中考数学复习讲义一元二次方程及应用

中考数学复习讲义一元二次方程及应用第一部分：知识点精准记忆1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为(a≠0)．2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成的形式，当m＞0时，方程的解为；当m＝0时，方程的解；当m＜0时，方程没有实数解．（2）配方法：通过配方把一元二次方程变形为的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程，当时，它的解为．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为．△>0方程有两个不相等的实数根；△＝0方程有两个相等的实数根；△<0方程没有实数根．(1)上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．(2)△≥0方程有实数根.4．一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程(a≠0)的两个根是，那么5.一元二次方程的应用解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．第二部分：考点举例考点一:一元二次方程的根【例1-1】（2022•东坡区）已知m是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，则代数式2m2﹣4m+2017的值为（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【例1-2】(2020•枣庄)已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1＝0有一个根为x＝0,则a＝.考点二:一元二次方程的解法【例2-1】（2022•兴宁区）解方程：x2﹣4x+2＝0．【例2-2】（2022•安徽三模）解方程：x2﹣8x+7＝0【例2-3】(2021·海南)用配方法解方程x2－6x＋5＝0,配方后所得的方程是()(x＋3)2＝－4 B.(x－3)2＝－4C.(x＋3)2＝4 D.(x－3)2＝4考点三:根的判别式【例3-1】(2020贵州黔西南)已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根,则m的取值范围是()A.m＜2B.m≤2C.m＜2且m≠1 D.m≤2且m≠1【例3-2】(2021·泰安中考)已知关于x的一元二次方程kx2－(2k－1)x＋k－2＝0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是()A.k＞－eq\f(1,4) B.k＜eq\f(1,4)C.k＞－eq\f(1,4)且k≠0 D.k＜eq\f(1,4)且k≠0【例3-3】(2020•北京)已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根,则k的值是.【例3-4】(2020秋•舞钢市期末)已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2mx+m-3＝0,求:当方程有两个不相等的实数根时m的取值范围.考点四:根与系数的关系【例4-1】(2021·南充)已知方程x2－2021x＋1＝0的两根分别为x1,x2,则x12－eq\f(2021,x2)的值为()A.1 B.－1 C.2021 D.－2021【例4-2】(2020•铜仁市)已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长,且m、n是关于x的一元二次方程x2-6x+k+2＝0的两个根,则k的值等于()A.7 B.7或6 C.6或-7 D.6【例4-3】(2021·成都中考)若m,n是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个实数根,则m2＋4m＋2n的值是____.【例4-4】(2021·鄂州)已知实数a,b满足eq\r(a－2)＋|b＋3|＝0,若关于x的一元二次方程x2－ax＋b＝0的两个实数根分别为x1,x2,则eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝.【例4-5】(2020秋•白银期末)已知关于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)＝m2(1)求证:对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根;(2)若方程的一个根是1,求m的值及方程的另一个根.【例4-6】关于x的方程有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围.(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由考点五:由实际问题抽象出一元二次方程【例5-1】（2022•广西模拟）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．水深、葭长各几何？”其大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？若设这根芦苇的长度为x尺，根据题意，所列方程正确的是（）A．102+（x﹣1）2＝x2 B．102+（x﹣1）2＝（x+1）2 C．52+（x﹣1）2＝x2 D．52+（x﹣1）2＝（x+1）2考点六:一元二次方程的应用【例6-1】（2022•观山湖区模拟）有一人患了新型冠状病毒肺炎，经过两轮传染后共有100人患了新型冠状病毒肺炎，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A．8人 B．9人 C．10人 D．11人【例6-2】(2020秋•建华区)如图,长方形绿地长32m、宽20m,要在这块绿地上修建宽度相同且与长方形各边垂直的三条道路,使六块绿地面积共570m2,问道路宽应为多少？【例6-3】(2021·菏泽)列方程(组)解应用题.端午节期间,某水果超市调查某种水果的销售情况,下面是调查员的对话:小王:该水果的进价是每千克22元;小李:当销售价为每千克38元时,每天可售出160千克;若每千克降低3元,每天的销售量将增加120千克.根据他们的对话,解决下面所给问题:超市每天要获得销售利润3640元,又要尽可能让顾客得到实惠,求这种水果的销售价为每千克多少元.【例6-4】(2021·太原模拟)2020年,受新冠肺炎疫情影响.口罩紧缺,某网店以每袋8元(一袋十个)的成本价购进了一批口罩,二月份以一袋14元的价格销售了256袋,三、四月该口罩十分畅销,销售量持续走高,在售价不变的基础上,四月份的销售量达到400袋.(1)求三、四这两个月销售量的月平均增长率.(2)为回馈客户.该网店决定五月降价促销.经调查发现.在四月份销量的基础上,该口罩每袋降价1元,销售量就增加40袋,当口罩每袋降价多少元时,五月份可获利1920元？第三部分：中考真题选择题1.(2020•黑龙江)已知2+是关于x的一元二次方程x2-4x+m＝0的一个实数根,则实数m的值是()A.0 B.1 C.-3 D.-12.(2020贵州黔西南)已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根,则m的取值范围是()A.m＜2 B.m≤2 C.m＜2且m≠1 D.m≤2且m≠13.(2021·重庆模拟)若方程(m－1)xm2＋1－(m＋1)x－2＝0是一元二次方程,则m的值为()A.0B.±1C.1D.－14.(2020•滨州)对于任意实数k,关于x的方程x2-(k+5)x+k2+2k+25＝0的根的情况为()A.有两个相等的实数根B.没有实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判定5.(2020•黔东南州)若菱形ABCD的一条对角线长为8,边CD的长是方程x2-10x+24＝0的一个根,则该菱形ABCD的周长为()A.16 B.24 C.16或24 D.486.(2020•铜仁市)已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长,且m、n是关于x的一元二次方程x2-6x+k+2＝0的两个根,则k的值等于()A.7 B.7或6 C.6或-7 D.67.(2021·张家界)对于实数a,b定义运算“☆”如下:a☆b＝ab2－ab,例如3☆2＝3×22－3×2＝6,则方程1☆x＝2的根的情况为()A.没有实数根B.只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根8.(2020•鄂州)目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展.某市2019年底有5G用户2万户,计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户.设全市5G用户数年平均增长率为x,则x值为()A.20% B.30% C.40% D.50%9.(2021·襄阳)随着生产技术的进步,某制药厂生产成本逐年下降.两年前生产一吨药的成本是5000元,现在生产一吨药的成本是4050元.设生产成本的年平均下降率为x,下面所列方程正确的是()A.5000(1＋x)2＝4050B.4050(1＋x)2＝5000C.5000(1－x)2＝4050D.4050(1－x)2＝500010.（2020•上海）用换元法解方程+＝2时，若设＝y，则原方程可化为关于y的方程是（）A．y2﹣2y+1＝0 B．y2+2y+1＝0 C．y2+y+2＝0 D．y2+y﹣2＝0二．填空题1.（2022•沈阳）某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件．但要求销售单价不得超过65元．要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为元．2.(2020•咸宁)若关于x的一元二次方程(x+2)2＝n有实数根,则n的取值范围是.3.(2020•衡水)已知-1是方程x2+ax-b=0的一个根,则a2-b2+2b的值为__________.4.(2021·资阳)已知关于x的一元二次方程:x2－2x－a＝0,有下列结论:①当a＞－1时,方程有两个不相等的实根;②当a＞0时,方程不可能有两个异号的实根;③当a＞－1时,方程的两个实根不可能都小于1;④当a＞3时,方程的两个实根一个大于3,另一个小于3.以上4个结论中,正确的个数为____.（2022•上海）解方程组：的结果为．6.(2021·枣庄)若等腰三角形的一边长是4,另两边的长是关于x的方程x2－6x＋n＝0的两个根,则n的值为.解答题1.(2021·菏泽)列方程(组)解应用题.端午节期间,某水果超市调查某种水果的销售情况,下面是调查员的对话:小王:该水果的进价是每千克22元;小李:当销售价为每千克38元时,每天可售出160千克;若每千克降低3元,每天的销售量将增加120千克.根据他们的对话,解决下面所给问题:超市每天要获得销售利润3640元,又要尽可能让顾客得到实惠,求这种水果的销售价为每千克多少元.2.(2020•上海）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．3.(2022•凉山州)解方程：x2－2x－3＝0.4.(2022•十堰)已知关于x的一元二次方程x2－2x－3m2＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且α＋2β＝5，求m的值5.(2020大东区)新华商场销售某种商品,每件进货价为40元,市场调研表明:当销售价为80元时,平均每天能售出20件;在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,当销售价每降低1元时,平均每天就能多售出2件.(1)若降价2元,则平均每天销售数量为24件;(2)当每件商品定价多少元时,该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元?6.(2020•湘西州)某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个,1月底因突然爆发新冠肺炎疫情,市场对口罩需求量大增,为满足市场需求.工厂决定从2月份起扩大产能,3月份平均日产量达到24200个.(1)求口罩日产量的月平均增长率;(2)按照这个增长率,预计4月份平均日产量为多少？7.(2021·呼和浩特)“通过等价变换,化陌生为熟悉,化未知为已知”是数学学习中解决