高二物理竞赛第四章刚体力学课件

第四章刚体力学§4.1刚体运动学质量密度在分析刚体运动过程中，可假定各质元的相对位置保持不变。质元具有质量体分布面分布线分布4-1-2刚体的平动和转动图4-1刚体的平动平动：刚体在运动中，连接刚体上任意两点的直线，在各时刻始终保持彼此平行转动：刚体上所有质元都绕同一直线(转轴)作圆周运动图4-3线速度和角速度之间的矢量关系§4.2刚体的定轴转动定律4-2-1力矩刚体定轴转动定理4-2-3转动惯量J【例4-1】计算质量为m，半径为R的匀质圆盘对通过盘心并垂直于盘面的轴的转动惯量。图4-7圆盘通过中心轴的转动惯量解由于质量均匀分布，单位面积上的质量为，在圆盘上取一半径为r宽度为dr的窄圆环，其中所有质点到转轴的距离都是r，该环的面积为质量为对轴的转动惯量为因而对通过盘心且与盘面垂直的轴的转动惯量为

由于J与圆盘厚度无关，显然，它也适用于圆柱体。4-2-4刚体定轴转动定律的应用【例4-3】阿特伍德机。跨过定滑轮的轻绳两端各悬挂质量为m1和m2的物体，设m1>m2。滑轮可看作为密度均匀的圆盘，半径为R，质量为m。忽略转轴对滑轮的摩擦，并且绳与滑轮之间无相对滑动，求两物体的加速度及绳中张力T1和T2。解:分别列出动力学方程,得:m1：

m2：

滑轮m：

关联方程：

联立求解，可得

,【例4-4】如图，一根长为l，质量为m的匀质细杆，可绕水平光滑轴在竖直平面内转动，最初棒静止在水平位置，求它下摆角时的角速度和角加速度。解杆在下摆运动中作顺时针转动，选取向内为转轴正向。杆下摆到角度时，它所产生的重力矩为在杆上取dx小段，其质量整个杆受的重力矩为

根据转动定律，可得棒的角加速度为

§4.3刚体定轴转动中的功和能4-3-1力矩的功4-3-2刚体定轴转动的动能4-3-3刚体定轴转动的动能定理4-3-4刚体的重力势能【例4-6】如图，绕在定滑轮上轻绳的一端固定于定滑轮边上，另一端与一质量为m=2.00kg的物体相连，已知定滑轮质量M=1.00kg，半径R=0.100m，且轴承光滑，定滑轮转动惯量，其初角速度方向垂直于纸面向内，求(1)定滑轮的角加速度(2)定滑轮角速度变化到时，物体上升的高度。=5.00rad／s，解(1)研究定滑轮的转动，选向内作为转轴正向，重力、轴支撑力对转轴力矩为零，对转动没有影响，绳张力对转轴力矩为根据转动定律，有

选x轴向上，根据牛顿定律，有

T-mg=ma

(2)研究物体m、定滑轮M及地球组成的系统，在物体m上升、定滑轮转动过程中，机械能守恒，选开始m所在处为重力势能零点，有

式中，代人数据，解得

h=0.0159m§4.4刚体定轴转动的角动量守恒4-4-1刚体定轴转动的角动量定理刚体在一段时间内所受的冲量矩，等于刚体在这段时间内角动量的增量4-4-2刚体(质点系)定轴转动的角动量守恒定律【例4-7】如图，匀质杆质量为M，长l，可绕通过中点的光滑轴在铅垂面内旋转。开始杆竖直静止。有一子弹质量为m，以水平速度v射入杆的下端而不复出，求(1)杆和子弹开始一起旋转时的角速度；(2)碰撞过程水平方向(图中x方向)动量是否守恒，为什么?如不守恒，求出动量增量；(3)求出碰撞过程机械能的损失；(4)求杆相对铅垂线偏转的最大角度。解(1)碰撞过程经历的时间极短，因此，系统所受外力(重力与轴的支持力)对于轴O的力矩都为零，因而系统对轴O的角动量守恒。碰前角动量碰后角动量为子弹与杆组成的系统相对于O的转动惯量，且：

由角动量守恒

(2)在质点与刚体(杆)碰撞过程中，动量一般不守恒，这是因为转轴对杆有作用力，并且该作用力与子弹和杆的相互作用力(冲力)有关，因而不可忽略。碰撞前水平方向的动量为mv，碰后，由于对称性，杆沿水平方向的总动量仍为零，子弹在水平方向的动量为动量增量为这说明轴对杆的作用力在x轴方向分量为负值。系统动量减小。动量增量为这说明轴对杆的作用力在x轴方向分量为负值。系统动量减小。

(3)由于碰撞过程势能不变，机械能损失就是动能的损失，碰撞前系统总动能碰撞后系统总动能得机械能的增量

即在子弹射入并停留在杆的过程中，发生了完全非弹性碰撞过程，机械能的损失为说明，质点与绕定轴转动的刚体碰撞过程中角动量一定守恒。但动量不一定守恒，机械能也不一定守恒(完全弹性碰撞则机械能守恒)。

(4)在杆开始转动到杆转到最大偏转角的系统，机械能守恒。如图，以杆下端最低点作为重力势能零点，则杆开始转动时的机械能为

的过程中，研究杆、子弹和地球组成杆转到最大角度时的机械能(动能为零)为。由机械能守恒，El=E2，则有【例4-8】如图，质量为M，半径为R的转盘，可绕通过中心的竖直轴转动，阻力忽略不计。开始质量为m的人相对转盘静止在离转轴中心处。开始系统以角速度旋转。然后人相对于盘以速度v作半径为R/2的圆周运动(与原转动方向相反)，求转盘相对于地的角速度。解研究人与转盘系统，外力矩为零，因而角动量守恒

开始系统绕轴角动量为(向上为转轴正向)

设人相对盘转动后任意