1-3-2《函数的奇偶性》第二课时

§1.3.2奇偶性1.函数奇偶性的定义．

定义法利用性质2.函数奇偶性的判定图象法:画出函数图象①考查函数定义域是否关于原点对称；②判断f(-x)＝±f(x)之一是否成立；③作出结论.复习回顾一个函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称.一个函数为偶函数⇔它的图象关于y

轴对称.3.性质:奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(2)在定义域的关于原点对称的公共区间内奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇±偶=非奇非偶.偶×偶=偶；奇×奇=偶；偶×奇=奇.(1)奇函数、偶函数的图象特点(3)奇偶性与单调性的关系

【1】判断下列函数的奇偶性练一练[分析]

利用函数奇偶性定义来判断．

∴f(x)为奇函数．(2)f(x)定义域为R，且f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(3)定义域为(－∞，＋∞)，f(－x)＝－2x＋1，∵f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，∴f(x)为非奇非偶函数．(4)定义域为{1}，∵定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数．∴f(x)为偶函数．

【2】如果奇函数f(x)在区间[3,7]上为增函数,且最小值是5,则在区间[-7,-3]上有没有最大值？是多少？解:如图所示函数有最大值–5.练一练-7-3-535xy7o

【4】设函数f(x)的定义域关于原点对称,判断下列函数的奇偶性：①F(x)=[f(x)+f(-x)]/2;②G(x)=[f(x)-f(-x)]/2.【点评】任意一个关于原点对称的函数,总可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和.

【3】设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性:(1)F(x)=f(x)+f(-x)(2)F(x)=f(x)-f(-x)练一练例1、判断的奇偶性.解:①当x＞0时,－x＜0,f(-x)=(-x)2+(-x)-6=x2-x-6=f(x);②当x

＜0时,-x

＞0,f(-x)=(-x)2-(-x)－6=x2+x-6

=f(x)

;③当x=0时,－x=0,f(-x)=f(0)=f(x).综上所述：

f(x)是偶函数例题讲解学案p28跟踪训练1

例2、已知f(x)是定义在Ｒ上的奇函数,当x＞0时,f(x)=x2+x-1,求函数f(x)的表达式．引申：如果改为偶函数呢？xyo已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.[解析]

x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.例3.定义在[-1,1]上的函数f(x)是奇函数,并且在[-1,1]上f(x)是增函数,求满足条件f(1-a)+f(1-a2)≤0的a

的取值范围.解:由f(1-a)+f(1-a2)≤0,∵f(x)是奇函数,∵f(x)在[-1,1]上是增函数,－2201故

a

的取值范围为

3．已知函数f(x)为奇函数，且在(－2,2)上单调递增，且有f(2＋a)＋f(1－2a)＞0，求a的取值范围．

解：因为函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)．

由f(2＋a)＋f(1－2a)＞0，得f(2＋a)＞－f(1－2a)．

即f(2＋a)＞f(2a－1)．

又因为f(x)在(－2,2)上单调递增，变式练习3例4．已知函数

f(x)对于任何实数x,y

都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且

f(0)≠0．求证:f(x)是偶函数.令x=y=0,则令x=0,则故f(x)是偶函数.解：已知函数

f(x)对于任何实数x,y

都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，变式练习4【1】若对一切实数x,y都有

(1)求f(0)的值;(2)判定f(x)的奇数偶性;(3)若f(1)=8,求f(-n),n∊N*.令x=y=0,则令y=-x,则故f(x)是奇函数.解:因为对于任何实数

x,y

都有函数奇偶性与单调性的应用

【例5

】(2014

年广东二模)定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f＝0，则不等式xf(x)>0的解集是()

图D13答案：C【变式与拓展】5．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0)上是减函数，且