正方形的性质与判定（第2课时） 【教材精讲精研】 九年级数学上册 （北师大版）

第一章特殊平行四边形北师大版八年级数学上册崇德尚礼笃学求真3.2正方形的性质与判定学习&目标1．探索并证明正方形的判定，了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算.3.探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.（重点）4.会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算.（难点）正方形的定义有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。平行四边形一组邻边相等一个角是直角正方形情境&导入正方形的对角线相等并且互相垂直平分.正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的定义情境&导入如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开．怎样剪才能剪出一个正方形？提示：剪口线与折痕成45°角即可。探索&交流满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴交流．

议一议有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角对角线相等对角线垂直探索&交流活动1

准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.正方形猜想

满足怎样条件的矩形是正方形？矩形一组邻边相等对角线互相垂直正方形活动2

把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.正方形猜想

满足怎样条件的菱形是正方形？菱形一个角是直角对角线相等正方形探索&交流定理：有一组邻边相等的矩形是正方形.已知：ABCD是矩形，且AB=BC，试证明，ABCD是正方形.证明：∵ABCD是矩形，∴∠A=90°，又∵AB=BC，∴ABCD是正方形（正方形的定义）.探索&交流已知：ABCD是矩形，AC⊥BD，试证明，ABCD是正方形.证明：∵ABCD是矩形，∴∠A=90°，OA=OB=OC=OD又∵AC⊥BD，∴△AOB≌△AOD（SAS）∴AB=AD∴ABCD是正方形（正方形的定义）.探索&交流定理：对角线互相垂直的矩形是正方形.定理：有一个角是直角的菱形是正方形.已知：ABCD是菱形，∠A=90°，试证明，ABCD是正方形.证明：∵ABCD是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，又∵∠A=90°，∴ABCD是正方形（正方形的定义）.探索&交流定理：对角线相等的菱形是正方形.已知：ABCD是菱形，AC=BD，试证明，ABCD是正方形.证明：∵ABCD是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，OA=OC=OB=OD∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直）又∵AC=BD，∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.∴∠ABC=90°.∴ABCD是正方形（正方形的定义）.探索&交流例题&解析

例题欣赏☞例1.已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形BECF是正方形.45°45°例题&解析证明:∵BF∥CE,CF∥BE，

∴四边形BECF是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∠DCB=90°,∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,∴∠EBC=45°,∠ECB=45°,

∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC,∴□BECF是菱形.在△EBC中∵∠EBC=45°,∠ECB=45°,∴∠BEC=90°,∴菱形BECF是正方形.探索&交流

做一做如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？正方形的中点四边形会是什么形状？任意四边形的中点四边形是平行四边形.三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．已知：如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点.求证：四边形EFGH为正方形.证明：连接AC，BD，∵E，F分别是AB和BC边中点，∴EF∥AC且EF=AC，同理可证HG∥AC且HG=AC，EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且FG=BD.∴四边形PFQO为平行四边形.探索&交流

议一议菱形的中点四边形会是什么形状？矩形的中点四边形会是什么形状？菱形的中点四边形是矩形.你能试着证明吗？矩形的中点四边形是菱形.探索&交流已知：如图，点E，F，G，H分别是菱形ABCD各边的中点.求证：四边形EFGH为矩形.证明：连接AC，BD，∵E，F分别是AB和BC边中点，∴EF∥AC，同理可证HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD.∴EF∥HG，EH∥FG，∴四边形EFGH，PFQO为平行四边形.又∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），∴∠1=90°，∠2=90°.∴四边形EFGH是矩形（矩形的定义）探索&交流已知：如图，点E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点.求证：四边形EFGH为菱形.证明：连接AC，BD，∵E，F分别是AB和BC边中点，∴EF∥AC且EF=AC，同理可证HG∥AC且HG=AC，EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且FG=BD.∴四边形EFGH为平行四边形.又∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴EF=EH∴四边形EFGH是菱形（菱形的定义）例题&解析

例题欣赏☞例2.在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?例题&解析∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四边形EFMN是菱形，∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）=180°－（∠AEN+∠ANE）=180°－90°=90°.∴四边形EFMN是正方形.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,AN=BE=CF=DM,练习&巩固1.下列命题正确的是（）A.四个角都相等的四边形是正方形B.四条边都相等的四边形是正方形C.对角线相等的平行四边形是正方形D.对角线互相垂直的矩形是正方形练习&巩固2.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是___________（只填写序号）．②③或①④练习&巩固3.如图，在四边形ABCD中,

AB=BC,对角线BD平分ABC,

P是BD上一点,过点P作PMAD,

PNCD,垂足分别为M、N.(1)