2021-2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系3.4平面与平面垂直的性质4作业含解析新人教版必修220220226153

PAGEPAGE6直线与平面、平面与平面垂直的性质一、选择题1．已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n与平面α的关系是()A．n∥α B．n∥α或n⊂αC．n⊂α或n与α不平行 D．n⊂α解析：选A∵l⊂α且l与n异面，∴n⊄α.又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α.2．如图所示，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC解析：选C由题意知BC∥DF，∴BC∥平面PDF.∵P－ABC为正四面体，∴BC⊥PA，AE⊥PC.∴BC⊥平面PAE，DF⊥平面PAE.∵DF⊂平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC.3．已知直线m，n，平面α，β，给出下列命题：①若m⊥α，m⊥β，则α⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直．其中正确的命题是()A．②③ B．①③C．②④ D．③④解析：选D对于①，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，不可能垂直，所以①不正确；对于②，平行于同一条直线的两个平面相交或平行，所以②不正确；③④正确，故选D.4．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小()A．变大 B．变小C．不变 D．有时变大有时变小解析：选C由于BC⊥CA，l⊥平面ABC，∴BC⊥l，故BC⊥平面ACP，∴BC⊥CP，∴∠PCB＝90°，故选C.5．如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°解析：选D∵PA⊥平面ABC，∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AD＝2AB，即tan∠ADP＝eq\f(PA,AD)＝eq\f(2AB,2AB)＝1，∴直线PD与平面ABC所成的角为45°，选D.二、填空题6．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.解析：利用面面垂直的判定，可知①③④⇒②为真；利用面面垂直的性质，可知②③④⇒①为真．∴应填“若①③④则②”，或“若②③④则①”．答案：若①③④则②(或若②③④则①)7．如图所示，沿直角三角形ABC的中位线DE将平面ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A－BCDE.则平面ABC与平面ACD的关系是________．解析：∵AD⊥DE，平面ADE⊥平面BCDE，且平面ADE∩平面BCDE＝DE，∴AD⊥平面BCDE.又BC⊂平面BCDE，∴AD⊥BC.又BC⊥CD，CD∩AD＝D，∴BC⊥平面ACD，又BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD.答案：平面ABC⊥平面ACD8．如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，则二面角C－BD－A的平面角的正切值为________．解析：过C点作CO⊥AB，垂足为O，作OH⊥BD，垂足为H，连接CH.∵平面ABC⊥平面ABD，交线为AB.∴CO⊥平面ABD，∴CO⊥BD.又∵OH⊥BD，OH∩CO＝O，∴BD⊥平面COH，∴BD⊥CH.∴∠CHO为二面角C－BD－A的平面角．设CA＝CB＝a，则AB＝BD＝AD＝eq\r(2)a，CO＝eq\f(\r(2),2)a.∴OH＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)a＝eq\f(\r(6),4)a.∴tan∠CHO＝eq\f(CO,OH)＝eq\f(\f(\r(2),2)a,\f(\r(6),4)a)＝eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)三、解答题9．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4eq\r(5).(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P－ABCD的体积．解：(1)证明：在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝4eq\r(5)，∴AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.又BD⊂平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD.(2)过P作PO⊥AD，垂足为O.∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P－ABCD的底面ABCD上的高．又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝2eq\r(3).在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，∴四边形ABCD为梯形．在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为eq\f(4×8,4\r(5))＝eq\f(8\r(5),5)，即梯形的高为eq\f(8\r(5),5).∴S四边形ABCD＝eq\f(2\r(5)＋4\r(5),2)×eq\f(8\r(5),5)＝24.∴VP－ABCD＝eq\f(1,3)×24×2eq\r(3)＝16eq\r(3).10．如图，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED，FB＝eq\r(5)a.(1)证明：EB⊥FD；(2)求点B到平面FED的距离．解：(1)证明：∵FC⊥平面BED，BE⊂平面BED，∴EB⊥FC.又点E为的中点，B为直径AC的中点，∴EB⊥BC.又∵FC∩BC＝C，∴EB⊥平面FBD.∵FD⊂平面FBD，∴EB⊥FD.(2)如图，在平面BEC内过C作CH⊥ED，连接FH.则由FC⊥平面BED知，ED⊥平面FCH.∵Rt△DHC∽Rt△DBE，∴eq\f(DC,DE)＝eq\f(CH,BE).在Rt△DBE中，DE＝eq\r(BE2＋BD2)＝eq\r(BE2＋2BC2)＝eq\r(5)a，∴CH＝eq\f(DC·BE,DE)＝eq\f(a·a,\r(5)a)＝eq\f(\r(5),5)a.∵FB＝eq\r(5)a，BC＝a，∴FC＝2a.在平面FCH内过C作CK⊥FH，则CK⊥平面FED.∵FH2＝FC2＋CH2＝4a2＋eq\f(a2,5)＝eq\f(21,5