2023年北京市各区二模试题汇编-导数及其应用-打印

年北京市各区二模试题汇编--导数及其应用一填空选择〔2023年东城二模理科〕〔8〕定义：，数列满足：，假设对任意正整数，都有成立，那么的值为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔2023年海淀二模文理科〕8、点是曲线上的一个动点，曲线在点处的切线与轴、轴分别交于两点，点是坐标原点.给出三个命题：①；②的面积为定值；③曲线上存在两点，使得为等腰直角三角形．其中真命题的个数是〔A〕１〔B〕２〔C〕３〔D〕０〔2023年丰台二模文科〕5．函数(A)是偶函数，且在上是减函数(B)是偶函数，且在上是增函数(C)是奇函数，且在上是减函数(D)是奇函数，且在上是增函数〔2023年丰台二模理科〕3．由曲线与y=x，x=4以及x轴所围成的封闭图形的面积是(A)(B)(C)(D)〔2023年房山二模文科〕8．是定义在上的偶函数，当时，，且，那么不等式的解集是()(A)∪(B)∪(C)∪(D)∪二解答题〔2023年东城二模文科〕〔18〕〔本小题共13分〕函数.〔Ⅰ〕假设，求在处的切线方程；〔Ⅱ〕假设在上是增函数，求实数的取值范围〔18〕〔共13分〕解：〔Ⅰ〕由，，，………1分所以.……3分又，所以所求切线方程为即.5分〔Ⅱ〕由，得.因为函数在上是增函数，所以恒成立，即不等式恒成立.………………9分整理得.令……11分的变化情况如下表：+极小值由此得的取值范围是.………13分〔2023年东城二模理科〕〔19〕〔本小题共13分〕函数〔〕．〔Ⅰ〕试讨论在区间上的单调性；〔Ⅱ〕当时，曲线上总存在相异两点，，使得曲线在点，处的切线互相平行，求证：.〔19〕〔共13分〕〔Ⅰ〕解：由，.……2分由，得，.………4分因为，所以,且．所以在区间上，；在区间上，.故在上单调递减，在上单调递增．……6分〔Ⅱ〕证明：由题意可得，当时，〔，且〕.即，所以，.……8分因为，且，所以恒成立，所以，又，所以，整理得.……11分令，因为，所以在上单调递减，所以在上的最大值为，所以.……………13分〔2023年西城二模理科〕19．〔本小题总分值14分〕函数，其中．〔Ⅰ〕当时，求曲线在原点处的切线方程；〔Ⅱ〕求的单调区间；〔Ⅲ〕假设在上存在最大值和最小值，求的取值范围．19.〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕解：当时，，．………………2分由，得曲线在原点处的切线方程是．…………3分〔Ⅱ〕解：．………………4分①当时，．所以在单调递增，在单调递减．………………5分当，．②当时，令，得，，与的情况如下：↘↗↘故的单调减区间是，；单调增区间是．………7分③当时，与的情况如下：↗↘↗所以的单调增区间是；单调减区间是，．………………9分〔Ⅲ〕解：由〔Ⅱ〕得，时不合题意．………………10分当时，由〔Ⅱ〕得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值．设为的零点，易知，且．从而时，；时，．假设在上存在最小值，必有，解得．所以时，假设在上存在最大值和最小值，的取值范围是．…………12分当时，由〔Ⅱ〕得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值．假设在上存在最大值，必有，解得，或．所以时，假设在上存在最大值和最小值，的取值范围是．综上，的取值范围是．………………14分〔2023年海淀二模文科〕18、〔本小题总分值13分〕函数〔，〕.〔Ⅰ〕求函数的单调区间；〔Ⅱ〕当时，假设对任意，有成立，求实数的最小值.18、〔本小题总分值13分〕解：.令，解得或.…………2分〔Ⅰ〕当时，，随着的变化如下表↘极小值↗极大值↘函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，.………4分当时，，随着的变化如下表↘极小值↗极大值↘函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，.…6分〔Ⅱ〕当时，由〔Ⅰ〕得是上的增函数，是上的减函数.又当时，.………8分所以在上的最小值为，最大值为.……10分所以对任意，.所以对任意，使恒成立的实数的最小值为.…………13分〔2023年海淀二模理科〕(19)〔本小题总分值14分〕函数.〔Ⅰ〕求的单调区间；〔Ⅱ〕假设，求证：函数只有一个零点，且；〔Ⅲ〕当时，记函数的零点为，假设对任意且都有成立，求实数的最大值.〔此题可参考数据：〕(19)〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕解：的定义域为..……1分令，或.当时，，函数与随的变化情况如下表：00极小值极大值所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和.……3分当时，.所以，函数的单调递减区间是.……4分当时，，函数与随的变化情况如下表：000极小值极大值所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和.……5分〔Ⅱ〕证明：当时，由〔Ⅰ〕知，的极小值为，极大值为.因为，，且在上是减函数，所以至多有一个零点.……7分又因为，所以函数只有一个零点，且.……9分〔Ⅲ〕解：因为，所以对任意且由(Ⅱ)可知：，，且.……10分因为函数在上是增函数，在上是减函数，所以，.……11分所以.当时，=>0.所以.……13分所以的最小值为.所以使得恒成立的的最大值为.……14分〔2023年朝阳二模理科〕18.〔本小题总分值14分〕函数．〔Ⅰ〕假设曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；〔Ⅱ〕讨论函数的单调性；〔Ⅲ〕当时，记函数的最小值为，求证：．18.〔本小题总分值14分〕解：〔I〕的定义域为..根据题意，有，所以，解得或.……3分〔II〕.〔1〕当时，因为，由得，解得；由得，解得.所以函数在上单调递增，在上单调递减.〔2〕当时，因为，由得，解得；由得，解得.所以函数在上单调递减，在上单调递增.……9分〔III〕由〔Ⅱ〕知，当时，函数的最小值为，且.，令，得.[来源:学§科§网Z§X§X§K]当变化时，，的变化情况如下表：＋0－极大值是在上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是的最大值点.所以.所以，当时，成立.……14分〔2023年丰台二模文科〕20.〔本小题共13分〕函数f(x)=lnx，，两函数图象的交点在x轴上，且在该点处切线相同．〔Ⅰ〕求a，b的值；〔Ⅱ〕求证：当x>1时，f(x)<g(x)成立；〔Ⅲ〕证明：〔〕．20．解：〔Ⅰ〕因为与的图象在轴上有公共点(1，0)，所以，即．又因为，，由题意，所以，．………………4分〔Ⅱ〕设，那么．所以在时单调递减．由可得当时，即．…………9分〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕得，．令，那么，所以，．将上述n个不等式依次相加得，所以．………13分〔2023年丰台二模理科〕20.〔本小题共13分〕设函数．〔Ⅰ〕当时，求函数的最小值；〔Ⅱ〕证明：对x1，x2∈R+，都有；〔Ⅲ〕假设，证明：．20．解：〔Ⅰ〕时，，()，那么．令，得．当时，，在是减函数，当时，，在是增函数，所以在时取得最小值，即．………4分〔Ⅱ〕因为，所以．所以当时，函数有最小值．x1，x2∈R+，不妨设，那么．……8分〔Ⅲ〕〔证法一〕数学归纳法ⅰ)当时，由〔Ⅱ〕知命题成立．ⅱ〕假设当(k∈N*)时命题成立，即假设，那么．当时，，，…，，满足．设，由〔Ⅱ〕得==．由假设可得，命题成立．所以当时命题成立．由ⅰ)，ⅱ〕可知，对一切正整数n∈N*，命题都成立，所以假设，那么．……13分〔证法二〕假设，那么由〔Ⅱ〕可得．…13分〔2023年顺义二模文科〕18．〔本小题共14分〕函数,其中〔Ⅰ〕求曲线在处的切线方程;〔Ⅱ〕设函数，求的单调区间.18．〔本小题共14分〕解：〔Ⅰ〕当时，，，所求切线方程为__________5分〔Ⅱ〕，__________6分根，〔〕__________8分当，即时，在上，在上在上单调递增，在上单调递减；__________10分当，即时，在上，在上在上单调递增，在上单调递减.__________14分〔2023年顺义二模理科〕18．〔本小题共14分〕函数,(其中).〔Ⅰ〕求曲线在处的切线方程;〔Ⅱ〕假设是函数的极值点，求实数的值;〔Ⅲ〕假设对任意的，〔为自然对数的底数，〕都有，求实数的取值范围.18．〔本小题共14分〕解：〔Ⅰ〕定义域__________1分，__________3分法一：令，解得，又，，__________4分经验证符合条件.__________5分法二：令，，，，为极值点，，解得，又，，〔Ⅱ〕对任意的都有成立，等价于对任意的都有成立，__________7分当，，在上单调递增，.__________8分，，〔1〕假设，，在单调递增，，，解得.__________10分〔2〕假设当，那么当，那么在递减，在递增，，，又，__________12分〔3〕当时，在递减，，恒成立.__________13分综上所述.__________14分〔2023年昌平二模文科〕18．〔本小题总分值14分〕函数〔，为常数〕，且为的一个极值点．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求函数的单调区间；(Ⅲ)假设函数有3个不同的零点，求实数的取值范围．18．〔本小题总分值14分〕解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为〔0，+∞〕……1分∵f′(x)=……2分∴，那么a=1．………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知∴f′(x)=………6分由f′(x)>0可得x>2或x<1，由f′(x)<0可得1<x<2．∴函数f(x)的单调递增区间为(0，1)和(2，+∞)，单调递减区间为(1,2)．………9分(Ⅲ)由(Ⅱ)可知函数f(x)在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，在(2，+∞)单调递增．且当x=1或x=2时，f′(x)=0．………10分∴f(x)的极大值为………11分f(x)的极小值为……12分由题意可知那么………14分〔2023年昌平二模理科〕18．〔本小题总分值13分〕函数R.〔Ⅰ〕当时，求的单调区间;〔Ⅱ〕假设在上的最小值为，求的值.18．〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕f(x)的定义域为｛x|｝……………1分.…………3分令，即，∴的增区间为〔0，1〕，……………4分令，即，∴的减区间为………………5分〔Ⅱ〕①当时，在上恒成立，在恒为增函数.………6分，得………7分②当时，令，得.当时，在上为减函数；当时，在上为增函数；，得〔舍〕………10分③当时，在上恒成立，此时在恒为减函数.，得………12分综上可知………13分〔2023年怀柔二模理科〕18．〔本小题总分值13分〕，其中是自然常数，．〔Ⅰ〕讨论时，的单调性、极值；〔Ⅱ〕求证：在〔Ⅰ〕的条件下，；〔Ⅲ〕是否存在实数，使的最小值是3，假设存在，求出的值；假设不存在，说明理由．18．〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕，∴当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增∴的极小值为4分〔Ⅱ〕的极小值为1，即在上的最小值为1，∴，……5分令，，当时，，在上单调递增∴∴在〔1〕的条件下，8分〔Ⅲ〕假设存在实数，使〔〕有最小值3，当时，在上单调递减，，〔舍去〕，所以，此时无最小值.当时，在上单调递减，在上单调递增，，满足条件.