统计学基础课件(邓红版)第4章静态分析方法

第四章静态分析方法一、总量指标二、相对指标三、平均指标四、标志变异指标五、静态分析指标的应用原则主要内容

总量指标由直接统计汇总得到，它的数值大小随总体范围的大小而增减。一、总量指标的概念

总量指标是用绝对数形式表现的反映社会经济现象在一定时间、地点条件下总规模、总水平的统计指标。时期指标国内生产总值246619亿元

工业增加值107367

亿元其中：钢产量48966万吨年末人口总数132129万人年末居民存款余额172534亿元例如：我国在2007年：时点指标第一节总量指标二、总量指标的作用1.它是对社会经济现象总体认识的起点，常用来反映国情国力的基本状况；2.它是制定政策、编制计划、实行经济管理的重要依据；3.总量指标是计算其他统计指标的基础。2004年我国人口出生率=

年出生人数/年平均人口总数某班学生《统计学》平均考分

=

学生总成绩/学生总人数例如：=1593万人/129607.5万人=

12.29‰=4200分/50人=84分/人对总量指标从不同角度进行如下分类：三、总量指标的种类

总量指标的种类1、按其反映总体内容不同总体单位总量总体标志总量2、按其反映时间状况不同

时期指标时点指标3、按其所采用的计量单位不同实物指标劳动指标价值指标总体各单位某一数量标志值的总和（2）总体标志总量（标志总量)1、总体单位总量和总体标志总量总体单位数之和（1）总体单位总量（单位总量）：人口总数工资总额对于某一总体而言，总体单位总量只有一个，而总体标志总量可以有多种。例如：研究目的：是全国工业企业的生产经营情况时，总体——全国所有的工业企业总体单位——每一个工业企业工业企业名称：甲乙丙…

X工业增加值（万元）

700

1500

800

…300数量标志全国工业增加值62815（亿元）全国工业企业总数总体单位总量总体标志总量全国工业企业职工总数全国工业企业固定资产总额对于某一总体而言，总体单位总量只有一个，而总体标志总量可以有多种。

注意：总体单位总量和总体标志总量的地位随着研究目的和研究对象的不同而变化。

如，研究目的：是全国工业企业的职工的工资水平时情况时，总体——全国工业企业的所有职工总体单位——每一个职工全国工业企业职工总数单位总量全国工业企业职工工资总额标志总量

即反映社会经济现象在一段时间内发展变化的总量。2、时期指标与时点指标

（1）时期指标（时期总量）：

例如：国内生产总值、工业增加值、人口出生数等。如，2004年全国钢产量为29723.1万吨即时期为一年（1月1日～12月31日）（2）时点指标（时点总量）：

即反映社会经济现象在某一时刻的状态总量。如，2004年末全国人口总数为129988万人即12月31日这一时刻（或瞬间）•

例如：年末人口总数、年末居民储蓄存款余额等。时期指标和时点指标的特点比较：表4-1时期指标时点指标•

•

•

•

•

时期指标的特点：（1）数值是连续统计取得的；（2）各期的数值可直接相加，相加后表示现象在更长时间内发展变化总量；（3）数值大小与其所包括的时期长短直接有关。时点指标的特点：（1）数值是一次性调查取得的；（2）各个时点的数值一般不能直接相加，相加后无意义；（3）其数值大小与其所间隔时间长短无直接关系。

判断下列指标，哪些是时期指标，哪些是时点指标？注意：时期指标所属时间有时期长短（如年、季、月、日）；时点指标所属时间没有时期长短（如年末、季末、月末）

课堂练习：1.我国各年大学生毕业人数2.我国各年大学生在校生人数5.某银行每天居民储蓄存款余额3.某地区各年的人口出生数（或人口死亡数）4.某企业各年末的固定资产原值7.我国历年旅客周转量6.某企业各(末）月商品库存额8.某班学生每天听课人数时期时点时期时点时点时点时点时期（1）实物指标是根据事物的自然属性和特点来计量的单位。包括自然单位、度量衡单位、双重单位、复合单位及标准实物计量单位等。

自然单位：

它是根据事物的自然属性来计量的单位。

度量衡单位：

如:人口以“人”为单位，汽车以“辆”为单位，鞋以“双”为单位。

它是按统一的度量衡制度而计量的单位。如:钢产量以“吨”为单位，布以“米”为单位，距离以“公里”为单位，木材以“立方米”为单位等。自然单位也是离散型数据的计量单位。度量衡单位也是连续型数据的计量单位。3、实物指标、价值指标、劳动量指标

双重单位：

如电动机以台/千瓦计量，船舶以马力/吨位/艘计量。

它是采用两种或多种计量单位来表明事物的数量。

复合单位：

它是两个单位以乘积形式构成的单位。

如发电量以千瓦*时计量，货物周转量以吨*公里计量等。

标准实物单位：

即按一定标准将用途相同，但规格或含量不同的物品折合成规格或含量相同的数量，

如将含热量不同的煤产量统一折算为每千克发热量为7000大卡的标准煤。

用实物单位计量的总量指标，称为实物指标。

实物指标的特点：

该指标的综合性比较差，不同的实物，内容性质不同，计量单位不同，无法进行汇总，因而无法反映国民经济的总规模或总的发展速度。

它直接反映产品的使用价值或现象的具体内容，因而能够具体地表明事物的规模和水平。实物指标的局限性：

在于它脱离了物质内容，比较抽象。只有和实物指标结合使用，才能充分发挥其作用。（2）价值单位

价值单位是以货币单位来计量的单位。如国内生产总值以“元”为单位。用价值单位计量的总量指标称为价值指标。

它具有广泛的综合汇总性。它可以综合反映不同国家或地区、部门、企业生产不同产品的总成果。价值指标的特点：价值指标的局限性：（3）劳动单位

劳动单位是反映劳动力资源及其利用状况所采用的一种复合计量单位。如，工时（工日）等。

用劳动单位计量的总量指标，称为劳动量指标。

故，总量指标按其所采用的计量单位不同可以分为实物指标、价值指标和劳动指标。第二节相对指标一、相对指标的概念

相对指标（相对数），它是两个有联系统计指标数值的比所得到的抽象比值。

其分子与分母可以是总量指标对比，也可以是相对指标或平均指标对比。如：我国在2004年，人口出生率

=

年出生人数/年（平均）人口数=

年钢产量/年（平均）人口总数=1593万人/129988万人=12.29‰人均钢产量=29723.1万吨/129607.5万人=229公斤/人相对指标特点：

1.将构成相对指标的分子分母的具体数值抽象化，是一种抽象化的数值2.数值不随总体范围的大小而增减这里还要对经济分析中经常用到的“百分点”的概念作一点说明。一个百分点是指1％，百分点常用于两个百分数相减的场合。如：

在股票交易市场上，确定某一时间的股票价格为基数，将两个不同时间股票价格与之相比，分别为150％和120％，那么后一时间上的股票价格比前一时间下降了30个百分点（120％－150％）。相对指标的作用

1.反映社会经济现象之间的相对水平和联系程度；2.相对指标可以使不能直接对比的现象找到共同比较的基础。在说明两个性质不同、生产条件、规模不同的企业工作质量时，不能直接用产值、利润等总量指标进行对比，而可用有关相对指标进行对比。3.是国家进行宏观管理和考核评价企业经济活动效果的重要工具。甲企业乙企业利润总额资金占用资金利润率500万元

5000万元

3000万元40000万元16.7%12.5%比较两企业经济效益不可比不可比可比

二、相对指标的计量形式

相对指标的数值表现形式（计量单位）有以下两种表现计量单位，即：

有名数：将相对指标的分子和分母指标的计量单位结合起来表示相对指标。

无名数：一种抽象化的数值。

它在强度相对指标的计算中采用。1、有名数

有名数是在计算相对指标时，保持两个对比指标原来的计量单位。如：2004年我国人均钢产量=

135人/平方公里2004年我国人口密度=

229.3公斤/人

包括系数或倍数、番数、成数、百分数和千分数。2、无名数

无名数是一种抽象化的的数，（对比基数）计算结果：分子与分母计量单位相同，数量相除后，计量单位被去掉。分母为12n倍时n为番数分母为10分母为100分母为1000倍数、系数、番数、成数、百分数、千分数分母为1

即将对比基数抽象为10而计算的相对数。

如：某地区粮食产量2004年比2003年增长2成，即增长2/10

成数：

系数或倍数：

即将对比基数抽象为1而计算出来的相对数。如：2004年产量/1990年产量=500吨/50吨当分子数值＞分母数值很多时当分子数值与分母标数值相差不大时倍数系数=10倍两个相比较的数值中，一个数值是另一个数值的2n倍时，则n是番数。

如：某地区2007年的工业增加值翻一番，即增长1倍。

番数：

千分数：

即将对比基数抽象为1000而计算出来的相对数。2004年我国人口出生率=12.29‰当分子数值＜分母数值很多时千分数即将对比基数抽象为100而计算的相对数。

百分数：如：今年产量/去年产量=

500吨/400吨=

125％三、相对指标的种类和计算相对指标种类

静态相对指标（一）结构相对指标（二）比例相对指标（三）比较相对指标（四）强度相对指标（五）计划完成相对指标（六）动态相对指标

1.计划完成程度相对指标的概念和计算公式

计划完成程度相对指标，又称计划完成相对数。它是现象在某一段时间内的实际完成数值与计划任务数值对比的结果，用以检查计划完成程度。计划完成程度相对指标

例，某企业2009年计划产值应为800万元，2009年实际产值为1000万元，求2009年产值计划完成程度。解：2009年产值计划完成程度=

125％即：该企业超额25％完成产值计划任务。1、计划完成相对指标［例］某商业企业某年商品销售额计划为1000万元，实际完成1200万元。解：计划完成数=计算表明，该企业超额20%完成了商品销售额计划。2.计算计划完成程度相对指标时应注意的问题

第一，计划数是比较的基础，该指标的分子与分母不能互换。而且要求分子、分母指标的含义、计算口径、计算方法、计量单位、空间范围等方面完全一致。计划指标规定为增长率时（产值、劳动生产率）

计算结果=100％，计算结果＜100％，完成计划未完成计划计划指标规定为降低率时（单位成本、单耗）计算结果＞100％，未完成计划计算结果＞100％，

计算结果=100％，计算结果＜100％，超额完成计划超额完成计划完成计划第二，计划执行结果的评价：（2）计划指标为相对指标，其计算公式为计划完成程度（%）=该指标是用于考核社会经济现象的降低率、增长率的计划完成程度。[例2]某公司劳动生产率计划规定2010年比2009年提高8%实际提高10%，则该公司计划完成程度为：

解：

计划完成程度（%）=计算结果表明该公司的劳动生产率实际比计划超额1.85%完成[例3]某产品上年度实际成本为400元，本年度计划降低5%，实际降低6%，则单位成本的计划完成程度为：解：单位成本的计划完成程度（%）=计算结果表明该产品已超额完成了单位成本计划，实际比计划降低了1.05%⒈短期计划完成情况的检查⑴计划数与实际数同期时，直接应用公式:⑵考察计划执行进度情况:例：某企业2004年计划产量为10万件，而实际至第三季度末已生产了8万件，全年实际共生产11万件。则⒉长期计划完成情况的检查⑴累计法计划指标按计划期内各年的总和规定任务例：某市计划“十五”期间要完成社会固定资产投资总额60亿元，计划任务的实际完成情况为：其中，2005年各月份实际完成情况为（单位：亿元）：要求计算：⒈该市“九五”期间固定资产投资计划的完成程度;⒉提前完成计划的时间。已累计完成固定资产投资额60亿元解：提前完成计划时间：因为到2005年10月底已完成固定资产累计投资额60亿元（61.7–0.8–0.9=60），即已完成计划任务，提前完成计划两个月。⑵水平法计划指标以计划末期应达到的水平规定任务⒉长期计划完成情况的检查例：某自行车厂计划“十五”末期达到年产自行车120万辆的产量，实际完成情况为：其中，最后两年各月份实际产量为（单位：万辆）：：要求计算：⒈该厂“九五”期间产量计划的完成程度；⒉提前完成计划的时间。+0.5+0.5=120解：提前完成计划时间：因为自2004年3月起至2005年2月底连续12个月的时间内该厂自行车的实际产量已达到120万辆〔119+﹙10.1–9.6﹚+（10.1–9.6）=120〕，即已完成计划任务，提前完成计划10个月。练习：P90第3题2、结构相对指标1.结构相对指标的概念和计算公式

结构相对指标就是通常所说的“比重”，它是总体部分数值与总体全部数值对比的结果。即：表4-2

比重（％）

比重（％）平均工资（元/人）65.234.8100.06040100500400—

结构相对指标包括单位数结构和标志值结构。结构相对指标2.计算结构相对指标应注意的问题

第一，其计算条件是统计分组；第二，其分子与分母均为总量指标对比；第三，其分子与分母不能互换；第四，各组比重之和正好为100%。3、比例相对指标1.比例相对指标的概念和计算公式

比例相对指标是总体中不同部分数量对比的相对指标，用以分析总体范围内各个局部、各个分组之间的比例关系和协调平衡状况。例如前表4-2：男职工人数/女职工人数

=30/20=

150％男职工平均工资/女职工平均工资=

500/400=

125％比例相对指标

比例相对指标的计算结果一般是用百分数表示，或“多少比1”或“多少比100形式表示。2.计算比例相对指标应注意的问题

第一，其计算条件是统计分组；

第二，其分子与分母一般是总量指标对比，但有时也可以用总体各部分的相对数或平均数对比；

第三，其分子与分母可以互换。

注意结构相对指标与比例相对指标的区别和联系。例如前表4-2：4、比较相对指标1.比较相对指标的概念和计算公式

比较相对指标是将不同空间条件下同类指标对比的结果，用以说明在同一时期内某一现象在不同单位（指总体）之间发展的不平衡程度。

（这里的总体可以是国家或地区或部门或企业等）

如，2004年甲市大米价格2元/公斤，乙市大米价格2.5元/公斤。则：乙市大米价格/甲市大米价格

=

2.5/2

=

125％即：比较相对指标比较相对数计算结果通常用百分数或倍数表示。2.计算比较相对指标应注意的问题

第一，其分子与分母更多的是采用相对数或平均数对比；第二，其分子与分母可以互换。例如：要对比中国与美国教育发展水平时，=

1500美元/30美元美国人均教育经费=

50（倍）

（因为总量指标的数值易受总体范围不同，生产条件不同等影响，它一般不具有可比性）中国人均教育经费（2003年）5、强度相对指标1.强度相对指标的概念和计算公式

强度相对指标是两个性质不同，但有一定联系的总量指标对比的结果，用以表明现象的强度、密度和普及程度。即：强度相对指标2004年我国人均钢产量2004年我国人口密度=135人/平方公里=229.3公斤/人

（2）反映现象的密度

如：

（3）反映现象的经济效益(普遍程度)

如：（1）反映现象的强弱程度如：2.计算强度相对指标应注意的问题

第一，其分子与分母为两个性质不同而有联系的总量指标对比；

注意：钢产量/猪的存栏头数这两个性质不同的总量指标在经济上没有联系，对比没有意义。

人口密度以“人/平方公里”为单位例如，人均钢产量以“公斤/人”为单位（有名数形式）商业网密度以“个/千人”为单位

第二，其数值表现形式大多数为有名数，少数为无名数形式；2004年人口自然增长率=

5.87‰某企业商品流通费用率=

15％（无名数）

第三，某些强度相对指标，分子与分母可互换，形成其正、逆指标。每百元固定资产提供的产值=

150％每百元产值占用的固定资产=

66.7％

注意：有些强度相对指标使用人均的词，如人均钢产量、人均粮食产量、人均教育经费等，但它们不是平均指标。（正指标）（逆指标）课堂练习：某地区某年末现有总人口为100万人，医院床位总数为24700张。则该地区（正指标）（逆指标）注意:如何区别正指标和逆指标？

正指标的数值愈大，表示现象的密度愈大，它是从正方向说明现象的密度；逆指标的数值愈大，表示现象的密度愈小，它是从相反方向说明现象的密度。

6、动态相对指标

动态相对指标（发展速度）是某一事物报告期数值与基期数值对比的结果，用以说明事物在时间上发展变化的快慢程度。动态相对指标计算：例2007年温州市出口鞋类5.35亿双，2006年4.83亿双,

同比增长10.8%特点：1.不同时间的对比2.分子分母不能互换3.同一总体

在掌握了几种常用相对指标的概念、作用及计算后，要注意区分下面几种不同的相对指标。

结构相对指标与比例相对指标的区别：

结构相对指标是以总体总量为比较标准，计算各组总量占总体总量的比重，来反映总体内部组成情况的综合指标。如：各工种的工人占全部工人的比重。比例相对指标是总体不同部分数量对比的相对数，用以分析总体范围内各个局部之间比例关系和协调平衡状况。如：轻重工业比例。

比例相对指标和比较相对指标的区别：

（1）子项与母项的内容不同，比例相对指标是同一总体内，不同组成部分的指标数值的对比；比较相对指标是同一时间同类指标在不同空间上的对比。

（2）说明问题不同，比例相对指标说明总体内部的比例关系；比较相对指标说明现象发展的不均衡程度。比较相对指标是不同单位的同类指标对比，用以说明同类现象在同一时期内各单位发展的不平衡程度。如：甲地职工平均收入是乙地职工平均收入的1.3倍。

强度相对指标与其它各种相对指标主要区别：

（1）其它各种相对指标都属于同一总体内的数量进行对比，而强度相对指标除此之外，也可以是两种性质不同的但又有联系的属于不同总体的总量指标之间的对比；

（2）计算结果表现形式不同。其它相对指标用无名数表示，而强度相对指标主要是用有名数表示。

（3）当计算强度相对指标时，分子、分母的位置互换后，会产生正指标和逆指标，而其它相对指标不存在正、逆指标之分。五、应用相对指标的原则1.正确选择作为对比标准的基数2.保持两个对比指标（分子与分母）的可比性3.相对数要与总量指标结合运用4.多种相对指标结合运用1.正确选择作为对比标准的基数

如果基数的选择不准确，就无法使相对数正确地反映事物之间的数量对比关系。至于选择什么样的基数，必须从现象的性质特点出发，并根据研究目的来确定。如：要反映我国文化教育的普及程度：教育普及程度全国识字人口数全国人口数（扣除6岁以下的人口数）=全国人口数识字人口数不识字人口数6岁以下的人口数6岁及以上的人口数2.保持两个对比指标（分子与分母）的可比性

所谓相对指标的可比性是指两个对比指标在所表明的经济内容、总体范围、计算方法、计量单位、时间长短等方面的一致性。2009年某企业产值计划完成程度

=

2004年实际产值/2003年计划产值

=300万元/200万元

=150％，

而强度相对指标其分子与分母的可比性是指其在经济上的联系性。例如：3.必须把相对指标和总量指标结合起来运用

利用相对指标进行分析时，要考虑相对数背后所代表的绝对水平，即要将两者结合起来应用，特别是在动态分析时，要注意到每增长1％的绝对值。甲厂每增长1％的绝对值200

：25％=

x

：1％乙厂每增长1％的绝对值：

故高速度背后可能隐藏低水平，而低速度背后可能隐藏高水平，分析问题既要看速度，又要看水平。钢产量（吨）08年09年增长量（吨）增长速度％甲厂800

1000

200

25

乙厂200

300

100

50

结构相对数:反映部分与总体关系比例相对数:反映部分与部分关系比较相对数:反映横向对比关系动态相对数:反映纵向对比关系计划完成相对数:反映实际与计划关系强度相对数:反映关联指标间关系4.多种相对指标要结合运用人口性别比为1.03：11999年末我国共有总人口12.6亿人，其中男性人口为6.4亿，女性人口为6.2亿。男性人口的比重为50.8﹪比1980年末的9.9亿人增加了28﹪人口数是美国的4.5倍人口密度为130人/平方公里人口出生率为15.23‰女性人口的比重为49.2﹪某公司所属三个厂近两年产量完成资料如下：表4—3某公司所属三个厂2004、2005年完成产量情况要求：填出空格中的数字。作业：答案：100131.3451.3305010015122.130.347.610094.899.6122.2103表4—3某公司所属三个厂2004、2005年完成产量情况

第三节平均指标的概念和特点一、概念

——各总体单位某一标志值在一定时间、地点、条件下所达到的一般水平。（平均指标反映同类现象的一般水平，是总体内各单位参差不齐的标志值的代表值，也是对变量分布集中趋势的测定。）数据集中区变量x二、平均指标的特点第一，它把数量标志在总体各单位之间的数值差异抽象化了;第二，它反映了总体分布的集中趋势。

三、平均数的作用1、可以比较不同空间同一事物一般水平的差异

——消除了总体数量差异使其具有可比性

2、分析研究现象之间的依存关系

3、可以推算和预测

时间状况---静态平均数和动态平均数计算方法---数值平均数和位置平均数数值平均数算术平均数调和平均数几何平均数众数中位数四、平均数的种类五、算术平均数例如，

注意：强度相对指标与平均指标的区别（１）指标的含义不同。强度相对指标说明的是某一现象在另一现象中发展的强度、密度或普遍程度；而平均指标说明的是现象发展的一般水平。（２）计算方法不同。两者虽然都是两个有联系的总量指标之比，但是，强度相对指标分子与分母的联系，只表现为一种经济关系，它的分子、分母可以互换。而平均指标是在一个同质总体内标志总量和单位总量的比例关系，分子与分母的联系是一种内在的联系，即分子是分母（总体单位）所具有的标志，有一一对应的关系，对比结果是对总体各单位某一标志值的平均。1.简单算术平均数举例：5名学生的学习成绩分别为：75、91、64、

53、82，则平均成绩为：

计算公式:应用条件：资料未分组，各组出现的次数都是1。——资料已经分组

1、根据单项变量分布数列计算应用条件：单项式分组，各组次数不同。2.加权算术平均数计算公式：标志值权数举例：某车间20名工人加工某种零件资料：

平均日产量

2、根据组距数列计算应用条件：组距式分组，各组次数不同。用各组的组中值代替各组平均数。注意：计算出来的加权算术平均数是一个近似值。举例：某车间200名工人日产量资料：某厂某食物日产量资料：25354555【例】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：计算该公司该季度的平均计划完成程度。【例】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：计算该公司该季度的平均计划完成程度。分析：某班统计学成绩表计算该班统计学平均成绩随堂练习5565758595110715135011055703850六、调和平均数【例】

设X=（2，4，6，8），则其调和平均数可由定义计算如下：⒉再求算术平均数：⒈求各标志值的倒数：，，，⒊再求倒数：是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，又叫倒数平均数。适用于不掌握各组单位数及总体单位数量的情况。一、简单调和平均数——适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况式中：H为调和平均数;为变量值的个数；为第个变量值。[例]某集贸市场西红柿的价格，早市每千克1元，午市每千克0.50元，晚市每千克0.25元，若早、中、晚各买1元钱，计算平均价格。用算术平均数计算：①早、中、晚各买1元钱，合计花3元。②早上用1元钱可买1／1＝1千克，中午用1元钱可买2千克,晚上用1元钱可买4千克,合计共买西红柿7千克。③平均价格数：用简单调和平均数计算：二、加权调和平均数——适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况式中：为第组的变量值；为第组的标志总量。【例】某企业某日工人的日产量资料如下：

用调和平均数计算该企业该日全部工人的平均日产量。即该企业该日全部工人的平均日产量为12.1375件。解：◆变量不同：算术平均数是x，调和平均数是1/x。◆权数不同：算术平均数是f,代表次数（单位数），调和平均数是xf或m，代表标志总量。◆联系：调和平均数作为算术平均数的变形使用：

调和平均数与算术平均数的比较某期商品价格及销售额资料试计算三个商场该种商品的平均价格随堂练习某期商品价格及销售额资料试计算三个商场该种商品的平均价格随堂练习七、中位数（）

——把总体各单位标志值按大小顺序排列起来，居于中间位置的那个数就是中位数。（一）、由未分组资料确定中位数方法：①把资料按大小顺序排列②求中间项次Om=③确定中位数：

n为奇数时，第Om项对应的标志值

n为偶数时，第Om项两边标志值的平均数1、标志值的个数是奇数例：7名工人生产某种产品，日产量（件）分别为4、6、6、8、9、12、14。中间位置为（7+1）/2＝4即位于第四名工人的日产量8件为中位数。2、标志值的个数是偶数上例增加为8名工人，日产量为4、6、6、8、9、12、13、14。由于（8+1)/2=4.5，即中间位置在第四和第五名中间，中位数为(8+9)/2=8.5(二）由分组资料确定中位数

②确定中位数所在组

——按累计次数的方向找出第一个能够容纳的累计次数所对应的组；

方法：①确定中间位置Om=③确定中位数若为单项式数列，中位数组所对应的标志值；若为组距式数列，用公式计算。1、由单项数列确定中位数例：中间位置为80/2＝40，中位数组为第三组，则中位数为24。

2、由组距数列确定中位数

（1）计算公式L：中位数所在组下限U：中位数所在组上限fm：中位数所在组的次数d：中位数所在组的组距Sm-1：中位数所在组上一组的向上累计次数Sm+1：中位数所在组后一组的向下累计次数举例(1)确定中间位次(2)确定中位数组为

6—7(3)确定中位数【例题】根据表中的数据，计算50名工人日加工零件数的中位数八、众数（）——总体中出现次数最多的标志值是众数。1、由未分组资料确定众数例：7名工人日产量（件）为4、5、6、6、6、7、

8。则众数是6。

无众数

原始数据:10591268一个众数

原始数据:659855多于一个众数

原始数据:252828364242——次数最多的组对应的变量值例：

2、由单项数列确定众数：3、由组距数列确定众数（1）计算公式：【例题】根据表中的数据，计算50名工人日加工零件数的众数众数、中位数、平均数的特点和应用◆众数⊙不受极端值影响⊙具有不惟一性⊙数据分布偏斜程度较大时应用◆中位数⊙不受极端值影响⊙数据分布偏斜程度较大时应用◆平均数⊙易受极端值影响⊙数学性质优良⊙数据对称分布或接近对称分布时应用

（一）对称分布情况下

算术平均数、众数、中位数数值关系对称分布

均值=中位数=

众数fX（二）偏态分布情况下

左偏分布均值

中位数

众数右偏分布众数

中位数均值fXfX所以：如果，则说明分布右偏（或上偏）如果，则说明分布左偏（或下偏）如果，则说明分布对称一组工人的月收入众数为700元，月收入的算术平均数为1000元，则月收入的中位数近似值是：例根据卡尔·皮尔逊经验公式，还可以推算出：

第四节标志变异指标一、变异度指标的概念——反映总体各单位某种标志值之间离散程度的统计指二、变异度指标的作用1、衡量平均数代表性——变异度指标值越大，平均数的代表性越小。2、反映现象的稳定性和均衡性——标志变异指标越小，说明现象的均衡性和稳定性愈好数据的分散程度是数据分布的另一个重要特征，它所反映的是各变量值远离中心值的程度，因此称为离中趋势。标志变异指标的种类1、极差（全距）2、平均差3、标准差和方差4、离散系数一、极差（R）公式：R=Xmax-Xmin=最大值—最小值优点：计算简便缺点：易受极端值的影响举例：5名学生的成绩为50、69、76、88、97

则R=97-50=47组距数列的全距R＝最高组的上限－最低组的下限全距反映总体标志值的变动范围，其数值越大，平均数代表性越小。二、平均差（A.D)应用条件：资料未分组，各变量值出现的次数为1。——总体各单位标志值对其算术平均数的离差绝对值的算术平均数。1、简单平均差公式：计算步骤：（1）计算算术平均数（2）计算离差的绝对值（3）根据公式计算平均差例：甲乙两个班组工人日产量资料如下：

甲班组（件）：2528303542

乙班组（件）：1824323848要求：计算平均差，比较两个班组工人平均日产量的代表性。结论：平均差越大，其平均数代表性越小。

解：计算平均日产量甲组：x=n∑x=5160=乙组：x=n∑x=5160=32（件）32（件）甲班组：=26÷5＝5.2(件)乙班组：=44÷5＝8.8(件)

甲班组工人日产量的平均差小于乙班组的∴甲班组工人平均日产量的代表性大于乙班组计算平均差

2、加权平均差应用条件：资料经过分组，各组次数不同。计算公式：计算步骤：（1）计算算术平均数（2）计算离差的绝对值（3）计算绝对值乘以次数（4）根据公式计算平均差举例：某车间200名工人日产量资料如下，计算其平均差。

平均日产量：计算过程：平均差：3、平均差的优缺点优点：平均差是根据全部数值计算的，受极端值影响较全距小。缺点：由于采取绝对值的方法消除离差的正负号，应用较少。

练习：根据资料计算工人的平均日产量和平均差工人平均日产量:x=∑xf∑f=74.4(件)工人日产量平均差:日产量(x)工人数(f)5510652475368522958

合计100550156027001870760-19.4-9.40.610.620.6194225.621.6233.2164.8839.2

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三、标准差（）和方差标准差：总体各单位标志值与其算术平均数的离差平方的算术平均数的平方根。方差：标准差的平方，用表示。注：方差（σ2）和标准差（σ）是应用最广的变异度指标。结论：标准差越大，其平均数代表性越小。应用条件：资料未分组，各组次数都是1。1、简单标准差公式：简单方差计算步骤：①求算术平均数②求离差③求离差平方④求离差平方总和⑤求方差⑥求标准差举例：五名工人的日产量分别是：2、加权标准差

应用条件：资料经过分组，各组次数不同。举例：前例，公式：加权方差

解：已知标准差的简捷计算：