第03讲二维线性不变系统

光学信息技术原理及应用线性系统与线性空不变系统线性系统的叠加性质二维不变线性系统的定义

一个二维脉冲函数在输入平面上位移时，线性系统的响应函数形式始终与在原点处输入的二维脉冲函数的响应函数形式相同，仅造成响应函数相应的位移，即

这样的系统称为二维不变线性系统。其脉冲响应函数可表示为脉冲响应函数仅仅依赖于观察点与脉冲输入点坐标的相对间距二维线性不变系统还常常叫做空间不变（线性）系统

空间线性不变系统的输入输出关系示意图

线性不变系统的“卷积积分”

物理的空间不变线性系统，输入平面和输出平面常常是不同的两个平面，需要建立两个坐标

从研究输入和输出之间关系的角度来看，输入和输出两种信号放在同一坐标系中是方便的，因此对输入平面和输出平面的坐标做归一化（不管两者是否表示同一种物理量），使得从数值上有

和脉冲响应函数变为叠加积分变为“卷积积分”

光学成象系统可以把物平面划分为若干个等晕区，把每个等晕区当作空间不变线性系统处理

二维线性不变系统的传递函数如果不变线性系统的输入是空域函数，其傅里叶变换为

同时输出函数和脉冲响应函数的傅里叶变换分别为

根据卷积定理有

即称做线性不变系统的的传递函数传递函数的意义空间频谱是基元函数的线性组合中对应的权重因子

输入和输出空间频谱之比表达了系统对于输入函数中不同频率的基元函数的作用，也就是系统在把输入“传递”为输出过程中的作用，因而称为传递函数传递函数一般是复函数，其模的作用是改变输入函数各种频率基元成分的幅值大小，其幅角的作用是改变这些基元成分的初相位传递函数的模称作振幅传递函数，传递函数的幅角称作相位传递函数空间频率的两种意义空间频率类似于时域函数的时间频率，时间倒数称作频率，长度倒数称作空间频率，即在单位长度内周期函数变化的周数（单位为：周/mm，线对/mm，L/mm，等）信息光学中有两种空间频率，一种是对二维图象进行频谱分析得到的图象频谱对应的空间频率，这是一种空间强度分布，单位为：周/mm，线对/mm，L/mm，等，其大小是没有限制的，可以是无穷大另一种是对电磁波场进行频谱分析得到的平面波对应的空间频率，因为电磁波在均匀介质中波长是常数，在其传播方向上空间频率是不变的。因而其对应在三维空间坐标上的每个方向的空间频率（单位为：光波数/mm）表示出的意义实际上是电磁波的传播方向，或其传播方向与坐标轴的夹角，而且大小受到光波长的限制，最大是波长的倒数。下章再详细讲这两者区别不变线性系统的本征函数如果函数满足以下条件

（式中为一复常数）则称为算符所表征的系统的本征函数。这就是说，系统的本征函数是一个特定的输入函数，它相应的输出函数与它之间的差别仅仅是一个复常系数。前面讲的基元函数——复指数函数就是线性不变系统的本征函数即《工程光学》中已经说明光波可以用复指数函数表示，光学系统传播光波的数学模型，就是这样一个用复指数函数表示的光输入变为复指数函数表示的光输出的不变线性系统非相干成像系统的本征函数（1）下面再讨论其脉冲响应是实函数的一类特殊的空间不变线性系统，它把一个实值输入变换为一个实值输出。这种系统也是一种常见的线性系统，如一般的非相干成像系统。实函数的傅里叶变换是厄米型函数，即其传递函数有

由于

因而由此可见，这种系统振幅传递函数是偶函数，位相传递函数是奇函数

非相干成像系统的本征函数（2）余弦函数或正弦函数是这类系统的本征函数，输入函数为余弦函数对应的频谱为该不变线性系统输出函数频谱则为系统输出函数相应为

非相干成像系统的本征函数（3）因而有：这表明，对于脉冲响应是实函数的空间不变线性系统，余弦输入将产生同频率的余弦输出。同时产生与频率有关的振幅衰减和相位移动，其大小决定于传递函数的模和幅角。非相干光学成象系统的脉冲响应是实函数，对这一类空间不变线性系统的分析是建立光学传递函数理论的基础。线性不变系统图解法（1）

给定一个线性不变系统，输入函数是有限延伸的三角波对下列传递函数用图解法确定系统的输出。（1）（2）计算计算方法，首先求出输入函数的频谱，再用图解找出输出函数的频谱，最后用反变换计算出系统的输出。不变线性系统图解法（2）输入函数的频谱为不变线性系统图解法（3）输入函数的频谱分以下几个步骤来完成：1、画出、和2、画出卷积3、得到乘积画出传递函数

画出输出函数版的频谱（近似）通过简单计算把剩下来的几个SINC函数的反变换化简，最后画出输出函数图象级联系统

下图表示的是两个级联在一起的空间不变线性系统，前一系统的输出恰是后一系统的输入两个系统级联的传递函数对于总的系统和分别是其输入和输出，因为前式代入后式，并利用卷积的结合律，有总的脉冲响应为总的传递函数为

n个空间不变线性系统的级联n个空间不变线性系统级联的情况，总的等效系统的脉冲响