刚体力学课件

第一篇

力学第５章刚体的定轴转动第5章刚体的定轴转动RotatingofaRigidBodyAboutaFixedAxis第1节刚体的平动和转动第2节刚体定轴转动定律第3节刚体转动的功和能第4节刚体的角动量定理和角动量守恒定律第5节进动TranslationandRotationofaRigidBody第1节刚体的平动和转动1.刚体大小和形状都保持不变的物体。是一种理想化的模型，但有重要的实际意义。刚体可看成是各质点间相对位置保持不变的特殊的质点系。关于质点系的力学规律都可用于刚体。13.刚体的转动刚体定轴转动的描述转轴刚体转轴上各点都保持静止转动：刚体各点都绕同一直线

(转轴)

作圆周运动。最简单的情况是转轴的位置和方向都固定不变的转动，称为刚体的定轴转动。在同一时间内,各点对轴的转角相等，但线速度不同。用角量来描述转动规律较为方便。5(1)

角位置定轴转动的运动方程(3)

角速度(4)

角加速度单位：

弧度(rad)(2)

角位移描述刚体的定轴转动的物理量22dtddtdqwb==6转轴刚体q参考方向xp注意:

这里的角量单位都用弧度(rad)定轴转动中角量与线量的基本关系类似一维运动,各角量的方向由“+”,“–”号表示。矢量式71.力矩（1）在垂直oo

的平面内（2）不在垂直oo

的平面内oo.P对刚体绕oo轴的转动无贡献

总可分解成两个分量：计算时,只需考虑的力矩,即Mz.第2节刚体定轴转动定律PrincipleofRotationofaRigidBodyAboutaFixedAxis(参考点在转轴上)oo.P8——刚体对定轴(z轴)的转动惯量

由刚体上各质元相对于固定转轴的分布决定，与外力无关，是表征刚体转动惯性的特征量。与牛顿第二定律比较：Jmm——反映质点的平动惯性定轴转动定律:J——反映刚体的转动惯性113.转动惯量的计算（1）分立的质量元构成的系统（2）质量连续分布的系统(如:刚体)Mrdm单位：kgm2质量元dm的计算方法如下：质量为线分布质量为面分布质量为体分布线密度面密度体密度12例1.

求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动

惯量。轴与圆环平面垂直并通过环心。解：若是半径为R的薄圆筒（不计厚度）结果如何？OdmOR在圆环上取质量元dm结果形式不变！13例2.

求质量为m,

半径为R,厚为l的均匀圆盘的

转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：lr取半径为r宽为dr的薄圆环,其质量为显然：转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其

轴的转动惯量也是mR2/2。14例3.如图所示,一个均匀半圆薄板的质量为m,半径为R.以其直径边为转轴,它的转动惯量多大？解:取窄条状面元dS.设面密度为.dShdhd对应的弧长为Rd?15X例4.求长为L、质量为m的均匀细棒

对图中不同轴的转动惯量。ABLo解：取如图坐标dm=dx绕过质心的转轴的J可见：同一物体绕不同的转轴的转动惯量不同。ABL/2L/2CXo16LRmm匀质薄圆盘匀质细直棒转轴通过中心垂直盘面22J=mR123J=mL1转轴通过端点与棒垂直两个常用的结果184.刚体定轴转动定律的应用19am1m2m1ga1T1m2gT2a2T1/T2/T例：一细绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体(m1<m2)，如图所示.设滑轮和绳的质量可忽略不计，绳不能伸长，试求物体的加速度以及悬挂滑轮的绳中张力.解：选取对象m1、m2及滑轮分析运动

m1，以加速度a1向上运动

m2，以加速度a2向下运动分析受力隔离体受力如图所示.取a1向上为正方向，则有

T1－m1g＝m1a1①以a2向下为正方向，则有

m2g－T2＝m2a2.②根据题意有

T1＝T2＝T，a1＝a2＝a.联立①和②两式得由牛顿第三定律知：

T1/＝T1＝T，T2/＝T2＝T，例7.

在半径为R,质量为m，J=mR2的圆轮上挂一细绳细绳两端各挂两物m1>m2。求:两物的加速度a及轮子的角加速度.m2m1解：m1、m2作为质点处理轮子作刚体处理,m1gT1m2gT2T1T2根据牛顿定律y由定轴转动定律：解得25.第3节刚体转动的功和能WorkandEnergyofaRotatingRigidBody1.刚体的转动动能多个质点组成的质点系的动能定义为所以，转动的刚体的动能为:302.力矩的功力在这段元位移中所做的功是即:力对转动刚体所做的功用力矩的功来计算!所以313.刚体绕固定轴转动的动能定理在刚体的转动过程中,合外力矩M对刚体所做的功为:即

合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量——刚体绕固定轴转动的动能定理324.刚体的重力势能yhihcxOMCmi质元mi的势能整个刚体的势能刚体的重力势能5.机械能守恒定律对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有保守内力做功,则此系统的机械能守恒。它的全部质量都集中

在质心时所具有的势能33xOmgC例10.一根长为L,质量为m的均匀细直棒,一端有一

固定的光滑水平轴,因而可以在竖直平面内转

动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆

角时的角加速度和角速度。解：（用机械能守恒定律重解例5.)在棒摆动过程中系统的机械能守恒。设棒在水平位置时重力势能为零，由机械能守恒知:与前面解得的结果一致!341.刚体的角动量刚体上的任一质元绕固定轴做圆周运动时相对于转轴上任意一点O的角动量在轴上的分量的大小均为故刚体对此轴的角动量为即：刚体对定轴的角动量L,等于它对该轴的转动

惯量J和角速度的乘积。简写为第4节刚体的角动量定理和角动量守恒定律PrincipleofAngularMomentum&LawofConservationofAngularMomentumofaRigidBodyRotatingAboutaFixedAxis35质点的角动量定理为对质点系任意一质点定轴方向0对质点系由上可得定轴转动定律——刚体绕定轴的角动量定理2.刚体绕定轴的角动量定理内外Jz不变Jz变化36合外力矩M

对刚体绕定轴的冲量矩为与动量定理比较即:对某一定轴的外力矩的作用在某段时间内的累积效果为刚体对同一转动轴的角动量的增量。(微分形式)刚体绕定轴的角动量定理(积分形式)简写为37当合外力矩则——角动量守恒（1）当L=常量，若J=常量，则

=常量。即：刚体保持恒定的角速度

转动。当L=常量，若J常量，J=常量，则

常量。或J（2）此定律可推广到含多个质点、多个刚体的系统3.角动量守恒定律38讨论oouvmm碰前碰后例12.匀质细棒质量为m,长为2L,可在铅直平面内绕通过其中心的水平轴O自由转动.开始时棒静止于水平位置,一质量为m'的小球,以速度u垂直落到棒的端点,且与棒作弹性碰撞.

求:碰撞后小球的回跳速度以及棒的角速度.解:

以棒和小球为系统.在碰撞过程中,对轴O的外力矩只有小球的重力矩mgL.因碰撞时间极短,此重力矩对时间的累积可忽略不计.

于是,系统对转轴o的角动量守恒:40以顺时针转动时的角动量方向为正,则因作弹性碰撞,故在碰撞过程中机械能守恒