《金新学案》高三数学一轮复习 33 等比数列课件 （文） 全国.重庆专

第三节等比数列1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从

起，每一项与它的

的比等于

常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的

，公比通常用字母

(q≠0)表示．第2项前一项同一个公比q 等比数列与等差数列的定义从字面上看差不多，就是“比”与“差”的区别，但等比数列隐含着数列的各项不能为零，项与公比的正负号有着密切关系等等．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝

.3．等比中项如果三个数a、G、b组成

，则G叫做a和b的等比中项，那么 ，即G2＝

.b2＝ac是a，b，c成等比的什么条件？a1qn－1等比数列ab

b2＝ac是a，b，c成等比的什么条件？【提示】b2＝ac是a，b，c成等比的必要不充分条件，∵当b＝0，a，c至少有一个为零时，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比，反之，若a，b，c成等比，则必有b2＝ac.4．等比数列的前n项和公式 (1)公式的推导分q＝1和q≠1两种情况分别求解．当q＝1时，数列为常数列，易有Sn＝na1；当q≠1时，采用“错位相减法”进行推导，这种方法具有一定的通性，要注意理解和掌握．(2)在利用等比数列前n项和公式时，如果等比数列的公比q不确定，需分q＝1和q≠1两种情况进行讨论． 等比数列有关性质(1)在等比数列中，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq(m，n，p，q∈N)．特别地，当m＋n＝2p时，有am·an＝a.(2)间隔相同的项，如a1，a3，a5，…仍为等比数列，且公比为q2.(3)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn.【解析】设公比为q.由已知得a1q2·a1q8＝2(a1q4)2，即q2＝2.因为等等比数列{an}的公比为正正数，【答案】C2．(2008年全国卷卷Ⅰ)已知等比数数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝()A．64B．81C．128D．．243【答案案】A3．设设a1＝2，，数列列{1＋2an}是公公比为为2的的等比比数列列，则则a6＝()A．64B．160C．79.5D．31.5【解析析】1＋2an＝(1＋2a1)·2【答案】C【答案案】155．若若等比比数列列的公公比为为2，，且前前4项项和为为1，，则这这个等等比数数列的的前8项和和为________．．【解解析析】】由题题意意可可知知，，S8－S4＝a8＋a7＋a6＋a5＝q4(a1＋a2＋a3＋a4)＝＝24，所所以以前前8项项和和等等于于17.【答答案案】】17在公公差差为为d(d≠0)的的等等差差数数列列{an}和和公公比比为为q的等等比比数数列列{bn}中中，，a2＝b1＝3，，a5＝b2，a14＝b3，(1)求求数数列列{an}与与{bn}的的通通项项公公式式；；(2)令令cn＝ban，求求数数列列{cn}的的前前n项和和Tn.【思已知知数数列列{an}的的前前n项和和为为Sn，且且对对任任意意的的n∈N有an＋Sn＝n.(1)设设bn＝an－1，，求求证证：：数数列列{bn}是是等等比比数数列列；；(2)设设c1＝a1且cn＝an－an－1(n≥2)，，求求{cn}的的通通项项公公式式．．1．．已已知知数数列列{an}的的前前n项和和为为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N)．．(1)求求a1，a2；(2)求求证证：：数数列列{an}是是等等比比数数列列．．(1)已已知知等等比比数数列列{an}中中，，有有a3a11＝4a7，数数列列{bn}是是等等差差数数列列，，且且b7＝a7，求b5＋b9的值；(2)在在等比数数列{an}中，若若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44.【解析】】(1)∵a3a11＝a＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∵{bn}为等差差数列，，∴b5＋b9＝2b7＝8.(2)解法1：：a1a2a3a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a·q54＝8②解法2：：由性质可可知，依依次4T1＝a1·a2·a3·a4＝1，T4＝a13·a14·a15·a16＝8，则T4＝T1·p3＝1·p3＝8⇒p＝2.∴T11＝a41·a42·a43·a44＝T1·p10＝210＝1024.在等比数列列的基本运运算问题中中，一般是是建立a1，q满足足的的方方程程组组，，求求解解方方程程组组，，但但如如果果可可利利用用等等比比数数列列的的性性质质，，便便可可减减少少运运算算量量，，提提高高解解题题的的速速度度，，要要注注意意挖挖掘掘已已知知，，注注意意2．．(1)在在等等比比数数列列{an}中中，，a1＋a2＝324，，a3＋a4＝36，，求求a5＋a6的值值；；(2)在在等等比比数数列列{an}中中，，已已知知a3a4a5＝8，，求求a2a3a4a5a6的值值．．本节节内内容容一一是是等等比比数数列列的的定定义义及及中中项项，，考考查查等等比比数数列列的的判判定定，，二二是是通通项项公公式式及及求求和和公公式式，，考考查查等等比比数数列列的的基基本本运运算算，，体体现现了了分分类类讨讨论论的的思思想想，，而而对对于于等等