分成的等价类就称为同余类。

定理13-5.4设R为代数结构<A,★>的载体A上的等价关系，B={A1，A2，...，Ar}是由R诱导的A上的一个划分，那么，必定存在新的代数结构<B,>，它是<A,★>的同态象。证明思路:在B上定义二元运算为：对于任意的Ai,Aj

B，任取a1Ai,a2Aj,如果a1★a2Ak,则AiAj

=Ak

。由于R是A上的同余关系,所以,以上定义的AiAj

=Ak是唯一的。

故k-1K。结论得证。作映射f(a)=Aia

Ai显然，f是从A到B的满设。对于任意的x,y

A

，x,y必属于B中的某两个同余类，不防设xAi,yAj

，1≤i,j≤r，同时，x★y必属于B中某个同余类，不防设x★yAk

，于是就有

f(x★y)=Ak

=

AiAj=f(x)f(y)因此是由到的满同态，即<B,>是<A,★>的同态象。

定理13-5.5设f是由<A,★>到<B,>的一个同态映射,如果在A上定义二元关系R为<a,b>R,当且仅当

f(a)=f(b)那么，R是A上的一个同余关系。证明思路:因为f(a)=f(a)

，所以<a,a>R

。若<a,b>R

,则f(a)=f(b)

即f(b)=f(a),所以<b,a>R

。若<a,b>R,<b,c>R则f(a)=f(b)=f(c),所以<a,c>R

。第14章环与域

定义14-1设<A,★,>是一个代数系统，如果满足（1）<A,★>是阿贝尔群（或加群）．（2）<A,>是半群．（3）乘运算对加运算★可分配，即对任意元素a,b,cA

，

a(b★c)=(ab)★(ac)(b★c)a=(ba)★(ca)称代数结构<A,★,>为环（ring）。一般将★称为加运算，记为“+”，将称为乘运算，记为“”。最后，又因为若<a,b>R

，<c,d>R

，则有

f(a★c)=f(a)f(c)=f(b)f(d)=

f(b★d)所以，<ac,bd>R

。

因此，R是A上的同余关系。

定理14.1

设<A,+,>为环，那么对任意a,b,cR

（1）a=a=(加法么元必为乘法零元)

（2）a(-b)=(-a)b=-(ab)

（3）(-a)(-b)=ab

（4）a(b-c)=(ab)-(ac)

（5）

(b-c)

a=(ba)-(ca)其中是加法幺元,-a表示a的加法逆元,并将a+(-b)记为a-b。

证明思路：（1）先证=a

因为a=(+)a=a+a

根据消去律=a

再证=a（略）

（2）先证a(-b)=-(ab)

因为ab+

a(-b)=a[b+(-b)]=a=

所以a(-b)是ab的加法逆元,

即a(-b)=-(ab)

再证(-a)b=-(ab)

（略）（3）因为

a(-b)+(-a)(-b)=[a+(-a)](-b)=(-b)=和

a(-b)+(ab)=a[(-b)+b]=a=所以(-a)(-b)=(ab)

（4）a(b-c)=a[b+(-c)]=ab+a(-c)=ab+(-ac)=ab-ac

（5）

(b-c)a=[b+(-c)]a=ba+(-c)a=ba+(-ca)=ba-ca

定义14.2

当环<A,+,>中运算满足交换律时,称<A,+,>为交换环(commutativerings),当运算有么元时,称A为含么环(ringwithunity)。

例3

设S是一个集合，(S)是它的幂集。若定义(S)上的+运算和运算如下：对于任意A，B∈(S)，

A+B={x|(x∈S)∧(x∈A∨x∈B)∧(xA∩B)}AB=A∩B则<(S),+,>为环，称为S的子集环。

定义14.3

设<A,+,>是一个代数结构,如果满足：

1.<A,+>是阿贝尔群

2.<A,>

是可交换独异点，且无零因子，即对任意的a,b∈A

，a≠

，b≠必有ab≠

。

3.运算

对于运算+

是可分配的。则称<A,+,>为整环（Integralomain）。

定理14.2

在整环<A,+,>为中的无零因子条件等价于消去律(即对于c≠和c

a=cb,必有a=b)。

证明思路:整环<A,+,>中无零因子消去律

先证整环<A,+,>中无零因子消去律若<A,+,>中无零因子并设c≠和c

a=cb,

则有：

c

a-cb=c(

a-b)=,

所以，必有a=b

。

再证：消去律<A,+,>中无零因子若消去律成立，设

a≠，ab=

则

ab=a，消去a即得b=

。

定义14.4

设<A,+,>是一个代数结构,如果满足：

1.<A,+>是阿贝尔群。

2.<A-{},>是阿贝尔群。

3.运算对于运算+

是可分配的。则称<A,+,>为域（fields）。

定理14.3域一定是整环。

证明思路:设<A,