空间角和距离专题

空间角和距离专题在高考的立体几何试题中 ,求角与距离是常考查的问题 ,其传统的“三步曲”解法 “:作图、证明、解三角形” ,作辅助线多、技巧性强 ,是教学和学习的难点．向量进入高中教材 ,为立体几何增添了活力 ,新思想、新方法与时俱进 ,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题．（１）求异面直线所成的角分别在直线m,n上取两个定向量a,b,则异面直线m,n所成的角等于向量,所成的角或其补角，则coscos|ab|特殊情形：|a||b|bab0,即异面直线a垂直于b。例１．如图，在棱长为２的正方体 ABCD ABCD中，E、F分别是棱AD,AB的中点．1 1 1 1 1 1 1 1（Ⅰ）求异面直线DE与FC1所成角的余弦值；II）求BC1和面EFBD所成的角；III）求B1到面EFBD的距离（２）求线面角1Bn特殊情形：当an(R且0)，则直线a与平面垂直。A一般情形：在直线L上取定AB（或与直线Ｌ共线的La），求平面ABn的法向量n（如图所示），再求cos|AB||n|则sincos|ABn|，BA,n1且1180cos1注：AB,n|AB||n|如例1（2）问（３）求二面角1方法 1：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角．方法2：（法向量法）构造二面角

l 的两个半平面 、的法向量n1、n2（都取向上的方向，如图所示）1）若二面角l是“钝角型”的如图甲所示，那么其n1n2大小等于两法向量n1、n2的夹角的补角，lcoscosn1n2即.图甲|n1||n2|2）若二面角l是“锐角型”如图乙所示，那么其大小n1n1n2n2等于两法向量n1、n2的夹角即coscos.|n1||n2|例2．如图，三棱柱中，已知ABCD是边长为1的正方形，四l图乙边形AABB是矩形，平面AABB平面ABCD。（Ⅰ）若AA＝１，求直线'AB到面DAC的距离．（II）试问：当 AA的长度为多少时，二面角D AC A的大小为60？例３．正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长均为２，Ｐ是侧棱AA1上任意一点．（Ⅰ）求证：直线 B1P不可能与平面 ACC1A1垂直；（II）当BC1 B1P时，求二面角 C B1P C1的大小的余弦值2.求空间距离问题2构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求．（１）求点面距离 （推广到线面、面面之间的距离）方法：如图，易知点A到平面的距离d|PA|cos,而|PAn||PAn|cos，d|n||PA||n|其中n是平面的一个法向量，PA是平面的斜向量则点A到平面的距离d等于AP在n上的射影长，即点Ａ到平面|APn|的距离为：d.|n|（２）求异面直线的距离法一、找平面使b且a，则异面直线a、b的距离就转化为直线a到平面的距离，又转化为点A到平面的距离．法二：如图，d是异面直线a与b的距离，n是直线a与b的一个法向量A、B分别是直线a,b上的点，显然：d|AB|cos,又cos|ABn|,d|ABn||AB||n||n|例4.如图，在正三棱柱 A1B1C1—ABC中，D，E分别是棱BC、CC1的中点， AB AA1 2,（Ⅰ）证明： BE AB1；（Ⅱ）求二面角 B AB1 D的大小；3（Ⅲ）求异面直线 AB1与BE的距离。练习：1、在正四面体 S ABC中，棱长为a，E,Ｆ分别为SA和BC的中点，求异面直线 BE和SF所成角的余弦值．2、在边长为１的菱形 ABCD中， ABC 60，将菱形沿对角线 AC折起，使折起后 BD＝１，求二面角 B AC D的余弦值．3、在直三棱柱ABCA1BC11中，A90，O,O1,G分别为BC,BC11,AA1的中点，且ABACAA12．（1）、求O到面ACB的距离；（2）1112（2）、求BC到面GBC26）11的距离．（34、如图，在三棱椎P-ABC中，PA平面ABC，BAC90,D，E，F分别是棱AB、BC、CP的中点，AB=AC=1，PA=2，（Ⅰ）求直线PA与平面DEF所成角的大小；（Ⅱ）求点P到平面DEF的距离。5、如图，直三棱ABC-A1B1C1中，∠