人教版数学九年级一轮复习专题训练：三角形综合（四）

人教版数学九年级一轮复习专题训练：三角形综合（四）1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点D为斜边AB的中点，ED⊥AB，交边BC于点E，点P为射线AC上的动点，点Q为边BC上的动点，且运动过程中始终保持PD⊥QD．（1）求证：△ADP∼△EDQ；（2）设AP＝x，BQ＝y．求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）联结PQ，交线段ED于点F．当△PDF为等腰三角形时，求线段AP的长．2．如果三角形的两个内角差为90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．（1）若△ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°．①若∠A＝60°，则∠B＝°；②若∠A＝20°，则∠B＝°．（2）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝3，点D在AC边上，若△ABD是“准直角三角形”，求CD的长．（3）如图2，在四边形ABCD中，CD＝CB，∠ABD＝∠BCD，AB＝5，BD＝6，且△ABC是“准直角三角形”，求△BCD的面积．3．已知点C是AB上的一个动点．（1）问题发现如图1，当点C在线段AB上运动时，过点C作DC⊥AB，垂足为点C，过点A作EA⊥AB，垂足为点A，且DC＝AB，AE＝BC．①△ABE与△CDB全等吗？请说明理由；②连接DE，试猜想△BDE的形状，并说明理由；③DC＝AE+AC是否成立？（填“成立”或“不成立”）．（2）类比探究如图2，当点C在线段AB的延长线上时，过点C作DC⊥AB，垂足为点C，过点A作EA⊥AB，垂足点A，且DC＝AB，AE＝BC．试直接写出△BDE的形状为；此时线段DC、AE和AC之间的数量关系为（直接写出结论，不用说明理由）．4．在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD交于点M．（1）如图1，若∠AOB＝∠COD＝40°：①AC与BD的数量关系为；②∠AMB的度数为；（2）如图2，若∠AOB＝∠COD＝90°：①判断AC与BD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；②求∠AMB的度数；（3）在（2）的条件下，当∠CAB＝30°，且点C与点M重合时，请直接写出OD与OA之间存在的数量关系．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ACE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）当D在线段BC上时，①求证：△BAD≌△CAE．②请判断点D在何处时，AC⊥DE，并说明理由．（2）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为28°，求∠ADB的度数．6．【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则△ABD≌△ACE．【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现．【深入探究】（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD＝EC；②∠BOC＝60°；③∠AOE＝60°；④EO＝CO，其中正确的有．（将所有正确的序号填在横线上）．【延伸应用】（3）如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．7．（1）如图1，等腰△ABC和等腰△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，B，E，D三点在同一直线上，求证：∠BDC＝90°；（2）如图2，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且∠BDC＝90°，求证：∠ADB＝45°；（3）如图3，等边△ABC中，D是△ABC外一点，且∠BDC＝60°，①∠ADB的度数；②DA，DB，DC之间的关系．8．在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：（1）如图1、两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是，此时BD和CE的数量关系是；（2）如图2、两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数．9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠CAB＝∠CBA＝45°，D为BC上一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E．（1）如图1，过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，求证：△ACD≌△CBF；（2）如图2，若D为BC的中点，CE的延长线交AB于点M，连接DM，求证：∠BDM＝∠ADC；（3）在（2）的条件下，若AE＝4，CE＝2，直接写出CM的长．10．如图，在△ABC中．（1）如图①，分别以AB、AC为边作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD；①猜想BE与CD的数量关系是；②若点M，N分别是BE和CD的中点，求∠AMN的度数；（2）如图②，若分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝α，DC、BE交于点P，连接AP，请直接写出∠APC与α的数量关系11．已知△ABC和△DEC都为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DC，∠BAC＝∠EDC＝n°．（1）当n＝60时，①如图1，当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系：；②如图2，当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由；（2）当n＝90时，①如图3，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；②当BE∥AC，AB＝3，AD＝1时，请直接写出DC的长．12．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线．求证：△ABD是“准直角三角形”．（2）关于“准直角三角形”，下列说法：①在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，∠C＝10°，则△ABC是准直角三角形；②若△ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝20°；③“准直角三角形”一定是钝角三角形．其中，正确的是．（填写所有正确结论的序号）（3）如图②，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝50°．若P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，请直接写出∠APB的度数．13．已知，如图AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，连接EF，∠EAF+∠BAC＝180°（1）如图1，若∠ABE＝63°，∠BAC＝45°，求∠FAC的度数；（2）如图1，请探究线段EF和线段AD有何数量关系？并证明你的结论；（3）如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，延长FC，EB交于点M，若点G为线段EF的中点，且∠BAE＝70°，请探究∠ACB和∠CAF的数量关系，并证明你的结论．14．如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D为BC边中点，连接AF，且A、F、E三点恰好在一条直线上，EF交BC于点H，连接BF，CE．（1）求证：AF＝CE；（2）猜想CE，BF，BC之间的数量关系，并证明；（3）若CH＝2，AH＝4，请直接写出线段AC，AE的长．15．点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒．（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗：若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）连接PQ，①当t＝2秒时，判断△BPQ的形状，并说明理由；②当PQ⊥BC时，则t＝秒．（直接写出结果）16．（1）如图1，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，点E为BC的中点，AB＝5，AC＝7，求线段DE的长；（2）如图2，△ABC和△BDE均是等腰直角三角形，∠ABC＝∠BDE＝90°，点E在边长BC上，点F为AE的中点，连接DF，请判断线段DF、CE关系并证明．

参考答案1．（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵ED⊥AB，∴∠EDB＝90°，∴∠DEQ+∠B＝90°，∴∠A＝∠DEQ，又∵PD⊥QD，∴∠PDQ＝90°，∴∠EDQ+∠PDE＝∠ADP+∠PDE＝90°，∴∠EDQ＝∠ADP，∴△ADP∽△EDQ；（2）解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∵点D为斜边AB的中点，∴AD＝BD＝AB＝5，∵∠EDB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴△EDB∽△ACB，∴＝＝，即＝＝，解得：ED＝，EB＝，由（1）得：△ADP∽△EDQ，∴＝，即＝＝，解得：EQ＝x，∴BQ＝BE﹣EQ＝﹣x，即y＝﹣x，∵AP≥0，∴x≥0，∵BQ≥0，∴﹣x≥0，∴x≤，∴y＝﹣x（0≤x≤）；（3）解：由（1）得：△ADP∼△EDQ，∴＝＝，∵PD⊥QD，∴∠PDQ＝90°，∴tan∠QPD＝＝＝＝tanB，∴∠QPD＝∠B，又∵∠PDQ＝∠BDE＝90°，∴∠PDF＝∠BDQ，∴△PDF∽△BDQ，∴△PDF为等腰三角形时，△BDQ也为等腰三角形，①若DQ＝BQ，过Q作QG⊥BD于G，如图所示：则DG＝BG＝BD＝，∵cosB＝＝＝＝，∴＝，解得：x＝，即AP＝；②若BQ＝BD，则﹣x＝5，解得：x＝，即AP＝；③若DQ＝DB，则∠B＝∠DQB，∵∠B+∠DQB+∠BDQ＝2∠B+∠BDQ＜180°，此种情况舍去；综上所述，当△PDF为等腰三角形时，线段AP的长为或．2．解：（1）①当∠C﹣∠A＝90°时，则∠C＝150°，∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝﹣30°（不合题意舍去），当∠C﹣∠B＝90°，则∠C＝∠B+90°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B＝30°，∴∠B＝15°，综上所述：∠B＝15°，故答案为15°；②当∠C﹣∠A＝90°时，则∠C＝110°，∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝50°，当∠C﹣∠B＝90°，则∠C＝∠B+90°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B＝70°，∴∠B＝35°，综上所述：∠B＝50°或35°，故答案为50或35；（2）当∠BDA﹣∠DBA＝90°时，如图1，过点D作DH⊥AB于H，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝3，∴AC＝＝＝2，∵∠BDA﹣∠DBA＝90°，∠BDA＝∠DBC+∠C＝∠DBC+90°，∴∠DBA＝∠DBC，又∵DH⊥AB，DC⊥BC，∴DH＝DC，∵sinA＝＝，∴DH＝AD＝DC，∴DC＝AC＝，当∠BDA﹣∠A＝90°时，∵∠BDA﹣∠A＝90°，∠BDA＝∠DBC+∠C＝∠DBC+90°，∴∠A＝∠DBC，又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB，∴，∴，∴CD＝，综上所述：CD＝或；（3）如图2，过点C作CF⊥BD于F，CE⊥AB，交AB的延长线于E，设∠ABD＝∠BCD＝2x，∵BC＝CD，CF⊥BD，∴∠CBD＝∠CBE＝90°﹣x，BF＝DF＝3，又∵CF⊥BD，CE⊥AB，∴CE＝CF，又∵BC＝BC，∴Rt△BCE≌Rt△BCF（HL），∴BE＝BF＝3，当∠ABC﹣∠ACB＝90°时，又∵∠ABC﹣∠AEC＝∠BCE，∴∠BCA＝∠BCE，由（2）可知：＝，设AC＝5a，CE＝3a，则AE＝4a＝8，∴a＝2，∴CE＝6＝CF，∴S△BCD＝×6×6＝18，当∠ABC﹣∠BAC＝90°，又∵∠ABC﹣∠AEC＝∠BCE，∴∠BAC＝∠BCE，又∵∠E＝∠E＝90°，∴△BCE∽△CAE，∴，∴CE＝2，∴S△BCD＝×6×2＝6，综上所述：△BCD的面积为18或6．3．解：（1）①结论：△ABE≌△CDB．理由：∵DC⊥AB，EA⊥AB，∴∠DCB＝∠A＝90°，在△ABE与△CDB中，，∴△ABE≌△CDB（SAS）．②结论：△BDE是等腰直角三角形；∵△ABE≌△CDB∴BE＝BD，∠ABE＝∠BDC，∴∠BDC+∠DBC＝90°，∴∠DBC+∠ABE＝90°，∴∠DBC＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形．③成立．理由：∵△ABE≌△CDB，∴CD＝AB，AE＝BC，∴CD＝AB＝AC+BC＝AC+AE．故答案为成立．（2）△BDE是等腰直角三角形．理由：∵DC⊥AB，AE⊥AB∴∠EAB＝∠DCB＝90°在△ABE与△CDB中，，∴△ABE≌△CDB（SAS），∴BE＝BD，∠ABE＝∠BDC，∵∠BDC+∠DBC＝90°，∴∠DBC+∠ABE＝90°，∴∠EBD＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形．∵△ABE≌△DBC，∴AE＝BC，AB＝CD，∴AC＝AB+BC＝CD+AE．故答案为：等腰直角三角形，AC＝AE+DC．4．解：（1）如图1所示，①∵∠AOB＝∠COD∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD∴∠BOD＝∠AOC在△BOD和△AOC中∴△BOD≌△AOC（SAS）∴AC＝BD故答案为：AC＝BD，②∵△BOD≌△AOC∴∠OBD＝∠OAC∵∠AOB＝40°，∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB＝180°﹣40°＝140°又∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OBD∴∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC＝140°，∴∠MAB+ABM＝140°∵在△ABM中，∠AMB+∠MAB+ABM＝180°，∴∠AMB＝40°故答案为：40°；（2）如图2所示，①AC＝BD，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，∴∠BOD＝∠AOC，在△BOD和△AOC中，∴△BOD≌△AOC（SAS）∴BD＝AC②∵△BOD≌△AOC，∴∠OBD＝∠OAC，又∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠ABO＝∠ABM+∠OBD，∠MAB＝∠MAO+∠OAB，∴∠MAB+∠MBA＝90°，又∵在△AMB中，∠AMB+∠ABM+∠BAM＝180°，∴∠AMB＝180°﹣（∠ABM+∠BAM）＝180°﹣90°＝90°；（3）如图3所示，∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD，∠CAB＝30°，∵C，M重合，∴B，C，D共线，∴∠OAB＝∠OBA＝∠OCD＝∠ODC＝45°，AB＝OA，CD＝OC，由（2）得△BOD≌△AOC（SAS）∴∠ACO＝∠BDO＝45°，BD＝AC∴∠ACD＝∠ACO+∠OCD＝90°∴∠ACB＝90°，∴BC＝AB由勾股定理得：AC＝＝AB∴CD＝AC﹣BC＝AB∴OC＝×OA∴OD＝OC＝OA．如图4，同上易求得OD＝OC＝OA综上所述，OD＝OA或OD＝OA．5．（1）①证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，∵，∴△BAD≌△CAE（SAS）．②当AC⊥DE时，∵AC平分∠DAE，∴∠DAB＝∠CAE＝∠CAD，∴AD平分∠CAB，∴BD＝CD，∴当点D在BC中点时，或AD⊥BC时，AD⊥BC；（2）解：当CE∥AB时，则有∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，①如图1：此时∠BAD＝28°，∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝180°﹣28°﹣60°＝92°．②如图2，此时∠ADB＝28°，③如图3，此时∠BAD＝28°，∠ADB＝60°﹣28°＝32°．④如图4，此时∠ADB＝28°．综上所述，满足条件的∠ADB的度数为28°或32°或92°．6．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE；（2）如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，①正确，∠ADB＝∠AEC，记AD与CE的交点为G，∵∠AGE＝∠DGO，∴180°﹣∠ADB﹣∠DGO＝180°﹣∠AEC﹣∠AGE，∴∠DOE＝∠DAE＝60°，∴∠BOC＝60°，②正确，在OB上取一点F，使OF＝OC，连接CF，∴△OCF是等边三角形，∴CF＝OC，∠OFC＝∠OCF＝60°＝∠ACB，∴∠BCF＝∠ACO，∵AB＝AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC＝∠BFC＝180°﹣∠OFC＝120°，∴∠AOE＝180°﹣∠AOC＝60°，③正确，连接AF，要使OC＝OE，则有OC＝CE，∵BD＝CE，∴CF＝OF＝BD，∴OF＝BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF＝∠OFC＝60°，∴∠OBC＞30°，而没办法判断∠OBC大于30度，所以，④不一定正确，即：正确的有①②③，故答案为①②③；（3）如图3，延长DC至P，使DP＝DB，∵∠BDC＝60°，∴△BDP是等边三角形，∴BD＝BP，∠DBP＝60°，∵∠ABC＝60°＝∠DBP，∴∠ABD＝∠CBP，∵AB＝CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP＝∠A，∵∠BCD+∠BCP＝180°，∴∠A+∠BCD＝180°．7．（1）证明：如图1，设BD与AC交于点F，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE＝∠ACD，∵∠ABE+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFD，∴∠ACD+∠CFD＝90°，∴∠BDC＝90°；（2）如图2，过A作AE⊥AD交BD于E，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∠AFB＝∠CFD，∴∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED＝45°；（3）①如图3，在AD的下方作∠DAE＝60°，AE交BD于E点，与（2）同理△ABE≌△ACD，∴AE＝DA，∴△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝60°；②∵BE＝DC，∴DB＝BE+DE＝DA+DC．8．解：（1）因为∠DAE＝∠BAC，所以∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE．所以∠DAB＝∠EAC，在△DAB和△EAC中，，所以△DAB≌△EAC（SAS），所以BD＝CE，故答案为：△AEC，BD＝CE；（2）BD＝CE且BD⊥CE；理由如下：因为∠DAE＝∠BAC＝90°，所以∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE．所以∠DAB＝∠EAC．在△DAB和△EAC中，，所以△DAB≌△EAC（SAS），所以BD＝CE，∠DBA＝∠ECA，因为∠ECA+∠ECB+∠ABC＝90°，所以∠DBA+∠ECB+∠ABC＝90°，即∠DBC+∠ECB＝90°，所以∠BPC＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝90°，所以BD⊥CE，综上所述：BD＝CE且BD⊥CE；（3）如图3所示，BE＝CD，∠PBC+∠PCB＝60°；因为△ABD和△ACE是等边三角形，所以AD＝AB，AC＝AE，∠ADB＝∠ABD＝∠BAD＝∠CAE＝60°，所以∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，所以∠CAD＝∠EAB，在△ACD和△AEB中，，所以△ACD≌△AEB（SAS），所以CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，所以∠BPD＝180°﹣∠PBD﹣∠BDP＝180°﹣∠ABE﹣∠ABD﹣∠BDP＝180°﹣∠ABD﹣（∠ABE+∠BDP）＝180°﹣∠ABD﹣（∠ADC+∠BDP）＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝60°，所以∠PBC+∠PCB＝∠BPD＝60°．9．（1）证明：∵BF⊥BC，CE⊥AD，∴∠AEC＝∠CBF＝∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ACE＝∠BCF+∠ACE＝90°，∴∠CAD＝∠BCF，又∵AC＝BC，∴△ACD≌△CBF（ASA）；（2）证明：过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，如图2所示：由（1）得：△ACD≌△CBF，∴∠ADC＝∠F，CD＝BF，∵D为BC的中点，∴CD＝BD，∴BD＝BF，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵∠CBF＝90°，∴∠FBM＝90°﹣45°＝45°，∴∠DBM＝∠FBM，又∵BM＝BM，∴△BDM≌△BFM（SAS），∴∠BDM＝∠F，∴∠BDM＝∠ADC；（3）解：连接DF，如图3所示：∵CE⊥AD，AE＝4，CE＝2，∴BC＝AC＝＝＝2，由（2）得：BD＝BF，CD＝BD＝BC＝，△BDM≌△BFM，∴DM＝FM，AD＝＝＝5，∴DE＝AD﹣AE＝1，∵∠DBF＝90°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF＝BD＝，∴EF＝＝＝3，设DM＝FM＝x，则EM＝3﹣x，在Rt△DEM中，由勾股定理得：12+（3﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴EM＝3﹣＝，∴CM＝CE+EM＝2+＝．10．解：（1）①BE＝CD，理由如下：∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠CAE＝60°，AC＝AE，∴∠CAE+∠BAC＝∠BAD+∠BAC，即∠BAE＝∠DAC，∴△ABE≌△ADC（SAS），∴BE＝CD，故答案为：BE＝CD；②连接AN，如图①所示：由①得：△ABE≌△ADC（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ADC，∵点M，N分别是BE和CD的中点，∴BM＝DN，又∵AD＝AB，∴△ADN≌△ABM（SAS），∴AN＝AM，∠DAN＝∠BAM，∴∠BAM+∠BAN＝∠DAN+∠BAN，即∠MAN＝∠BAD＝60°，∴△AMN为等边三角形，∴∠AMN＝60°；（2）∠APC＝，理由如下：过A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，如图②所示：同（2）得：△ABE≌△ADC（SAS），△ADM≌△ABN（AAS），∴∠AEB＝∠ACD，AM＝AN，∵AM⊥CD，AN⊥BE，∴PA平分∠DPE，∴∠APE＝∠DPE，又∵∠EPC+∠ACD＝∠CAE+∠AEB，∴∠EPC＝∠CAE＝α，∴∠DPE＝180°﹣α，∴∠APE＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠APC＝∠APE+∠EPC＝90°﹣α+α＝90°+α．11．解：（1）①当n＝60时，△ABC和△DEC均为等边三角形，∴BC＝AC，EC＝DC，又∵BE＝BC﹣EC，AD＝AC﹣DC，∴BE＝AD，故答案为：BE＝AD；②BE＝AD，理由如下：当点D不在AC上时，∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝60°，∠DCE＝∠BCE+∠DCB＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）①BE＝AD，理由如下：当n＝90时，在等腰直角三角形DEC中：＝sin45，在等腰直角三角形ABC中：＝，∵∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝45°，∠DCE＝∠ACE+∠DCA＝45°，∴∠ECB＝∠DCA在△DCA和△ECB中，，∴△DCA∽△ECB，∴，∴BE＝，②DC＝5或，理由如下：当点D在△ABC外部时，设EC与AB交于点F，如图所示：∵AB＝3，AD＝1由上可知：AC＝AB＝3，BE＝＝，又∵BE∥AC，∴∠EBF＝∠CAF＝90°，而∠EFB＝∠CFA，∴△EFB∽△CFA，∴＝＝，∴AF＝3BF，而AB＝BF+AF＝3，∴BF＝＝，在Rt△EBF中：EF＝＝＝，又∵CF＝3EF＝3×＝，∴EC＝EF+CF＝＝5（或EC＝4EF＝5），在等腰直角三角形DEC中，DC＝EC•cos45°＝5×＝5．当点D在△ABC内部时，过点D作DH⊥AC于H∵AC＝3，AD＝1，∠DAC＝45°∴AH＝DH＝，CH＝AC﹣AH＝，∴CD＝＝＝，综上所述，满足条件的CD的值为5或．12．（1）证明：如图①中，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠ABD，∴2∠ABD+∠A＝90°，∴△ABD是“准直角三角形”．（2）解：①∵∠B＝70°，∠C＝10°，∴∠B+2∠C＝90°，∴△ABC是“准直角三角形”．故①正确．②∵三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”，∴α+β＜90°，∴三角形的第三个角大于90°，∴三角形有多少钝角三角形，∴显然△ABC不符合条件，故②错误，③正确．②中已经证明．故答案为①③．（3）解：如图②中，当∠AP1B＝10°，∠AP2B＝40°，∠AP3B＝110°，∠AP4B＝20°时，△ABP满足条件，是“准直角三角形”．13．（1）解：∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE＝63°，∴∠EAB＝54°，∵∠BAC＝45°，∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAB+2∠BAC+∠FAC＝180°，∴54°+2×45°+∠FAC＝180°，∴∠FAC＝36°；（2）EF＝2AD；理由如下：延长AD至H，使DH＝AD，连接BH，如图1所示：∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD，在△BDH和△CDA中，，∴△BDH≌△CDA（SAS），∴HB＝AC＝AF，∠BHD＝∠CAD，∴AC∥BH，∴∠ABH+∠BAC＝180°，∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAF＝∠ABH，在△ABH和△EAF中，，∴△ABH≌△EAF（SAS），∴EF＝AH＝2AD；（3）；理由如下：由（2）得，AD＝EF，又点G为EF中点，∴EG＝AD，由（2）△ABH≌△EAF，∴∠AEG＝∠BAD，在△EAG和△ABD中，，∴△EAG≌△ABD（SAS），∴∠EAG＝∠ABC＝70°，∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAB+2∠BAC+∠CAF＝180°，即：70°+2∠BAC+∠CAF＝180°，∴∠BAC+∠CAF＝55°，∴∠BAC＝55°﹣∠CAF，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝1