必修4《平面向量的数量积（第一课时）》

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平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角定义：

一般地，实数λ与向量a

的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)当λ>0时,λa

的方向与a方向相同；当λ<0时,λa

的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,λa=0运算律：设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μa)=(λμ)

a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λbθ=180°θ=90°已知两个非零向量a和b，作OA=a，

OB=b，则∠AOB=θ

（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。θ=0°特殊情况OBAθ向量的夹角2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量的数量积我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算

W=|F||S|cosθ

其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b

a·b=|a||b|cosθ定规定:零向量与任一向量的数量积为0。

|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。注意：向量的数量积是一个数量。向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？思考：a·b=|a||b|cosθ当0°≤θ＜

90°时a·b为正；当90°＜θ≤180°时a·b为负。当θ=90°时a·b为零。

设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则

（1）e·a=a·e=|a|cosθ（5）|a·b|≤|a||b|a·b|a||b|（4）cosθ=（3）当a与b同向时，a·b=|a||b|当a与b反向时，a·b=－|a||b|特别地，a·a=|a|2或|a|=√a·a。（2）a⊥ba·b=0重要性质:OABθ

abB1a·b=|a||b|cosθ解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10例1已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。例2已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。解：

|a|=√2,|b|=2,θ=45°∴a·b=|a||b|cosθ=√2×2×cos45°

2数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。a·b的几何意义：OABθ|b|cosθabB1已知△ABC的顶点A（1，1），B（4，1），C（4，5）。计

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