初中数学教学课件：2414圆周角（人教版九年级上）

24.1.4圆周角1.理解圆周角的概念,掌握圆周角的定理的内容及简单应用；2.掌握圆周角的定理的三个推论及简单应用；3.渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法.圆周角：__________，并且角______________.圆心角:___________的角.顶点在圆上两边都和圆相交顶点在圆心一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.化归化归圆周角定理分类讨论完全归纳法定理定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？什么时候圆周角是直角？反过来呢？直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？理解定理3.如下图，⊙O1和⊙O2是等圆，如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么关系？反过来呢？OBADEC1.如下左图，比较∠ACB、∠ADB、∠AEB的大小.2.如上右图，如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么关系？反过来呢？DCEBFAODCEO1BFAO2想一想同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.FED思考：1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等.推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是90°；

90°的圆周角所对的弦是直径.

如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.推论2：推论3：如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，∵AB是直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴AD=BD.【解析】

例题1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（）.A.50°B.80°C.90°D.100°ACBOD2、如图，△ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC等于（）.A.30°B.60°C.90°D、45°CABPB跟踪训练1.如图，∠A=50°，∠AOC=60°BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（）.A.70°B.110°C.90°D.120°BACBODE2.（南通·中考）如图，⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的长是()A．1 B．C．D．2【解析】选D.直径所对的圆周角是直角，在直角三角形中，30°的角所对的边是斜边的一半.

OABC3.（衢州·中考）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D是弧BC的中点，已知∠AOB=98°，∠COB=120°．则∠ABD的度数是

．【解析】如图，连接OD，∵D是弧BC的中点，∠COB=120°．∴∠CBD=∠COD=×∠COB=30°.又∠AOB=98°，∠COB=120°．∴∠OAB=41°，∠OBC=∠OCB=30°,∠ABD=41°+30°+30°=101°.答案：101°ABCDO4.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是多少？CABO【解析】连结OA、OB∵∠C=30°，∴∠AOB=60°又∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形∴OA=OB=AB=2，即半径为2.5.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（提示：作出以这条边为直径的圆）·ABCO求证：△ABC为直角三角形.证明：CO=AB,以AB为直径作⊙O，∵AO=BO， ∴AO=BO=CO.∴点C在⊙O上.又∵AB为直径,∴∠ACB=×180°=90°.已知：如图△ABC中，CO为AB边上的中线，且CO=AB∴△ABC为直角三角形.24.1.4圆周角（第2课时）

——圆周角定理的推论1、100º的弧所对的圆心角等于_______，所对的圆周角等于_______。2、一弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为________________。3、如图，在⊙O中，∠BAC=32º，则∠BOC=________。4、如图，⊙O中，∠ACB=130º，则∠AOB=______。5、下列命题中是真命题的是（）（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。（B）60º的圆周角所对的弧的度数是30º（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角（D）120º的弧所对的圆周角是60º课前测验AOCBBAOC100º50º36º或144º64º100ºD图1图2图3如图1至图3，

∵对着圆周角∠C和圆心角∠AOB，AB∴∠C=

∠AOB，从而，∠AOB=

∠C。2图1图2图3如图1至图3，

（1）若∠AOB=50°，则∠C=

°；（2）若∠C=75°，则∠AOB=

°。25150问题讨论问题1、如图1,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?为什么?图1问题2、如图2，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗?BAOC图2问题3、如图3，圆周角∠BAC=90º，弦BC经过圆心O吗？为什么？∠B=∠D=∠E∠BAC=90º●OBACDE●OBCA图3环节二、同一条弧所对的圆周角【思考】同一条弧所对的圆周角有怎样的大小关系？即如图4，对着圆周角∠C与∠D，观察几何画板《同弧所对的圆周角》，猜想∠C与∠D有怎样的大小关系。AB图4【猜想】∠C

∠D。=证明：连接OA，OB。∵对着圆周角∠C和圆心角∠AOB，AB∴∠C=

∠AOB，同理，∠D=

∠AOB，∴∠C

∠D。=图4又因为相等的弧所对的圆心角

，从而它们所对的圆周角

。相等相等【推论1】同弧或等弧所对的圆周角

。相等∵对着圆周角∠C和∠D，AB∴∠C=∠D。同弧等弧∵=ABCD∴∠E=∠F。环节三、直径与直角图51、直径所对的圆周角【问题1】如图5，AB是⊙O的直径，求直径AB所对的圆周角∠C的度数。解：∵AB是⊙O的直径，∴∠AOB=

°，∴∠C=

∠AOB=

=

。18090°【推论2】半圆（或直径）所对的圆周角是

角。直图5∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°。直径90°2、90°的圆周角所对的弦【问题2】如图6，圆周角∠C=90°,求证：AB是直径。图6证明：设圆心为O，∵圆周角∠C=90°,∴∠AOB=

∠C=

=

，22×90°180°∴弦AB经过

，圆心∴AB是直径。【推论3】90°的圆周角所对的弦是

。

直径∵圆周角∠C=90°,∴AB是直径。图6直径问题解答1、圆周角定理的推论1：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。2、圆周角定理的推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。用于找相等的角用于找相等的弧用于判断某个圆周角是否是直角用于判断某条线是否过圆心环节四、巩固练习1、如图7，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，

AB=10cm，BC=6cm，则AC=

。图78cm61090°8直径图7如图7，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AC=12cm，BC=5cm，则⊙O的半径为

cm。变式练习：6.512590°13直径2、如图8，CD是⊙O的直径，A，B是⊙O上的两点，（1）∠CAD=

°；（2）若∠B=20°，则∠C=

°，∠ADC=

°。902070图890°20°20°70°直径图8变式练习：如图8，CD是⊙O的直径，A，B是⊙O上的两点，∠ADC=50°，则∠B=

°。40直径50°90°4