简单几何体的表面积与体积基础练习【新教材】2022年人教A版高中数学必修

简单几何体的表面积与体积基础练习一、单选题1.某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为3的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（

）A.

144

B.

72

C.

36

D.

242.已知长方体ABCD−A1B1CA.

12π

B.

20π

C.

24π

D.

32π3.如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（

）A.

32

B.

22

C.

334.用到球心的距离为1的平面去截球，以所得截面为底面，球心为顶点的圆锥体积为8π3A.

16π

B.

32π

C.

36π

D.

48π5.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被称为“六器”，是古人用于祭祀神祇的一种礼器．《周礼》中载有“以玉作六器，以礼天地四方，以苍璧礼天，以黄琮礼地”等文．如图为齐家文化玉琮，该玉琮中方内空，形状对称，圆筒内径2.0cm，外径2.4cm，筒高6.0cm，方高4.0A.

23.04−3.92π

B.

34.56−3.92π

C.

34.56−3.12π

D.

23.04−3.12π6.将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，得到四面体A−BCD，则四面体A−BCD的外接球的表面积为（

）A.

25π

B.

50π

C.

5π

D.

10π7.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（

）A.

16π

B.

20π

C.

24π

D.

32π8.已知正四棱锥P−ABCD的高为7，且AB=2，则正四棱锥P−ABCD的侧面积为（

）A.

22

B.

4

C.

62

9.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱ABC−A1B1C1为一个“堑堵”，底面△ABC是以AB为斜边的直角三角形且AB=5，AC=3，点P在棱BBA.

45π2

B.

455π10.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，给出下列四个命题：①对角线AC1被平面A1A.

①②

B.

②④

C.

①②③

D.

①②④11.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为(

)A.

41π

B.

42π

C.

43π

D.

44π12.圆锥和圆柱的底面半径､高都是R，则圆锥的表面积和圆柱的表面积之比为（

）A.

(2+1):4

B.

2:2

C.

1:213.已知A,B,C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4πA.

64π

B.

48π

C.

36π14.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（

）．

A.

6+3

B.

6+23

C.

12+315.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA=PB=PC=PD=2，底面ABCD是边长为2的正方形，点E是PC的中点，过点A，E作棱锥的截面，分别与侧棱PB，PD交于M，N两点，则四棱锥P−AMEN体积的最小值为（

）A.

223

B.

233

C.

16.已知三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，BC⊥平面PAB，若AB=BC=1，PA=2则此三棱锥的外接球的表面积为（

）A.

24π

B.

8π

C.

6π

D.

8π17.半径为2的球O内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（

）A.

93

B.

123

C.

16318.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为1，高为2，M为B1C1A.

148

B.

124

C.

11219.如图，长方体ABCD−A1B1CA.

3

B.

4

C.

6

D.

1220.已知三棱锥A﹣BCD内接于球O,且AD=BC=3,AC=BD=4,AB=CD=13,则三棱锥A﹣BCDA.

38π

B.

9π

C.

76π

D.

19π二、解答题21.如图，已知四棱台的两底面均为正方形，且边长分别为20 cm和10 cm，侧面积为22.如图，将棱长为2的正方体ABCD−A1B（1）求该四面体的表面积；（2）求该四面体外接球的体积与棱切球的体积之比．23.已知A，B，C是球O的球面上三点，且AB=AC=3，BC=33，D为该球面上的动点，球心O到平面ABC（1）求三角形ABC外接圆的面积；（2）求三棱锥D−ABC体积的最大值.

答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】如图：由正六边形的每个内角为2π3按虚线处折成高为3的正六棱柱，即BF=3所以BE=可得正六棱柱底边边长AB=6−2×1=4，所以正六棱柱体积：V=6×1故答案为：B2.【答案】B【解析】如图，O为B1C中点，M为由题可得C1E=∴C又因为在三棱锥B1−C1EC中，B1C所以外接球球心是B1设球的半径为R，则2R=B所以球的表面积S=4πR故答案为：B．3.【答案】D【解析】塔顶是正四棱锥P−ABCD，如图，PO是正四棱锥的高，

设底面边长为a，底面积为S1=AO=22a，∠PAO=45°，∴PA=2×所以S2故答案为：D．4.【答案】C【解析】设球的半径为R，圆锥的底面半径为r，因为球心到截面的距离为1，所以有：r2则题中圆锥体积V=13×1×(R2故答案为：C5.【答案】D【解析】由图可知，组合体由圆柱、长方体构成，组合体的体积为V=2×π×(故答案为：D6.【答案】A【解析】取AC的中点，连接OB、OD，如下图所示：由题意AC=3因为∠ABC=∠ADC=90∘，O为AC的中点，所以OB=OD=12AC=OA=OC=52，所以O因此，四面体A−BCD的外接球的表面积为4πR故答案为：A.7.【答案】C【解析】依题意正四棱柱的体对角线BD1是其外接球的直径,BD如图:依题意设AB=BC=x,则正四棱柱的体积为:4x2=16,解得所以外接球的直径2R=x所以外接球的半径R=6,则这个球的表面积是4π故答案为：C.8.【答案】D【解析】正四棱锥的底面边长为2，高为7，则侧面的高为ℎ=(所以侧面积为S=4×1故答案为：D9.【答案】D【解析】解法一：由“堑堵”的定义可知，△ABC为直角三角形，故BC=A易知AC⊥PC1，又PC⊥PC所以PC1⊥平面APC，而AP⊂平面APC设BB1=z，BP=t则AP=AB2+BP由AP⊥PC1，得9+z所以PC所以S≥241+2当且仅当t2=400t2此时AP=25设三棱锥P−ABC的外接球半径为R，因为AC⊥CP，AB⊥BP，故线段AP为外接球的直径，故所求外接球的表面积S=4π×故答案为：D．解法二：令∠PCB=θ=∠C1PB1，则C又因为AC⊥平面CBB1C1，所以所以C1P⊥平面ACP，所以△APC1的面积S=当且仅当100tan2θ此时tanθ=52在三棱锥P−ABC中，因为∠ACP=∠ABP=90°，取AP中点为O，则OC=OB=1故O为三棱锥P−ABC的外接球的球心，所以AP为外接球直径，S球O故答案为：D．10.【答案】D【解析】①如图所示，假设对角线AC与平面A1BD相交于点可得AM⊥平面A1BD，所以解得AM=33=13AC②易得正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的半径分别为12，232，因此表面积之比为4π③VC1−A1④正方体与以A为球心，1为半径的球的公共部分的体积V=1故答案为：D．11.【答案】A【解析】由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半，即为12∴该球形容器体积的最小值为：4π×(故答案为：A.12.【答案】A【解析】由题意圆锥的全面积为：πR圆柱的全面积为：2π所以，圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为：1+故答案为：A13.【答案】A【解析】设圆O1得πr由正弦定理可得AB=2rsin∴OO1=AB=23，根据圆截面性质∴OO∴球O的表面积S=4πR故答案为：A14.【答案】D【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：S=3×(2×2)+2×(1故答案为：D.15.【答案】D【解析】如图所示，设∠PHN=α,则∠PHM=180∘−α,设三棱锥M−PAE的高为ℎ1，三棱锥由题得AC=2+2=2所以S由题得VP−AMEN因为PB=PD=2,OB=OD=1,PO⊥平面ABCD,所以∠DPO=∠BPO=30∘,所以ℎ1在△PHN中，由正弦定理得PN=sinα×PH在△PHM中，由正弦定理得PM=sinα×PH所以ℎ1+ℎ2=12(sinα×PH在△PHE中，PEPH所以ℎ1+ℎ2=33当α=90∘时，ℎ1+ℎ2取最小值故答案为：D.16.【答案】C【解析】由题，可将三棱锥P−ABC补成一个长方体，那么三棱锥外接球的直径为长方体的体对角线，即直径为PC=12+故答案为：C17.【答案】B【解析】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为O1，O2，底面边长与高分别为在RtΔOAO2中，ℎ∵S=3xℎ，∴S当且仅当x=6时取等号，此时S=12故答案为：B.18.【答案】B【解析】取C1D1的中点G，C1C故MG//B1D1又MG⊄平面A1BD,BD⊂∴MG//平面A1BD，同理MN//∴平面MQN//平面A∴平面MQN即为平面α，体积较小的几何体为三棱锥N−MQ由题意：M所以三棱锥N−MQC1故答案为：B19.【答案】B【解析】因为长方体ABCD−A1B1C所以BC⋅CD⋅CC三棱锥E-BCD的体积是1=1故答案为：B.20.【答案】D【解析】由三棱锥对棱相等，在长方体中可构造三棱锥，如图：设长方体的长宽高分别为a,b,c，外接球的半径为R，则(2R)2由已知得{a∴a∴S=4πR故选：D二、解答题21.【答案】解：取A1B1的中点E1，AB的中点E，上、下底面的中心O1∵s侧∴EE在直角梯形EOOO1E1∴O1故该四棱台的体积为V=1【解析】取A1B1的中点E1，AB的中点E，上、下底面的中心22.【答案】（1）解：由已知可知四面体是