【优化方案】高考数学总复习 第2章§2.4函数的奇偶性与周期性精品课件 大纲人教

§2.4函数的奇偶性与周期性

考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考2.4函数的奇偶性与周期性双基研习·面对高考双基研习·面对高考1．函数的奇偶性基础梳理奇偶性定义图象特点偶函数如果函数f(x)的定义域内任意一个x都有___________，那么函数f(x)是偶函数关于____对称奇函数如果函数f(x)的定义域内任意一个x都有_____________，那么函数f(x)是奇函数关于____对称f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)y轴原点2.函数的周期性(1)周期的定义一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有____________，则称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为函数f(x)的周期．(2)最小正周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的____________．f(x＋T)＝f(x)最小正周期思考感悟1．奇、偶函数的定义域有什么特点？提示：奇、偶函数的定义域在数轴上都关于原点对称．2．存在既是奇函数又是偶函数的函数吗？提示：存在，f(x)＝0(x∈R)．1．(教材例4改编)设f(x)＝x3＋2x，g(x)＝2x4＋3x2，则y＝f(x)·g(x)是(

)A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数

D．非奇非偶函数答案：A课前热身答案：A答案：A5．f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，则f(3)＝__________.答案：0首先先判判定定函函数数的的定定义义域域．．定定义义域域关关于于原原点点对对称称是是函函数数存存在在奇奇偶偶性性的的必必要要条条件件，，再再判判定定函函数数f(x)是否否满满足足奇奇偶偶性性的的定定义义或或者者图图象象特特征征，，对对于于分分段段函函数数要要逐逐段段讨讨论论．．参参考考小小结结与与复复习习例例3.考点探究·挑战高考考点一函数奇偶性的判定考点突破例1【思路路分分析析】可从从定定义义域域入入手手，，在在定定义义域域关关于于原原点点对对称称情情况况下下，，考考查查f(－x)与f(x)的关关系系．．【误区区警警示示】对于于(1)只代代入入－－x而得得出出偶偶函函数数结结论论，，对对于于(2)易丢丢掉掉定定义义域域，，对对于于(3)只判判断断一一部部分分．．函数数的的周周期期性性是是指指函函数数的的重重复复性性变变化化，，是是对对于于定定义义域域内内的的所所有有自自变变量量x来说的的，不不是指指某几几个特特定的的自变变量，，若T是它的的一个个周期期，则则nT(n∈Z，n≠0)也是该该函数数的一一个周周期．．考点二函数的周期性设f(x)是定义义在R上的奇奇函数数，且且对任任意实实数x恒满足足f(x＋2)＝－f(x)，(1)求f(0)的值，，f(2)的值．．(2)证明f(x)是周期期函数数，并并求最最小正正周期期．【思路流流程】(1)x＝0→f(0)→f(2)；(2)f(x＋4)→→f(x＋2)→→T.例2【解】(1)∵f(x)是定义义在R上的奇奇函数数，∴f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.又∵f(x＋2)＝－f(x)，当x＝0时，f(2)＝－f(0)＝0.(2)证明：：由f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期期为4的周期期函数数．互动探探究1在本例例中条条件不不变，，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.当x∈[2,4]时，求求f(x)的解析析式．．有关函函数问问题，，要充充分考考虑到到它的的所有有性质质：定定义域域、值值域，，最值值、奇奇偶性性、单单调性性、周周期性性、并并结合合图象象综合合运用用．考点三函数性质的综合应用例3【思路分分析】(1)x1＝x2＝1→f(1)；(2)令x1＝－1→f(－x)＝f(x)；(3)x＝1对称→f(x)＝f(2－x)→f(x)＝f(2＋x)．方法技技巧1．奇、、偶函函数的的性质质(1)设函数数f(x)，g(x)的定义义域分分别是是D1，D2，那么么在它它们公公共定定义域域上有有：当当f(x)，g(x)均为奇奇函数数时，，f(x)＋g(x)是奇函函数，，f(x)·g(x)是偶函函数；；当f(x)，g(x)均为偶偶函数数时，，f(x)＋g(x)是偶函函数，，f(x)·g(x)是偶函函数；；奇函函数的的反函函数也也是奇奇函数数．如如课前前热身身1、2.方法感悟(2)若f(x)是偶函函数⇔⇔f(x)＝f(|x|)；若奇奇函数数f(x)的定义义域内内含有有数0，则必必有f(0)＝0.如例2.(3)若函数数f(x)为奇函函数，，在[a，b]上为增增函数数，则则f(x)在[－b，－a]上为增增函数数．若函数数f(x)为偶函函数，，在[a，b]上为增增函数数，则则f(x)在[－b，－a]上为减减函数数．(4)函数奇奇偶性性的判判定方方法①利用用定义义f(x)是奇函函数⇔⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0.f(x)是偶函函数⇔⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0.②利用用图象象的对对称性性f(x)是奇函函数⇔⇔f(x)的图象象关于于____对称．．f(x)是偶函函数⇔⇔f(x)的图象象关于于____对称．．2．函数数的“周期性性”与“对称性性”的伙伴伴关系系(1)设a为非零常常数，若若对于f(x)的定义域域内的任任意x，恒有下下列条件件之一成成立．原点y轴失误防范范1．判断函函数的奇奇偶性，，首先应应该判断断函数定定义域是是否关于于原点对对称．定定义域关关于原点点对称是是函数具具有奇偶偶性的一一个必要要条件．．如例1的(1)、(2)．2．判断分分段函数数奇偶性性时，要要以整体体的观点点进行判判断，不不可以利利用函数数在定义义域某一一区间上上不是奇奇偶函数数而否定定函数在在整个定定义域上上的奇偶偶性．如如例1(3)．3．奇偶性性和周期期性都是是函数的的整体性性质．奇奇偶性是是解决函函数图象象的对称称性问题题，周期期性是解解决函数数图象的的平移问问题．单单调性是是函数的的局部性性质，要要注意区区分对于于偶函数数y＝f(x)，f(a)<f(b)⇔f(|a|)<f(|b|)，如例3.4．并不是是所有的的周期函函数都有有最小正正周期．．考向瞭望·把脉高考函数的奇奇偶性、、周期性性是高考考命题的的热点．．从这两两年的高高考试题题来看，，主要是是奇偶性性与单调调性的小小综合，，周期性性的考查查常以利利用周期期性求函函数值，，以选择择题、填