《走向清华北大》高考总复习 基本不等式及其应用课件

第三十四讲基本不等式及其应用回归课本1.算术平均数如果a,b∈R+,那么 叫做这两个正数的算术平均数.2.几何平均数如果a,b∈R+,那么 叫做这两个正数的几何平均数.3.重要不等式如果a,b∈R,则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,取“=”);均值定理:如果a,b∈R+,那么

(当且仅当a=b时,取“=”).均值定理可以叙述为:两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数.5.已知x、y都是正数,则(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取最大值(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值即两个正数的和为定值,则可求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值.应用此结论要注意三个条件;“一正二定三相等”,即:①各项或各因式为正;②和或积为定值;③各项或各因式都能取得相等的值.考点陪练1.函数y=log2x+logx2的值域是()A.(-∞,-2] B.[2,+∞)C.[-2,2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞)答案:D2.已知x+3y=2,则3x+27y的最小值为()答案:A答案:C答案:B答案:D类型一 证明不等式解题准备:证明不等式是均值不等式的一个基本应用,注意分析不等式的左右两边的结构特征,通过拆(添)项创设一个应用均值不等式的条件.在解决本类问题时注意以下几点:(1)均值不等式成立的前提条件;(2)通过加减项的方法配凑成算术平均数、几何平均数的形式;(3)注意“1”的代换;(4)灵活变换基本不等式的形式并注意其变形式的运用.【典例1】证明:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).[分析]利用a2+b2≥2ab(a,b∈R)求证即可.[证明]∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2,又a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,c2a2+a2b2≥2a2bc,∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc),即a2b2+b2c2+c2a2≥ab2c+abc2+a2bc=abc(a+b+c).即原命题可得得证.类型二求最最值解题准备:1.利用基本不等等式可以求一一些函数或代代数式的最值值.2.应用重要不等等式和基本不不等式可以得得到一些常用用的不等式,主要有:类型三 利用用均值不等式式解应用题解题准备:均值不等式作作为求最值的的常用工具,经常在有关最最优解的实际际问题中应用用.应用均值不等等式解决实际际问题的基本本步骤是:①仔细阅读题目目,透彻理解题意意;②分析实际问题题中的数量关关系,引入未知数,并用它表示其其它的变量,把要求最值的的变量设为函函数;③应用均值不等等式求出函数数的最值;④还原实际问题题,作出解答.【典例3】某工厂拟建一一座平面图为为矩形且面积积为200m2的三级级污水水处理理池(平面图图如图图所示示).如果池池四周周围墙墙建造造单价价为400元/m,中间两两道隔隔墙建建造单单价为为248元/m,池底建建造单单价为为80元/m2,水池所所有墙墙的厚厚度忽忽略不不计.(1)试设计计污水水处理理池的的长和和宽,使总造造价最最低,并求出出最低低总造造价;(2)若由于于地形形限制制,该池的的长和和宽都都不能能超过过16m,试设计计污水水池的的长和和宽,使总造造价最最低,并求出出最低低总造造价.[反思感感悟]不等式式应用用的特特点是是:(1)问题的的背景景是人人们关关心的的社会会热点点问题题,如“物物价､税收､销售､市场信信息””等,题目往往往篇篇幅较较长.(2)建立函函数模模型常常见的的有““正(反)比例函函数､一次函函数､二次函函数､指数函函数､对数函函数､三角函函数,以及””等形形式.解函数数应用用题中中的最最值问问题一一般利利用二二次函函数的的性质质或基基本不不等式式来解解决.错源一一忽忽视视等号号成立立的条条件[剖析]解法一一和解解法二二的错错误原原因是是等号号同时时成立立的条条件不不具备备,因此使使用基基本不不等式式一定定要验验证等等号成成立的的条件件,只有等等号成成立时时,所求出出的最最值才才是正正确的的.错源二二忽忽视视均值值不等等式应应用条条件致致误[答案](-∞,-1]∪∪[3,+∞)技法一一快快速解解题(三角换换元)【典例1】已知a、b、c、d∈R,x、y∈R+,且x2=a2+b2,y2=c2+d2.求证:xy≥ac+bd.[快解]联想到到圆的的参数数方程程,设a=xcosθθ,b=xsinθθ,c=ycosφφ,d=ysinφφ,则ac+bd=xycosθcosφ+xysinθθsinφφ=xycos(θθ-φφ)≤≤xy.[另解切切入点点]有a2+b2、c2+d2的形式式出现现,就可以以用a2+b2≥2ab.由于a、b、c、d∈R,故ac+bd可能为为正,也可能能为负负.当ac+bd<0时,显然不不需证证明,只需考考虑ac+bd>0的情况况.[证明]证法一一:当ac+bd<0时,显然有有xy≥≥ac+bd成立.当ac+bd≥0时,x2y2=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd=(ac+bd)2,即xy≥≥ac+bd.证法二二:当ac+bd<0时,显然有有xy≥≥ac+bd成立;当ac+bd≥0时,欲证xy≥≥ac+bd,只需证证x2y2≥a2c2+b2d2+2abcd.∵x2=a2+b2,y2=c2+d2,∴(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd.即x2y2≥a2c2+b2d2+2abcd成立,因此,原不等等式成成立.[方法与与技巧巧]证法一一与证证法二二基本本相同同,只是形形式不不同而而已.而快解解联想想到圆圆的参参数方方程,进行三三角代代换,又不必必考虑虑ac+bd的正负负问题题,仅注意意到xy>0、-1≤≤cos(θ-φ)≤1就行了了.[得分主主要步步骤]本题证证明步步骤简简单,但需考考虑ac+bd或正或或负的的两种种情况况.若ac+bd<0,则(ac+bd)2与x2y2的大小小不能能确定定,证题时时需注注意此此处.[易丢分分原因因]没有考考虑到到ac+bd≥0还是ac+bc<0.技法二二如如何解解决含含有多多个变变量的的条件件最值值问题题求解含含有多多个变变量的的条件件最值值问题题,一般方方法是是利用用给出出的条条件,通过代代换减减少变变量的的个数数,将问题题转化化为只只含有有一个个变量量的函函数的的最值值问题题进行行解决决.如果条条件等等式中中含有有两个个变量量的和和与积积的形形式,可以直直接利利用均均值不不等式式对两两个正正数的的和与与积进进行转转化,然后通通过解解不等等式进进行求求解,或者通通过构构造一一元二二次方方程,