【教案】向量的正交分解及坐标表示教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6/6§6.3.2向量的正交分解及坐标表示一、内容和内容解析内容：向量的正交分解及坐标表示．内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第3节第二课时的内容．平面向量基本定理是坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭建了桥梁，也决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示，培养学生数学抽象和直观想象的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）借助平面直角坐标系，理解平面向量的正交分解，培养数学抽象的核心素养．（2）掌握平面向量的坐标表示,提升数学运算的核心素养．目标解析：（1）平面向量正交分解是以平面向量基本定理为基础，平面上给定两个不共线的向量，则任意向量均可分解为分别与它们共线得两个向量，如果这两个不同线的向量互相垂直，就得到向量的正交分解的概念．（2）类比平面直角坐标系中点的坐标的表示，思考直角坐标平面内向量的表示方法，由正交分解和单位向量做基底，由此给出向量坐标的概念.（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在向量的正交分解及坐标表示的教学中，从平面向量基本定理归纳推理概括正交分解和坐标表示是进行数学抽象教学的很好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：掌握向量的坐标表示．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：如何进行向量的正交分解是本节课的第一个教学问题．解决方案：通过回顾平面向量基本定理，借助重力沿互相垂直的两个方向分解的例子说明．2．教学问题二：如何进行坐标表示是本节课的第二个教学问题．这是本节课的重点类．解决方案：类比平面直角坐标系中点的坐标的表示，借助图形观察发现向量的坐标和点的坐标之间的联系．基于上述情况，本节课的教学难点定为：了解平面向量的正交分解．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到向量的正交分解及坐标表示，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中利用问题串的形式引导学生思考，讨论，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视向量的正交分解及坐标表示，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图回顾前知[问题1]什么是平面向量基本定理？[问题2]如图,向量i,j是两个互相垂直的单位向量,向量a与i的夹角是30°,且|a|=4,以向量i,j为基底,向量a如何表示?教师1：提出问题1．学生1：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量，有且只有一对实数，使.我们把不共线向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.教师2：提出问题2．学生2：因为向量a与i的夹角是30°,且|a|=4,所以OA=2，OB=2，于是a=2i+2j.通过复习平面向量基本定理引入本节新课.建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.问题探究形成概念[问题3]在平面中,垂直的两个非零向量a,b能否作为平面内所有向量的一组基底?[问题4]在平面内,e1,e2是两个互相垂直的非零向量,这个平面内的任一向量是否都能用这两个向量来表示?表示是否唯一?[问题5]平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,任作一向量,根据平面向量基本定理,=xi+yj,那么(x,y)与A点的坐标相同吗?如果向量也用(x,y)表示,那么这种向量与实数对(x,y)之间是否一一对应?[问题6]点的坐标与向量坐标有何区别？教师3：提出问题3．学生4：能,平面内任何两个不共线的向量都可以作为一组基底.教师4：提出问题4．学生4：由平面向量基本定理可知,平面内的任一向量都可以用e1,e2来表示,且表示方法是唯一的.教师5：提出问题5．学生5：相同，一一对应.教师6：1.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．若a＝xi＋yj,则a＝(x，y).2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示．显然，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则＝(x，y).教师7：提出问题6学生6：(1)向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y).通过探究让学生理解平面向量的正交分解与坐标表示，培养数学抽象的核心素养.典型例题，巩固落实1.平面向量的正交分解及坐标表示例1.如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i、j作为基底，分别用i、j表示，并求出它们的坐标．2.向量的坐标的应用例2.已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量的坐标．[课堂练习]1.设是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若，则2＋的坐标是()A.B.C.D.[课堂练习]2.设是平面直角坐标系内分别与轴，轴正方向相同的两个单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为()A．B．C．D．教师8：完成例1．学生7：＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，它们的坐标表示为＝(6,2)，＝(2,4)，＝(－4,2)．教师9：完成例2学生8：如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos60°，2sin60°)，∴C(1，eq\r(3))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∴eq\o(AB,\s\up12(→))＝(2,0)，eq\o(AC,\s\up12(→))＝(1，eq\r(3)).教师10：布置课堂练习1、2．学生9：完成课堂练习，并核对答案．答案：D,C.通过例题巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识课堂小结升华认知[问题7]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．()(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．()(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．()(4)点的坐标与向量的坐标相同．()2.如图，在正方形ABCD中，O为中心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，－1)，则eq\o(OB,\s\up6(→))＝________；eq\o(OD,\s\up6(→))=________.3.如图，已知在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角，求点B和点D的坐标和eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AD,\s\up6(→))的坐标．教师11：提出问题7．学生10：学生18：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：1.(1)×(2)√(3)×(4)×2.eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，－1)，eq\o(OD,\s\up6(→))＝(－1，1)．3.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)