《走向清华北大》高考总复习 三角函数的图象课件

第二十讲三角函数的图象回归课本1.作y=Asin(ωx+φ)的图象主要有以下两种方法:(1)用“五点法”作图.用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0, π, ,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.(2)由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,有两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.方法一:先平移后伸缩y=sinxy=sin(x+φ)

y=sin(ωx+φ)

y=Asin(ωx+φ).方法二:先伸缩后平移y=sinx y=sinωx

y=sin(ωx+φ)

y=Asin(ωx+φ).2.y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时,A叫做振幅,T=叫做周期,叫做频率,ωx+φ叫做相位,x=0时的相位φ称为初相.3.对称问题y=sinx图象的对称中心是(kπ,0),(k∈Z).对称轴方程是x= +kπ,(k∈Z).y=cosx图象的对称中心是

(k∈Z).对称轴方程是x=kπ,(k∈Z).考点陪练答案:A2.若f(x)=sin(ωωx+φφ)的图象(部分)如图所示示,则ω和φ的取值是是()答案:C答案:C4.(2010·四川)将函数y=sinx的图象上上所有的的点向右右平行移移动个个单位长长度,再把所得得各点的的横坐标标伸长到到原来的的2倍(纵坐标不不变),所得图象象的函数数解析式式是()答案:C答案:C类型一“五点法”作图解题准备备:根据三角角函数的的图象在在一个周周期内的的最高点点､最低点及及与x轴的三个个交点来来作图,即先确定定这五个个点来作作这个函函数的图图象.其一般步步骤是:(1)令ωx+φφ分别等于于0,π,,2ππ,求出对应应的x值和y值,即求出对对应的五五点;(2)在坐标系系中描出出这五个个关键点点,用平滑的的曲线顺顺次连接接,得函数y=Asin(ωx+φ)在一个周周期内的的函数图图象;(3)将所得图图象向两两边扩展展,得y=Asin(ωx+φ)在R上的图象象.【典例1】作出函数数的的一个周周期内的的图象.[分析]考查:“五点法”作图.[反思感悟悟]用“五点法”作正､余弦函数数的图象象要注意意以下几几点:①先将解析析式化为为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式;②周期;③振幅A(A>0);④列出一个个周期的的五个特特殊点;⑤描点､用平滑曲曲线连线线.类型二三三角函函数的图图象变换换解题准备备:三角函数数的图象象变换包包括平移移和伸缩缩两类变变换,具体有以以下三种种变换:(1)相位变换换:y=sinx的图象向向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位得得到y=sin(x+φ)的图象.(2)周期变换换:y=sinx的图象上上所有点点的横坐坐标伸长长(0<ωω<1)或缩短(ω>1)到原来的的倍倍(纵坐标不不变),得到y=sinωx的图象.(3)振幅变换换:y=sinx图象上所所有点的的纵坐标标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的的A倍(横坐标不不变),得到y=Asinx的图象.[分析]先化异名名为同名名,后作变换换.[反思感悟悟]对于y=f(x)的图象,若将图象象平移a(a>0)个单位,当向左平平移则把把x换成x+a,当向右平平移则把把x换成x-a,其他任何何数值和和符号不不变,若将图上上各点的的横坐标标伸长到到原来的的ω倍(ω>1),则只需将将x换成,若将图象象上各点点的横坐坐标缩短短到原来来的(ω>1),则只需将将x换成ωx即可.类型三三三角函函数y=Asin(ωx+φ)的解析式式解题准备备:给出图象象求解析析式y=Asin(ωx+φ)+B的难点在在于φ的确定,本质为待待定系数数法.基本方法法是:①“五点法”,运用“五点”中的一点点确定.②图象变换换法,即已知图图象是由由哪个函函数的图图象经过过变换得得到的,通常可由由零值点点或最值值点确定定φ,有时从找找“五点法”中的第一一零值点点作为突破破口,要从图象象的升降降情况找找准第一一零值点点的位置置.【典例3】下图为y=Asin(ωx+φ)的图象的的一段,求其解析析式.[分析]确定A.若以N为五点法法作图中中的第一一零点,由于此时时曲线是是先下降降后上升升(类似于y=-sinx的图象)所以A<0;若以M点为第一一个零点点,由于此时时曲线是是先上升升后下降降(类似于y=sinx的图象)所以A>0.而ω=,φφ可由相位位来确定定.(2)由此题两两种解法法可见,在由图象象求解析析式时,“第一零点点”的确定是是很重要要的,尽量使A取正值,由f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的一段图图象,求其解析析式时,A比较容易易看图得得出,困难的是是求待定定系数ω和φ,常用如下下两种方方法:①如果图象象明确指指出了周周期T的大小和和“零点”坐标,那么由ω=即可求出出ω;确定φ时,若能求出出离原点点最近的的右侧图图象上升升(或下降)的零点横横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=ππ)即可求出出φ.②代入点的的坐标.利用一些些已知点点(最高点､最低点或或零点)坐标代入入解析式式,再结合图图形解出出ω和φ,若对A,ω的符号或或对φ的范围有有要求,则可用诱诱导公式式变换使使其符合合要求.(3)利用图象象特征确确定函数数解析式式y=Asin(ω+φφ)+k或根据代代数条件件确定解解析式时时,要注意以以下几种种常用方方法:①振幅A=(ymax-ymin).②相邻两个个最值对对应的横横坐标之之差,或者一个个单调区区间的长长度为由由此推推出ω的值.③确定φ值,一般用给给定特殊殊点坐标标代入解解析式确确定.类型四三三角函函数图象象的对称称性解题准备备:函数y=Asin(ωx+φ)的图象的的对称问问题(1)函数y=Asin(ωx+φ)的图象关关于直线线x=xk(其中ωxk+φ=kπ+,k∈Z)成轴对称称图形,也就是说说波峰或或波谷处处且与x轴垂直的的直线为为其对称称轴.(2)函数y=Asin(ωx+φ)的图象关关于点(xj,0)(其中ωxj+φ=kπ,k∈Z)成中心对对称图形形,也就是说说函数图图象与x轴的交点点(平衡位置置点)是其对称称中心.类型五三三角函函数模型型的常见见应用解题准备备:三角函数数能够模模拟许多多周期现现象,因此在解解决实际际问题时时有着广广泛的应应用.如果某种种变化着着的现象象具有周周期性,那么它就就可以借借助三角角函数来来描述,三角函数数模型的的常见类类型有:(1)航海类问问题.涉及方位位角概念念,方位角指指的是从从指正北北方向线线顺时针针旋转到到目标方方向线所所成的角角度.还涉及正正､余弦定理理.(2)与三角函函数图象象有关的的应用题题.近年全国国高考有有一解答答题正是是此类应应用题.(3)引进角为为参数,利用三角角函数的的有关公公式进行行推理,解决最优优化问题题,即求最值值.(4)三角函数数在物理理学中的的应用.【典例5】已知某海海滨浴场场的海浪浪高度y(米)是时间t(0≤≤t≤24,单位:小时)的函数,记作:y=f(t).下表是某某日各时时的浪高高数据:t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.510.50.991.5经长期观观测,y=f(t)的曲线可可近似地地看成是是函数y=Acosωωt+b的图象.(1)根据以上上数据,求出函数数y=Acosωωt+b的最小正正周期T､振幅A及函数表表达式;(2)依据规定定,当海浪高度度高于1米时才可对对冲浪爱好好者开放.请依据(1)的结论,判断一天内内的8：00到20：00之间,有多少时间间可供冲浪浪者进行运运动?[解](1)由表中数据据,知周期T=12.∴ω=由t=0,y=1.5,得A+b=1.5.①①由t=3,y=1.0,得b=1.②②由①②得A=0.5,b=1,∴振幅为∴(2)由题知,当y>1时才可对冲冲浪者开放放,∴∴∴∴2kπ-(k∈Z),即12k-3<t<12k+3(k∈Z).③∵0≤t≤≤24,故可令③中中k分别为0､1､2,得0≤t<3或9<t<15或21<t≤≤24.∴在规定时间间8：00至20：00之间,有6个小时的时时间可供冲冲浪者运动动,即9:00至15：00.错源一未未抓住平移移对象而致致误【典例1】将函数的的图图象沿x轴向左平移移个单位,求所得图象象的解析式式.[剖析]此题出错率率极高,主要原因是是未抓住函函数图象平平移是针对对自变量x而言的.错源二伸伸缩变换中中记忆不准准而致错[剖析]“错解一”错在变换公公式记忆错错误;“错解二”错误较多,不仅变换公公式记忆错错误,还不清楚变变换是针对对自变量x的.错源三抓抓不住对称称变换中针针对对象而而致错[剖析]错在前前也加了负负号,将函数图象象关于y轴对称,只是在自变变量x前加负号,其他处都不不变.[评析]若将函数y=sin(ωx+φ)的图象关于于y轴对称,所得图象的的解析式为为y=sin(-ωx+φ);若将函数y=sin(ωx+φ)的图象关于于x轴对称,所得图象的的解析式为为y=-sin(ωx+φ).技法“四看”解决图象平平移问题一看:平移要求拿到这类问问题,首先要看题题目要求由由哪个函数数图象平移移到哪个函函数图象,这是判断移移动方向的的关键点.一般题目会会有下面两两种常见的的叙述.[解析]上面两题是是平移问题题两种典型型的叙述方方法,粗看两题好好像差不多多,其实两题的的要求是不不同的.第(1)题是要把函函数y=sin2x移到而而第第(2)题是要把函函数移到y=sin2x,两题平移的的要求不同同.第(1)题是基本形形式,应该选D,而第(2)题是它的反反形式,故选C.[答案](1)D(2)C二看:函数形式我们在解决决这类问题题时,一定要依赖赖y=Asin(ωx+φ)的形式,如果题目给给定的函数数不是这样样的形式,就要化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再考虑平移移.[解析]此题主要是是函数形式式的变化,我们所研究究的两