等差数列的概念及通项公式人教A版高中数学选择性必修练习（Word解析版）

第四章数列等差数列等差数列的概念第1课时等差数列的概念及通项公式课后篇巩固提升基础达标练1.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=3,则数列{an}的通项公式为()=3n-1 =2n+1=2n+3 =3n+2解析an=a1+(n-1)d=2+(n-1)·3=3n-1.答案A2.若△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,则cos(A+C)=()A.12 B.12 解析因为A,B,C成等差数列,所以A+C=2B.又因为A+B+C=π,所以A+C=2π3,故cos(A+C)=-答案C3.在等差数列{an}中,已知a1=13,a4+a5=163,ak=33,则k=( 解析设等差数列{an}的公差为d,∵a1=13,a4+a5=163,∴2a1+7d=163,解得d=23,则an=13+(n-1)×23=2n-13答案A4.在等差数列{an}中,a1=8,a5=2,若在相邻两项之间各插入一个数,使之成等差数列,则新等差数列的公差为()A.34 34 解析设原等差数列的公差为d,则8+4d=2,解得d=-32,因此新等差数列的公差为-34.答案B5.(多选)等差数列20,17,14,11,…中的负数项可以是()A.第7项 B.第8项C.第9项 D.第10项解析∵a1=20,d=-3,∴an=20+(n-1)×(-3)=23-3n,∴a7=2>0,a8=-1<0.故数列中的负数项是第8项及其之后的项,故选BCD.答案BCD6.已知{an}为等差数列,若a2=2a3+1,a4=2a3+7,则a3=.

解析∵{an}为等差数列,a2=2a3+1,a4=2a3+7,∴a1+d=2(a1+2d)+1,a1+3d=2(a1+2d)+7,解得a1=-10,d=3,∴a3=a1+2d=-10+6=-4.答案-47.已知a>0,b>0,2a=3b=m,且a,ab,b成等差数列,则m=.

解析∵a>0,b>0,2a=3b=m≠1,∴a=lgmlg2,b=∵a,ab,b成等差数列,∴2ab=a+b,∴2×lgm∴lgm=12(lg2+lg3)=12lg6=lg6.则m=答案68.正项数列{an}满足a1=1,a2=2,2an2=an+12+an-12(n解析因为2an2=an+12+a所以数列{an2}是以a12=1为首项,以d=a22-a所以an2=1+3(n-1)=3所以an=3n-2,n所以a7=3×答案199.已知x,y,z成等差数列,求证:x2(y+z),y2(x+z),z2(y+x)也成等差数列.证明因为x,y,z成等差数列,所以2y=x+z,而x2(y+z)+z2(y+x)=x2y+x2z+z2y+z2x=x2y+z2y+xz(x+z)=x2y+z2y+2xyz=y(x+z)2=2y2(x+z),故x2(y+z),y2(x+z),z2(y+x)也成等差数列.10.已知数列{an},a1=1,an+1=2an+2n.(1)设bn=an2n-1,(2)求数列{an}的通项公式.解(1)因为an+1=2an+2n,所以an+1所以an+12n-an又因为bn=an2n-1,所以bn+1-bn=1.所以数列{bn}是等差数列,其首项b1=a1(2)由(1)知bn=1+(n-1)×1=n,所以an=2n-1bn=n·2n-1.能力提升练1.已知等差数列的前4项分别是a,x,b,2x,则ab等于()A.14 B.12 C.13 解析依题意,得a+2x=答案C2.下列命题正确的是()A.若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2成等差数列B.若a,b,c成等差数列,则log2a,log2b,log2c成等差数列C.若a,b,c成等差数列,则a+2,b+2,c+2成等差数列D.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c成等差数列解析因为a,b,c为等差数列,所以2b=a+c,所以2(b+2)=(a+2)+(c+2),故a+2,b+2,c+2成等差数列,即C项正确.ABD三项通过举反例易知不正确.答案C3.已知等差数列{an}满足4a3=3a2,则{an}中一定为零的项是() 解析设等差数列{an}的公差为d.∵4a3=3a2,∴4(a1+2d)=3(a1+d),可得a1+5d=0,∴a6=0,则{an}中一定为零的项是a6.答案A4.已知{an}是公差为d的等差数列,若3a6=a3+a4+a5+12,则d=.

解析3a6=a3+a4+a5+12⇒3(a1+5d)=a1+2d+a1+3d+a1+4d+12⇒6d=12,解得d=2.答案25.已知数列{an}与an2n均为等差数列(n∈N*),且a1=1,则a10=解析设等差数列{an}的公差为d,则an=1+(n-1)d=dn+1-d,∴an2n=d2n+2d(1-d)+根据等差数列的性质可知(1-即d=1,∴a10=10.答案106.已知数列{an},a1=1,a2=23,且1an-1+1an+1解析∵1a∴数列1an是等差数列,公差d=∴1an=1a1+(n-1)d=1+1∴an=2n答案27.已知等差数列{an}:3,7,11,15,….(1)求等差数列{an}的通项公式.(2)135,4b+19(b∈N*)是数列{an}中的项吗?若是,是第几项?(3)若am,at(m,t∈N*)是数列{an}中的项,则2am+3at是数列{an}中的项吗?若是,是第几项?解(1)设等差数列{an}的公差为d.依题意,得a1=3,d=7-3=4,故an=3+4(n-1)=4n-1.(2)令an=4n-1=135,解得n=34,故135是数列{an}的第34项.∵4b+19=4(b+5)-1,且b∈N*,∴4b+19是数列{an}的第(b+5)项.(3)∵am,at是数列{an}中的项,∴am=4m-1,at=4t-1,∴2am+3at=2(4m-1)+3(4t-1)=4(2m+3t-1)-1.∵2m+3t-1∈N*,∴2am+3at是数列{an}的第(2m+3t-1)项.8.在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N*).(1)证明:数列1a(2)求数列{an}的通项公式;(3)若λan+1an≥λ对任意的n≥2恒成立,求实数λ(1)证明由3anan-1+an-an-1=0(n≥2),整理得1an-1a所以数列1an是以1为首项,3(2)解由(1)可得1an=1+3(n-1)=3所以an=13(3)解λan+1an≥λ对任意的n≥2即λ3n-2+3n-2≥λ对任意的n整理,得λ≤(3n-2)2令f(n)=(3则f(n+1)-f(n)=(3n+1)2因为n≥2,所以f(n+1)-f(n)>0,即f(2)<f(3)<f(4)<…,所以f(2)最小.又f(2)=163,所以λ≤16所以实数λ的取值范围为-∞素养培优练数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常数.(1)当a2=-1时,求λ及a3的值.(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列?若存在,求出λ及数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理由.解(1)由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),且a1=1,所以当a2=-1时,得-1=2-λ,故λ=3.从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.(2)数列{an}不可能为等差数列,证明如下:由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,得a