2015版微积分疑难分析讲座第一

微积分疑难分析第一关于极限与连续的若干 实实题本概念义本理论 能函函数是微积分一、怎样理解数列极限的“一、怎样理解数列极限的“,N”与函数极限的描要多小有多小，则这个常数就是变量的极描数列的极限当n无限增大时数列{xn}无限趋近于alimxlimxna0,NN,n:nN,|xna|的任意性描述了极限的无限过程的给定性描述一个确定的有限过程-N定义用无限多个有限过程来描述无限变化过程lim 0,NN,n:nN |xna|0,NN,n:nN,axna任给一个a的邻域(a,a)，总存在正整数N，使得从xN1项起，数列所有的点全部落入(a,a中.nx:1,1,1,1,1,1,,(1)nnlimxn0,NN,n:nN |xna|0,NN,n:nN,axna使得从xN1项起，数列对应的点全部落入(a,a中.limx2k1lim k k{xn的子列 }都有lim 函数极限的概念函数极限的概念fx)在Ux)有定义limfx) x x:0|xx0| f(x)A|0,0,xU∘(y

,),A f(x)A0yf(AAAo

x0

x0 fx)在Ux)有定义mfx x0,0,x:0|xx0|,|f(x)f(x00)f(x00)fxA无穷xx0fx)Axx0 xxUx),都有limfx

n limlimf(x)Ax,xxn0n(0),都有limfn)偶函有界狄利偶函有界D(x)

x为有理数周期函 周期函x0(,

limD(x)x取有理数xnx0:取无理数xnx0

limD(xn)limD(xn)xnlimDxnlimDxnlimDx) x9xlim|f(x)|0limf(x)xxlim|f(x)|0limf(x)xx xlim|sgnx|1,但limsgnx不存在x xxxlimf(x)Alim|f(x)||Ax0,0,x:0|xx0||f(x)||A||f(x)A|lim|f(x)||A limf(x)Ax x函数极限定义的扩充函数极限定义的扩充fx)在Ux)有定义mfx x0,0,x:0|xx0|,|f(x)xx,xx,xx x,x,x

f(x)limf(x)M0,X0,x:xX,f(x)M局部有界ffxlimflimgBAx保序性 四则运算法则xxlimf(x),limg(x)lim(fg)limflimx x x x[例1]设fx)在x0的某个邻域连续且f(0)0,

f(

2,则在x0处f(x) x01cos(C)取得极大值

(B)可导f(0)(D)取得极小[分析]

f(

2U

f(

0(局部保号性x01cos 1cos1cosx0f(x)0f(0),xUfx0取得极小值四则运算法则要注意 f(x)g四则运算法则要注意lim[g(x)(x)]0,则 f(x) x(A)且等于零;(C)必不lim[g(x)(x)]x

x(B)不一定等于零;D)不一定.limg(x)x

lim(x)0limg(x x

limx 准则知 f(limf,limglim(fg)limflimx x x x x[例2]x:(x) f(x)g(x，lim[g(x)(x)]0,则 f(x) x(A)(C)必不

x(B)不一定等于零;D)不一定.[分析

f(x)g(x)lim[g(x)(x)] limf(x)1 f(x)g(x)lim[gx(x limfxlimx不

0, 不xx(1ex

x1ex

x1exlim1 1lim 0x 1ex

x x1elim1 0

1,

x

1ex

xx(1exlimxarctan limarctan1不

limx

arctan x

利用左利用夾[例3]设limsin6xxf(x)0,则lim6f(x) (A) (B) (C) (D)0limsin6xxf(x)sin6xlimxf(

lim6xlimf(x)lim6f( xxlimf(x),limg(x)lim(fg)limflimxxxxsin6xxf( 6xxf( 6f(0 x0 x3

x0 x3

x0 x2[例3]设limsin6xxf(x)0,则lim6f(x)

(C) (D)恒等变[解1]lim6fx)lim6xxf恒等变 lim6xsin6xsin6xxf( lim6xsin6xlimsin6xxf(xx x

x

x1(6lim66cos6x02lim

3

[例3]设limsin6xxf(x)0,则lim6f(x)

(C)

(D)[解

0limsin6xxf(恒等变 恒等变limsin6x6x6xxf( limsin6x6xlim6xxf(x0 x0 lim6f(x)lim6xsin6

[例3]设limsin6xxf(x)0,则lim6f(x)

(C) (D)[解3]sin6xxf(x)0 f(x)x2(x)sin6lim6f(x)

x lim(x)lim6xsin6x0lim6xsin6xx0 x0 x0 函函数、极限与无穷小的关系或无穷小的概[例3]设limsin6xxf(x)0,则lim6f(x)

(C) (D)[解4]sin6xxfx)ox3

o(x3 sin6f(x) 高阶无小的定6o(x3)高阶无小的定

6f(x)x2

x26xsin6xo(x3 6xsin6 0x0 x3 x0 x3[例3]设limsin6xxf(x)0,则lim6f(x) [解

(C) (D)特殊函数检验令sin6xxfx)0,f(x特殊函数检验xlim6 f(x)lim

6sin6xx x x xlim6xsin6x [例4]x

cos3cos变cos3cos变量[解66cos

u,则sin2x1u12，当x0,uu3u原式

limu2

u 1

u

u12u1(u1)(u11u10u u1

u10u lim[lim[xx2ln(11xx令xt=2fgegln12fgegln5]x

3

等价无穷小等价无穷小代原式=limx

xln2cosex1~ex1~x(xxxln

2cos

cosx1ln =lim

=lim x x

x2=lim

cosx3

=1lim

1x2

x x 3x x ln(1ln(1x)~x(x1cosx~12(x[例x

sinxsin(sinx)x3

需要注意limxsinxlim1cosxlim x

x

3

x

3 sinxsinx~x(xsin(sinx)~sinx(x必必须证明limsinxsin(sinx)1,否则xsinsinxsin(sinx)xsinx(xlimsinxsin(sinx)limxsinxlim1cosxx

x

x

3x2 利用两个重要极限求limsin利用两个重要极限求 limlimsin[f(x)]1(x:f(x)f( 1lim1

lim1xx 11x x 11

lim[1f(x)]f(x)

(x:f(x)lim[1lim[1f(x)]g(x)xlimf(xg(x(1(x:f(x) g(x)xlimf(x)g(x lim[1f(x)1]g(x)=elim[f(x)1]g(xx (x:f(x) g(x)[例7]求

1e2x…enx1x0

exe2x…enxnx0lim

exe2x…enxex0 1e

x

(ex1)(e2x1)…(enx1xlim

ex

e2x

…

enx1en

x

x

x 1(12…n

1n(n1

ne

e

limfx)A(常数gxlimfx)A(常数gx0fxg(f(x)A(g(

g(x)f(x)Ag(x)g(x)limlimf(x)B0,f(x)0g(x)g(x.[例8]试确定abc,使x

ax2bxcx2x22x

lim(ax2bxcxx22xaxx22x

)0x22xco(x2)x22xcx22xaxx22x x x2x22xb2有理化b 有理化 a316x22a316x22xalim 0

limn

nnn化数列极为函数极nnn化数列极为函数极

1 tat

b c

at btctlim

1lim x

t0 atbtct lim1

btct3t

limt0 3t0 1

at1bt1ct1 3t0

lnalnbln3 e 3aax1xlna(xynxnzn,limynlimznAlimxn [例10]lim

…

n

n

n2n

n2nn

n2nn

n2n

…

n2n

xn

n2n

n

…

n2n1n(n1) 1n(n2n2 2n2n

… 1n

n2 n2

n2n [11]a0i1,2,…,m),limnanan…an a

nnnnanan…12mlimnm

nann a,b,c0,limnanbncnmax n1xnx2n1xnx22n求fx)的显式表达式

(xn1xnn1xn x22

0x

1xy2

y2

2y

,2

x yx 13]lin

1n2nn

[证]1

n11n2n

定 n定 n14]limnnn

1nn

nnn1…n nn12 2(n)? a1a2a1,a2,,ana1a2 定14]limnn定n[证 1nn

n nn n n1…n

nnn 1 1(n a1,a2,,an

a a

a1a2nn[例14]证明n

n用二项式定lim(nn1)n(n用二项式定lim(nn1)nn[证nn1

1)n(n1)nnnn

1)2…

nnn(n1)n2

1)2

1)2

(nnn2n0 1 0n2n单调增加有上界的数列必有极限存{xn}:xnxn1,M,xnMlimxnn单调减少有下界的数列必有极限存{xn}:xnxn1,m,xnmlimxnn[例15]设x12,xn

2x3n 1,3n 递归数列证明数列xn的极限,并递归数列

令lim

aa

2a31a

单调有单调有界2x3

1 1n]n

2 nn

3 3 xnx xnxnx21n3xnxnx2

1有下界1,xnababc3abc(a,b,c3[例15]设x12,xn

2x3n 1,3n 单调有界证明xn的极限,并单调有界已证已证xn}有下界1,即xnxn1

2x3 1 n nn3n

3xn1xnxn}单调减少令

故数列极限2a3limxna,则由递推公式得an 2x3 3x31

a 1 1. 3 3 16]利用不等式

ln(11)1nN )证明：n 数列x: 111lnn(n )收敛

xn1

ln(n1)lnnn1 ln(11 0 }单调递减n ln(11)ln(11)…ln(11)ln ln2ln3…lnn1lnn

34…n1ln

欧拉常ln(n1lnn0xn有下欧拉常 1 lim1 … lnnC …n Euler1707~1783数Euler1707~1783 数学界的莎士数学界的莎士用单调有界准则证明数列极限存在的基本 xnxn10( 1(1)等abab(ab0), sinxxx0)等;或兔群繁殖问题兔群繁殖问题 Fn1Fn

1,证明

1

n n兔对成长兔对成年兔对Fn1121324355687FnFn1Fn(n2,n1234567891123581232538512ananFn Fn(n2,3,n123456789122

单增,

单减,1

n n 1 ananFn Fn1an2. Fn

1 1 n n

已已知a1, 111na(n2,liman存在，并求极限值a1,1n1a1,1n1a1(n2,证明极liman存在，并求极限用数学归纳法证有界a11,a221a1,a21an则由 11知1 aan

由数学归纳法知an既有上界又有下界a1a3,a2a4

Fn1, Fn1,nn1na设a2n1a2n1, 1

2n1

1

a2n1

a2n2 1

1

a2n

2n,故由单调有界定理 lima2n1 ,lim n Fn1,nFn1na1令lima2n1A,lima2n an1

两边取极

A11 B11 55AB1 lim lim 155 n黄金分黄金分割lim

Fn

15 5

1910--聪明在于学习聪明在于学习天才在于积 fx)x0连续fx)在Ux0)有定义，且limfxfx0x0,0,x:|xx0 |f(x)f(x0)|f(x00)f(x00)f(x0limf(x0x)f(x0 (xx0limy yf(x0x)f(x0x0, x为无理数Dx) 0, x为无理数 limDx,(处处不连续xx0为第二类间断点只在一点连续，而在其他点都不连续的函数0,x为无理fxxDx0,x为无理

limf(x)0fx处处不连续的函数复合成处处连续的函数D[D(x)]18]求fx

ln|x1

的间断点,并判断其类型[

ln|x1|没有定义的x11是间断点分母为零的点|x1|1,即x20,x32. x1ln|x1 0: x0ln|x1 x0ln(1

x0xx20x32为无穷间 2:x32为无穷间 x2ln|x119]试确定ab的值,使fx)

ex(xa)(x有无穷间断点x0与可去间断点xe 若x0是无穷间断x0(xa)(x

,lim(xa)(x1)0

0a0,bx

ex

1

e 若x1xlim(exb)0b

x(x1)aa0,b七、怎样理解与运用闭区间上连续函数的性质七、怎样理解与运用闭区间上连续函数的性质有界性定理：fxC[abfx)[ab]上有界最值定fxC[abf(x)必在[a,b]上取得最大值与最小值介值定理：fxC[ab],f(af(bf(a),f推论：fxC[a,b],其最大、小值分别为M、(mM(a,b)f(零点定理(根的存在定理fxC[a,b],f(af(b0(a,b),f(零点定理(根的存在定理零点定理(根的存在定理的推广fxC(a limfx),limfx)limfxlimfxx x x x(a,b), 需证x1,x2(a, f(x1)f(x2)

不妨limfxAxa由局部保号性知,x1(a,a1), f(x1)0,limf(x)B0, f(x2)[x1x2(a fxC[x1x2fx1fx2零点定理(根的存在定理零点定理(根的存在定理fxC(a limfxlimfx)limfxlimfx xa (a,b), [证

不妨limfx)A0,limfx)Bx xf( ax作辅助函数F(x)

xaxblimF(x)limf(x)AF(a)xa limF(x)limf(x)BF(b)x xF(x)C[a,b],F(a)F(b)ffC(a,b)且limf( limf(x)x xf在(ab)f在()fC(, limf(limf(x)21]2xtanx在(0,)内至少有一实根.2[分析 令f(x)2xtan

f(0)[证 令f(x)2tanx f(x)C(0, f(x) 2tanx210, x x f(x) 2tanx x(fx0,由推广的零点定理 (0, ) )使f()0, [例22]设f(x)C[a,b]，acd (p,q0,常数证明：(a,b) pf(c)qf(d)(pq)f[证

f(x)C[a,b]fmaxM,fminmf(c)M mf(d)Mpmpf(c)pM qmqf(d)介值定(pq)mpf(c)qf(d)(pq)Mmpf(c)qf(d)介值定(p(a,b)使f() pf(c)qf(d)(p[例22]设f(x)C[a,b]，acd (p,q0,常数证明：(a,b) pf(c)qf(d)(pq)f[分析]需证方pf(c)qf(dpq)fx0有根2Fxpf(cqf(dpqfF(c)pf(c)qf(d)(pq)f(c)q[f(d) f(c)]F(d)pf(c)qf(d)(pq)f(d)p[f(c)f(d零点定理F(c)F(d)pq[f(c)f(d)]2零点定理若f(cf(d)，则F(cF(d0c或若f(cf(d则F(cF(d0(cdF([例23]证明

x2x1在(0,内必有[分析

惟一实根xn,并求limxn(n2,3,nx2x1在(0,1内必有惟一实根2x3 x2x1在(0,1内必有惟一实根3xnxn xn

xx

x1在(0,1内必有惟一实根xn1x1在(0,1内必有惟一实根数列x1,x2,,xn1,xn xn[例23]证明

x2x1在(0,内必有n惟一实根xn,并求limxn(n2,3,n

令

(x)

xn

nx2xfn(x)在[0,1]连续 fn(0)1 fn(1)n1fn(x)在(0,1)内有零点，即方程有根.x1x2,x1,x2(0,1),fn(x2)fn(x1(xn xn)(xn xn1)(x2x2)( x