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文档简介

第五章定积分abxyo实例1

（求曲边梯形的面积）一、问题的提出第一节定积分的概念下页上页首页abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）下页上页首页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放下页上页首页曲边梯形如图所示，下页上页首页曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为下页上页首页实例2

（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．下页上页首页求变速直线运动的路程（1）分割部分路程值某时刻的速度（2）求和（3）取极限路程的精确值下页上页首页二、定积分的定义定义下页上页首页被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和下页上页首页注意：下页上页首页注意定理1定理2三、存在定理下页上页首页曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值四、定积分的几何意义下页上页首页几何意义：下页上页首页例1

利用定义计算定积分解下页上页首页例1下页上页首页例2:利用定积分的定义计算积分：

()。∵被积函数

上连续，

在解：下页上页首页例2对定积分的补充规定:说明

在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．下页上页首页对定积分的补充规定证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1下页上页首页定积分的性质1证性质2下页上页首页定积分的性质2补充：不论的相对位置如何,上式总成立.例若（定积分对于积分区间具有可加性）则性质3下页上页首页定积分的性质3证性质4性质5下页上页首页定积分的性质4,5解令于是下页上页首页例3

性质5的推论：证（1）下页上页首页性质5的推论(1)证说明：

可积性是显然的.性质5的推论：（2）下页上页首页性质5的推论(2)证（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质6下页上页首页定积分的性质6解下页上页首页例4

解下页上页首页例5下页上页首页证由闭区间上连续函数的介值定理知性质7（定积分中值定理）积分中值公式下页上页首页定积分的性质7(定积分中值定理)使即积分中值公式的几何解释：下页上页首页积分中值公式的几何解释解由积分中值定理知有使下页上页首页例6

五、小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限下页上页首页3．定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）4．典型问题（１）估计积分值；（２）不计算定积分比较积分大小．下页上页首页思考题将和式极限：表示成定积分.下页上页首页思考题

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