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2015年大学生数学竞赛解析01一、求极限

【解】上连续，故因在存在，且所以，二、请问何值时下式成立

【解】因此要想极限存在，分子必时使用洛必达法则得到cba,,注意到左边得极限中，无论为何值总有分母趋于零，，当须为无穷小量，于是可知必有由上式可知：当时，若，则此极限，则存在，且其值为0；若综上所述，得到如下结论：或。三、计算定积分。【解】作变换，则

，

所以，。练习：计算二重积分四、求数列中的最小项。【解】因为所给数列是函数当x分别取时的数列。又且令，容易看出：当时，当时，。所以，有唯一极小值。而，因此数列的最小项。五、求【解】当时，收敛；。考虑幂级数,其收敛半径为1，收敛区间为时，当发散，因此其收敛域为。设其和函数为,则，于是，故，。六、设，其中【解】上式两端对求导得（*）为连续函数，求。原方程可写为，

求导得两端再对即这是一个二阶线性常系数非齐次方程，，由（*）式知特征方程为，齐次通解为由原方程知设非齐次方程特解为，代入得则非齐次方程通解为由初始条件和可知，七、在过点和的曲线族中，求一条曲线L，使沿该曲线从o到A的积分的值最小。【解】；令，得;且是在(0,+∞)内的唯一极值点，故又，则在处取极小值，时,取最小值，则所求曲线为八、设f(x)在[−1,1]上有二阶导数，且，证明：，x∈[−1,1]。。1．2.f(x)=x在[−1,1]上有且只有一个实根。【证明】1.由泰勒公式，两式相减并整理得于是,由于，因此，。2.令,则，。但F(x)在[−1,1]上连续,由介值定理知,F(x)在[−1,1]上至少有一个零点。又由1可知，故这样F(x)在[−1,1]上有且只有一个零点，即在[−1,1]上严格单调，从而至多有一个零点。f(x)=x在[−1,1]上有且只有一个实根。九、设在为连续函数,则【解】令则，则所以。即

c为常数。而，特别地,

即十、设是[0,1]上的连续函数，证明。【证法一】设。由于，所以【证法二】十一、求下列极限，1、2、3、4、提示：级数收敛域为则于是所以，原极限5

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