【河南省优质】高中数学：2.2《直线与平面垂直的判定》课件（新人教A必修2）

2.3.1直线与平面垂直的判定一、直线与平面垂直的定义如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α。（如图）直线l叫做平面α的垂线。平面α叫做直线l的垂面。直线l和平面α的交点叫做垂足。αPl注：画直线与水平平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形横边垂直。返回二、直线和平面垂直的判定定理

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。三、线面垂直判定定理的证明已知：mα，nα，m∩n=B，l⊥m，l⊥n。求证：l⊥α。αmnBlαmnBllαmnBllαmngBlαmngBglαmnBgAA’AB=A’’BlαmnBgAA’’AB=A’’BlαmnBgAA’AB=A’BlαmnBgAA’lαmngABA’CDElαmngABCDA’ElαmngABCDA’El⊥mlαmABCA’l⊥mlαmABCA’l⊥mAC=A’ClαmngABCDA’EAD=A’’DlαmngABCDA’ECD=CDlαmngABCDA’E△ACD≌≌△A’CDlαmngABCDA’E∠ACE=∠A’CElαmngABCDA’’EAC=A’’CCE=CElαmngABCDA’’E△ACE≌≌△△A’’CElαmngABCDA’’EAE=A’’ElαmngABCDA’’EAE=A’’EAB=A’’BlαgABA’’EAE=A’’EAB=A’’BlαgABA’’EAE=A’’EAB=A’’Bl⊥⊥g如果果一一条条直直线线和和一个个平平面面内内的两两条条相交交直线线都垂直直，，那那么么这这条条直直线线垂垂直直于于这这个个平平面面。。直线线和和平平面面垂垂直直的的判判定定定定理理注：mαnαm∩n=Bl⊥m

l⊥nl⊥α这个个定定理理还还说说明明这这样样一一个个事事实实，，的的确确存存在在着着和和一一个个平平面面内内一一切切直直线线都都垂垂直直的的直直线线，，从从而而得得证证了了直直线线和和平平面面垂垂直直的的合合理理性性。。这个定理理不仅提提供了判判定直线线和平面面垂值得得一种方方法，而而且还是是证明直直线和直直线互相相垂直的的一种常常用的方方法，即即要想证证明a⊥b，，只需证a与b所在平面面内的两两条相交交直线垂垂直（或或证b与a所在平面面内的两两条相交交直线垂垂直）。。小结1、如果果一条直直线垂直直于平面面内的一一条直线线，能否否判断这这条直线线和这个个平面垂垂直？2、如果果一条直直线垂直直于平面面内的两两条直线线，能否否判断这这条直线线和这个个平面垂垂直？3、如果果一条直直线垂直直于平面面内的无无数条直直线，能能否判断断这条直直线和这这个平面面垂直？？练习4、如果果三条直直线共点点、且两两两垂直直，其中中任一条条直线是是否垂直直于另两两条直线线确定的的平面？？为什么么？5、如果果一条直直线垂直直于一个个三角形形的两边边，能否否断定这这条直线线和三角角形的第第三条边边垂直？？为什么么？练习αabmn已知：a∥b，，a⊥⊥α求证：b⊥α例1如果两条平行行直线中的一一条垂直于一一个平面，那那么另一条也也垂直于同一一个平面。（此定理可看看作线面垂直直的判定公理理二）证明：在平面面α内作两条相交交直线m，n∵a⊥α∴a⊥m,a⊥n∵b∥a∴b⊥m，，b⊥n∴b⊥ααabmnαβγabcE例2已知：bα，cα,b∩c=E，β∩γ=a，，c⊥β，d⊥γ。求证：a⊥α。证明：∵b⊥β，ββ∩γ=a，，∴b⊥a；；∵c⊥γ，β∩∩γ=a，∴c⊥a；；∵b∩c=E，，bα，cα,∴a⊥α。。αβγabcE例3已知：正方体体中，AC是面对角线，，BD’是与AC异面的体对求证：AC⊥BD’ABDCA′B′CD′′证明：连接BD∵正方体ABCD-A’B’C’’D’∴DD’⊥正方体ABCD