高二物理竞赛薛定谔方程在几个一维问题中的应用课件

1一、一维无限深势阱粒子势能函数

（1）是固体物理金属中自由电子的简化模型；

（2）数学运算简单，量子力学的基本概念、原理在其中以简洁的形式表示出来.意义2

波函数的标准条件：单值、有限和连续.对Ⅰ区或3量子数

零点能

激发态能量

一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的.4

归一化条件归一化的波函数5波函数概率密度6*二、隧道效应设给定势函数V(x)为1.方形势垒

即势垒的高度不是无限高也不是无限宽，如果一粒子从Ⅰ区以确定能量Ｅ<V（E>0）入射，该粒子能否在Ⅲ区出现？现用薛定谔方程处理之。7(1)势垒外有相同的薛定谔方程

令

8在Ⅲ区：只有透射波说明：在一般情况下，粒子能够穿过比它动能更高的势垒区域，这种现象称为隧道效应。9(2)势垒内Ⅱ区，薛定谔方程由标准条件和边界条件确定待定常数。第一项随x增大而增大，与实际不符，102.隧道效应V=V0(x)Exx1x2

隧道效应:从左方射入的粒子在各区域内的波函数11

代表Ⅰ区进入Ⅲ区的概率，则

式中a=x2-x1为势垒的宽度，说明势垒的宽度越小，透过的概率越大;（V0-E）越小，透过的概率越大。12由于原子核的质量比电子质量大很多,故核子在与电子相互电磁作用中可视为静止。氢原子中电子的势能函数由于

U

只是

r的函数，不随时间变化,是一个定态问题,故其薛定谔方程为13rxyzP由于势能函数只是r的函数,球形对称，故采用球坐标方便些14将其代入上式，并运用待定系数的方法,经整理可得三个方程:

15解方程的结果,可得到描述粒子运动状态的三个重要的量子数主量子数n

，角量子数l

,磁量力数ml解上述方程时，注意波函数的标准条件，()中ml只能取某些特定值。然后把ml

代入()的方程，这时只有某些l的值才有可接受的解。再把符合上述()方程的l代入R(r)就会发现，只有对于某些总能量E<0才有可能的解。161.能量量子化（主量子数n）(1)

若E>0即E=Ek+U>0说明Ek>U若E<0,即E=Ek+U<0则Ek＜U

n=1,2,3,…

n称为主量子数

n=1,2,3，…其决定着氢原子能量的取值。根据其波函数必须满足的标准条件,解得17

这些结果显然与玻尔的结论一致，但这是解方程的结果，无须人为地假设,故这是一个自洽的理论体系。

n=1，称之为基态，代入有关数据,算得n=2.3.4……称之为激发态,它们的能量为182.角动量量子化氢原子核与电子之间的相互作用势函数为

U(r)=-ke2/r(1)角量子数l解上述方程可得轨道角动量的大小为即轨道角动量L

的大小是量子化的，式中l

是角量子数。计算表明，当主量子数n确定后,角量子数可取

l=0.1.2.3…(n-1)角动量L

共有n个分立的值这与玻尔理论不同,在玻尔理论中,19

(2)角动量不同态的名称

由于在光谱学中常用spdf…等字母分别表示l=0,1,2，3,…(n-1)电子的状态,现仍沿用这些称号。

(3)简并现象，简并态,简并度

上面计算表明，对应于一个主量子数n,可有n个不同的l

值，也就是说，在同一能级，电子可取n个不同的角动量，电子可取若干个不同的运动状态，这种现象称作"简并"现象。简并态:指不同的运动状态的粒子，对应于同一能级的状态。

简并度:指一个能级所能允许的不同状态数。203.角动量空间量子化索末菲认为:玻尔的轨道平面，不仅轨道半径是量子化的,而且轨道平面在空间的取向也是量子化的。计算表明：Ml称为磁量子数，其决定了电子角动量在空间的可能取向。对于一个给定的l

ml=0，±1，±2，...±l，

这时L

在空间可以有(2l+1)