第四章零件受力变形

第4章零件基本变形时的承载能力

1.零件的承载能力

强度

构件抵抗破坏的能力称为构件的强度。刚度

构件抵抗变形的能力称为构件的刚度。

稳定性

压杆能够维持其原有直线平衡状态的能力称为压杆的稳定性。

构件的安全可靠性与经济性是矛盾的。构件承载能力分析的内容就是在保证构件既安全可靠又经济的前提下,为构件选择合适的材料、确定合理的截面形状和尺寸，提供必要的理论基础和实用的计算方法。

2.变形固体的基本假设

均匀连续性假设:

假定变形固体内部毫无空隙地充满物质，且各点处的力学性能都是相同的。

各向同性假设:

假定变形固体材料内部各个方向的力学性能都是相同的。

弹性小变形条件:在载荷作用下，构件会产生变形。构件的承载能力分析主要研究微小的弹性变形问题，称为弹性小变形。弹性小变形与构件的原始尺寸相比较是微不足道的，在确定构件内力和计算应力及变形时，均按构件的原始尺寸进行分析计算。

3.杆件变形的基本形式

本章研究的主要对象是等截面直杆(简称等直杆)等直杆在载荷作用下，其基本变形的形式有：

1.轴向拉伸压缩变形；2.剪切变形；

3.扭转变形；4.弯曲变形。

两种或两种以上的基本变形组合而成的，称为组合变形。

4.2杆件的拉伸与压缩

1.拉伸与压缩的特点FFFF受力特点：

外力(或外力的合力)沿杆件的轴线作用，且作用线与轴线重合。

变形特点：杆沿轴线方向伸长(或缩短)，沿横向缩短(或伸长)。

发生轴向拉伸与压缩的杆件一般简称为拉(压)杆。

2轴力和轴力图

轴力:外力引起的杆件内部相互作用力的改变量。

拉(压)杆的内力。FFmmFFNFF`N由平衡方程可求出轴力的大小：规定：FN的方向离开截面为正(受拉),指向截面为负(受压)。

内力：轴力图：以上求内力的方法称为截面法，截面法是求内力最基本的方法。步骤：截开、设正、平衡、绘图。

注意：截面不能选在外力作用点处的截面上。

用平行于杆轴线的x坐标表示横截面位置，用垂直于x的坐标FN表示横截面轴力的大小，按选定的比例，把轴力表示在x-FN坐标系中，描出的轴力随截面位置变化的曲线，称为轴力图。FFmmxFN例1：

已知F1=20KN，F2=8KN，F3=10KN，试用截面法求图示杆件指定截面1－1、2－2、3－3的轴力,并画出轴力图。

F2F1F3ABCD112332解:外力FR，F1，F2，F3将杆件分为AB、BC和CD段，取每段左边为研究对象，求得各段轴力为：FRF2FN1F2F1FN2F2F1F3FN2FN3FN1=F2=8KNFN2=F2-F1

=-12KNFN3=F2+F3-

F1

=-2KN轴力图如图:

FNxCDBA3杆件的应力计算

应力的概念：

内力在截面上的集度称为应力(垂直于杆横截面的应力称为正应力，平行于横截面的称为切应力)。应力是判断杆件是否破坏的依据。单位是帕斯卡，简称帕，记作Pa，即l平方米的面积上作用1牛顿的力为1帕，1N／m2＝1Pa。

1MPa＝106Pa

拉(压)杆的应力

假设轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向垂直于横截面。所以，横截面的正应力σ计算公式为：σ=MPaFN表示横截面轴力（N）A表示横截面面积（mm2）

FFmmnnFFN4杆件的强度计算

许用应力和安全系数

极限应力：材料丧失正常工作能力时的应力。许用应力：构件安全工作时材料允许承受的最大应力。构件的工作应力必须小于材料的极限应力。塑性材料：[]=脆性材料：[]=ns、n

b是安全系数:

ns=1.2～2.5n

b＝2.0～3.5强度计算：

为了使构件不发生拉(压)破坏，保证构件安全工作的条件是：最大工作应力不超过材料的许用应力。这一条件称为强度条件。

≤[]应用该条件式可以解决以下三类问题：校核强度、设计截面、确定许可载荷。应用强度条件式进行的运算。

DpdF例1:

某铣床工作台进给油缸如图所示，缸内工作油压p＝2MPa，油缸内径D＝75mm，活塞杆直径d＝18mm，已知活塞杆材料的许用应力[]＝50MPa，试校核活塞杆的强度。

解：求活塞杆的轴力。设缸内受力面积为A1，则：校核强度。活塞杆的工作应力为：<50MPa所以，活塞杆的强度足够。

FFbh例2：图示钢拉杆受轴向载荷F=40kN，材料的许用应力[]=100MPa，横截面为矩形，其中h=2b，试设计拉杆的截面尺寸h、b。

解：求拉杆的轴力。FN=F=40kN则：拉杆的工作应力为：=FN/A=40/bh=40000/2b=20000/b<=[]=10022所以：b=14mmh=28mmFF4.3联接件剪切与挤压计算

一、剪切的概念

FF在力不很大时，两力作用线之间的一微段，由于错动而发生歪斜，原来的矩形各个直角都改变了一个角度。这种变形形式称为剪切变形，称为切应变或角应变。受力特点：构件受到了一对大小相等，方向相反，作用线平行且相距很近的外力。变形特点：在力作用线之间的横截面产生了相对错动。F二、剪切的实用计算

切力FQ:剪切面上分布内力的合力。F用截面法计算剪切面上的内力。FFmmFQFQ切应力

切应力在截面上的实际分布规律比较复杂，工程上通常采用“实用计算法”，即假定切力在剪切面上的分布是均匀的。MPa构件在工作时不发生剪切破坏的强度条件为:

≤

[][]为材料的许用切应力，是根据试验得出的抗剪强度除以安全系数确定的。工程上常用材料的许用切应力，可从有关设计手册中查得。一般情况下，也可按以下的经验公式确定：塑性材料:[]＝(0.6～0.8)[]脆性材料:[]＝(0.8～1.0)[]例3：在厚度的钢板上欲冲出一个如图所示形状的孔，已知钢板的抗剪强度现有一冲剪力为的冲床，问能否完成冲孔工作?810解：完成冲孔工作的条件≤由平衡方程：FQ=100KNA=8x5x2+3.14x5x2x5=237

mm2=100KN/237mm2=422MPa<所以，该冲床能完成冲孔工作。三.挤压的概念

构件发生剪切变形时，往往会受到挤压作用，这种接触面之间相互压紧作用称为挤压。

构件受到挤压变形时，相互挤压的接触面称为挤压面(Ajy)。作用于挤压面上的力称为挤压力(Fjy)，挤压力与挤压面相互垂直。如果挤压力太大，就会使铆钉压扁或使钢板的局部起皱。FF四、挤压的实用计算当构件承受的挤压力Fjy过大而发生挤压破坏时，会使联接松动，构件不能正常工作。因此，对发生剪切变形的构件，通常除了进行剪切强度计算外，还要进行挤压强度计算。

挤压应力:

“实用计算法”，即认为挤压应力在挤压面上的分布是均匀的。故挤压应力为

:MPaFjy为挤压力（N）；Ajy为挤压面积（）

为了保证构件局部不发生挤压塑性变形，必须使构件的工作挤压应力小于或等于材料的许用挤压应力，即挤压的强度条件为

:≤

[]

MPa塑性材料:[]＝(1.5～2.5)[]脆性材料:[]＝(0.9～1.5)[]材料的许用挤压应力，是根据试验确定的。使用时可从有关设计手册中查得，也可按下列公式近似确定。

挤压强度条件也可以解决强度计算的三类问题。当联接件与被联接件的材料不同时，应对挤压强度较低的构件进行强度计算。

例3试校核图0-2-1所示带式输送机传动系统中从动齿轮与轴的平键联接的强度。已知轴的直径d＝48mm，A型平键的尺寸为b＝14mm，h＝9mm，L＝45mm，传递的转矩M＝l81481N·mm，键的许用切应力[τ]＝60MPa，许用挤压应力[σjy]＝130MPa。

FFM解：1.以键和轴为研究对象,求键所受的力

:ΣMo(F)＝0F-M＝0F=2M/d=2x181481/48=7561.7N键联接的破坏可能是键沿m—m截面被切断或键与键槽工作面间的挤压破坏。剪切和挤压强度必须同时校核。用截面法可求得切力和挤压力：FQ＝Fjy＝F＝7561.7N

2.校核键的强度。

键的剪切面积A＝bl=b（L－b）

键的挤压面积为Ajy＝hl/2=h（L－b）／2τ＝

=MPa=17．4MPa＜[τ]

σjy＝＝MPa＝54.2MPa＜[σjy]

键的剪切和挤压强度均满足要求。

§4.4轴的扭转

主要内容:2.扭转内力:扭矩和扭矩图3.扭转切应力计算1.扭转的概念

4.轴扭转时的强度计算1.工程中发生扭转变形的构件扭转的概念T工程实例T一、圆轴扭转的概念ABA'B'jgMnMn变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动.轴：主要承受扭转变形的杆件受力特点：圆轴受到一对大小相等、方向相反、作用面均垂直于杆件轴线的力偶矩作用二、外力偶矩的计算转速：n(r/min)输入功率：N(kW)m外力偶矩的计算公式：三、扭矩的计算、扭矩图1、扭矩的概念扭转变形的杆往往称之为扭转轴扭转轴的内力称为扭矩2、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到mmmT3、扭矩正负号的规定确定扭矩方向的右手法则：4个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭矩的方向扭矩正负号：离开截面为正，指向截面为负外力偶矩正负号的规定和所有外力的规定一样，与坐标轴同向为正，反向为负指向截面离开截面T<0T>0用平行于轴线的x坐标表示横截面的位置，用垂直于x轴的坐标MT表示横截面扭矩的大小，描画出截面扭矩随截面位置变化的曲线，称为扭矩图。4.扭矩图477.5N·m955N·m计算外力偶矩作扭矩图Tnmax=955N·mBCADMBMCMDMA637N·mT例1已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输出功率分别为15、30、20kW，轴的转速为300r/min，画出该轴扭矩图。+-

圆轴扭转时横截面上的应力1.圆轴扭转时的变形特征:MeMe1)各圆周线的形状大小及圆周线之间的距离均无变化；各圆周线绕轴线转动了不同的角度。2)所有纵向线仍近似地为直线，只是同时倾斜了同一角度。

IP是一个只决定于横截面的形状和大小的几何量，称为横截面对形心的极惯性矩。4.4.2

圆轴扭转时的应力T横截面上某点的切应力的方向与扭矩方向相同，并垂直于该点与圆心的连线切应力的大小与其和圆心的距离成正比ττ注意：如果横截面是空心圆，空心部分没有应力存在。MPaMT—横截面上的扭矩（N.mm）

—欲求应力的点到圆心的距离（mm）Ip—截面对圆心的极惯性矩（mm

）。

4MPamaxR=Wp为抗扭截面系数(mm)

3极惯性矩与抗扭截面系数表示了截面的几何性质，其大小只与截面的形状和尺寸有关。工程上经常采用的轴有实心圆轴和空心圆轴两种，它们的极惯性矩与抗扭截面系数按下式计算：

实心轴:空心轴:

例5：外径60mm，内径40mm的钢制圆轴如图。试求该轴的最大切应力。解：1、画扭矩图；

TAB=1.6kNm，TBC=-1.4kNm

2、计算最大切应力；

由于截面变化，必须分别计算各段最大切应力，再通过比较确定轴的最大切应力。τmax=41.4MPa圆轴扭转时的强度计算强度条件:圆轴扭转时的强度要求仍是最大工作切应力τmax不超过材料的许用切应力[τ]。≤[τ]

对于阶梯轴，因为抗扭截面系数Wp不是常量，最大工作应力不一定发生在最大扭矩所在的截面上。要综合考虑扭矩和抗扭截面系数Wp，按这两个因素来确定最大切应力。

应用扭转强度条件，可以解决圆轴强度计算的三类问题：校核强度、设计截面和确定许可载荷。

圆轴扭转时的许用切应力[]值是根据试验确定的，可查阅有关设计手册。它与许用拉应力[]有如下关系：

塑性材料[]＝(0．5～0．6)[]

脆性材料[]＝(0．8～1．0)[]4.5梁的弯曲强度4.5.1梁的内力分析一、平面弯曲的概念梁——主要承受弯曲的杆件（构件）。平面弯曲——

当外载荷作用线或外力偶作用面位于梁的纵向对称面内，且外载荷作用线垂直于纵轴线时，梁弯曲变形后，轴线变成位于纵向对称面内的曲线。梁的轴线和横截面的对称轴构成的平面称为纵向对称面。梁弯曲的工程实例1FFFAFB梁弯曲的工程实例2F梁的计算简图

在计算简图中，通常以梁的轴线表示梁。作用在梁上的载荷，一般可以简化为三种形式:1.集中力:2.集中力偶:3.分布载荷(均布载荷)

单位为N/m

简支梁：一端为活动铰链支座，另一端为固定铰链支座。梁的类型外伸梁：一端或两端伸出支座之外的简支梁。悬臂梁：一端为固定端，另一端为自由端的梁。二、梁的内力——剪力和弯矩简支梁A、B受集中力F、集中力偶Me等外载荷以及约束力FA、FB的作用。nnABFMennAFMeBc取左段分析：FAcFSMx剪力FS——作用线在横截面内，通过截面形心C的内力。

FS=FA弯矩M——作用面在梁的纵向对称面内的内力偶。

M=FA·x若取右段分析：FMeFS/M/cabFBFS/=F–FB=FAM/=FB·b-F·a+Me=FA·x剪力和弯矩的计算方法：

1、剪力=截面任一侧所有外力的代数和，即：FS=∑Fi

。

2、弯矩=截面任一侧所有外力对该截面形心力矩的代数和，即：

M=∑MC（Fi）+∑Mei2.从梁的变形角度剪力：顺时针为正逆时针为负（外力对截面的力矩）。弯矩：上凹为正下凹为负1.规定：

a、截面发生左上、右下的错动，剪力为“+”。

b、截面发生左下、右上的错动，剪力为“-”。三、剪力的正、负号规定一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。若以横坐标x表示截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩都可表示为x的函数，即：FQ=FQ(x)M=M(x)—剪力方程—弯矩方程弯矩图画法：以与梁轴线平行的x坐标表示横截面位置，纵坐标y按一定比例表示各截面上相应弯矩的大小，正弯矩画在轴的上方，负弯矩画在轴的下方。例1：如图所示的简支梁AB，在点C处受到集中力F作用，尺寸a、b和L均为已知，试作出梁的弯矩图。解：1.求约束反力2.分两段建立弯矩方程

AC段：x1FAFBx2FABaCbLBC段：LFx1ABaCbx2M=FAx2-F(x2-a)

=-FX2+aFalFx1ABaCbx23.画弯矩图M=-FX2+aFal时，时，时，时，直线4.5.2