初中数学竞赛：几何的定值与最值(附练习题及答案)

初中数学赛：几何的值与最值几何中的定值问题是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变几元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题几何定值问题的基本方法是清题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下面何图形中某个确定的(如线段长度、角度大小、图形面积等最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：．特殊位置与极端位置法；．几何定理公理)法；．数形结合法等．注几中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中冷点变为热点这是由于这类问题具有很强的探索(目标不明确题需要运用动态思维形合殊一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．【题解【例1】如，已知AB=10是线段AB上任一点，在AB的同侧分别以AP和PB为作等边△APC和等边，CD度的最小值为．思点如图，作CC⊥AB于′⊥AB于D′⊥CC=DQ+CQ，DQ=

AB一常数，当CQ越，越，本例也可设AP=，x，代数角度探求CD的最小值．注从殊位置与极端位置的研究中易得到启示能找到解题突破口特殊位置与极端位置是指：中点处、垂直位置关系等；端点处、临界位置等．【例2】如，圆的半径等于三角形的高，此圆在沿底边AB滚动，切点为T，交⌒AC、BC于M、N，对于所有可的圆的位置而言，为的度数（）A．从30°到60°变动B．60°到90°动C．保持30°不变．持60°变12222思点先虑当圆心在正三角形的顶点C时弧数证一般形而出判断．注：几何定值与最值问题，一般是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量当变化的元素运到特定的位置图变为图形时究的量取得定值与最值．【例】图，已知平行四边a

(>

b

)为边上动点，直线DPCB的线于Q，AP+BQ的最值思点

设

x

，把、BQ分

的代数式表示，运用不等式ab

(当且仅当ab

时取等号求最小值．⌒【例4如图知等ABC内于，劣AB上取于A、B点，设直线AC与BM交于K，直线CB与AM交点N证明：线段和的乘M点择无关．思点即证一个定值，在图形中ABC边长是一个定值，明AB关，从图知AB为△ABM△的共，一大的想而我们的证明目标更加明确．1注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题．【例5】已△是角边长为等腰直角三角，它的三个顶点分别在等腰eq\o\ac(△,Rt)的边，求直角边长的最大可能值．思点点在斜上或直角边CA(CB)上，当顶点Z在斜AB上时取xy的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点(AC或上时，设CX=

x

，CZ=y

，建立，的系式，运用代数的方法求直角边的最大值．注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；构造二次函数求几何最值．专训1．如图，正方形ABCD的长为1，点边BC任意一点（可与B点C点合别过B、C、D作线AP的线垂足分别是B′、C、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为，小值为．2．如图，∠AOB=45°，角内有点，PO=10在角的两边上有两点Q，R(均不同于点O)，则△的长的最小值为．1．如图，两点A在线MN外同侧A到MN距离AC=8，B到MN的离BD=5，CD=4，P在线MN上运，则的大值等于．．如图A点半圆上一个三等点B点弧AN的中P点是直径MN上动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的小值(A．

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C．2

D．5．如图，圆柱的轴截面是长为4的正形动点P从A点出沿圆柱的侧面移动到的中S的短距离()A．

2

B．

2

C．1

2

D．

26．如图、已知矩形ABCD户分别是DC上的点E分别是AP的点，当P在上从B向C移而R不动，那么下列结论成立的(A．线段EF的长渐增大B线段EF的长渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的不能确定7．如图，点C是段AB上任一(C点不点重合，分别以AC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和边三角形BCE，AE与CD相交点M，BD与CE相于点N．(1)求证：；(2)若AB的长为l0cm当C在段AB上移时是存在这样的一点C使线段MN的度最长若在，请确定C点的置并求出MN的；若不存在，请说明理由．(2002年南省中考题18．如图，定长的弦T在一以AB为直的半圆上滑动ST的点P是S对AB作线的垂足，求证：不管ST滑到么位置，∠SPM是一定角．9．已知ABC是⊙的内接三角BT⊙的切B为切P为线AB上一点，过点P作BC的平线交直线BT于，交直线AC于点F．当点P在段AB上时(如图)，求证PA·PB=PE·PF；当点P为段BA延长线上一点第1)的结论还成立?如果成立请证明如果不成立，请说明理由．10．图，已知；边长为4的方形截去一角成为五边形ABCDE，中AF=2，在AB上的一点P，使矩形PNDM有最大积，则矩形PNDM的面积最大值是()AB．12C．

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D．1411如图是半的直径段CA上AB于点段DB上AB于BAB=2AC=1BD=3，P是圆上的一个动点，则封闭形ACPDB的最大面积(A．

B．2

C．

D．3212．图，在△ABC中，，AC=12，在边AB、AC上分取点D、E，使线段DE将△分面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度．1．如图是个边长为1的正方形U、V别是AB、CD上的，与DU相于点P，BV与CU相于点Q．四边形PUQV面积的最大值．．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛坛全部都能喷到水已每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆问如何设计求出两喷水器之间的距离和矩形的长、)，才能使矩形花坛的面积最?15．住宅小区，为美化环境，高居民生活质量，要建一个八边形居民广(平面图如图所示)．其中，正方形MNPQ与个相同矩(中阴影部)的面积的和为800平方米．(1)设矩形的边AB=(米)，AM=y(米，含x的代数式表示为．(2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛均每平方米造价为2100元四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪平每方米造价为105元在四个三角形区域上铺设草坪均每平方米造价为40元设该工程的总造价为元，关于的函数关系式．若该工程的银行贷款为235000元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任?若能，请列出设计